高中數(shù)形結合問題總結

高中數(shù)形結合問題總結高中數(shù)形結合問題總結高中數(shù)形結合問題總結xxx公司高中數(shù)形結合問題總結文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度數(shù)形結合思想在高中數(shù)學中的應用靈寶實驗高中王少輝一、什么是“數(shù)形結合思想”數(shù)形結合是一種數(shù)學思考方法；是數(shù)學研究和學習中的重要思想；也是解決數(shù)學問題的有效方法?！耙孕沃鷶?shù)”可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化；能夠把抽象的數(shù)學語言變?yōu)橹庇^的圖形語言、把抽象的數(shù)學思維變?yōu)橹庇^的形象思維；“以數(shù)助形”有助于把握數(shù)學問題的本質。二、什么類型的題可以用“數(shù)形結合思想”解決？“數(shù)”和“形”是數(shù)學研究的兩個基本對象。數(shù)，通俗地說一般是指文字語言、數(shù)學符號語言、代數(shù)式等；形，通俗地說一般指圖形語言、函數(shù)圖象、代數(shù)式的幾何意義等。既能用“數(shù)”表示，又能用“形”表示的知識就可以用數(shù)形結合思想解決。數(shù)形結合的思想方法是數(shù)學教學內容的主線之一，應用數(shù)形結合思想，可以解決以下問題：①集合問題②函數(shù)問題③方程與不等式問題④三角函數(shù)問題⑤向量問題⑥數(shù)列問題⑦線性規(guī)劃問題⑧解析幾何問題⑨立體幾何問題⑩絕對值問題三、數(shù)形結合思想應用舉例（一）在集合中的應用【知識點】集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集文字表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA符號語言{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}圖形語言在這個知識點中集合的三種運算除了抽象的符號語言描述之外，還有直觀的圖形語言。所以在解決某些集合的運算問題時，我們可以用數(shù)形結合思想?！纠?】(1)已知(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍是_______.【小結】數(shù)形結合在集合中的應用，主要體現(xiàn)在集合的基本運算中：（1）離散的集合用Venn圖表示（2）連續(xù)的數(shù)集用數(shù)軸表示，注意端點（二）在函數(shù)中的應用1.二次函數(shù)區(qū)間求值問題二次函數(shù)的圖象我們都很熟悉，所以在解決二次函數(shù)的相關問題時，我們就可以借助圖象來進行?！纠?】已知，求f(x)在[1,2]上的最小值【跟蹤訓練】已知，求f(x)在[t,t+2]上的最小值2.函數(shù)性質綜合應用函數(shù)的性質在圖象上都有直觀的反應，所以在利用函數(shù)性質解決某些問題時，我們就可以借助圖象來進行?！纠?】設函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________.【例4】已知函數(shù)，則滿足不等式的x的取值范圍為3.函數(shù)零點個數(shù)問題函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)圖象的交點密切相關，所以在解決函數(shù)零點個數(shù)問題，方程根的個數(shù)問題時，常使用數(shù)形結合思想。【例5】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，如果函數(shù)g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4個零點，則m的取值范圍是________.【例6】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0，2]上f(x)＝x，若關于x的方程f(x)＝logax有三個不同的實根，求a的取值范圍.【小結】數(shù)形結合在函數(shù)中的應用，主要體現(xiàn)在函數(shù)圖象的應用中（1）二次函數(shù)求給定區(qū)間上的最值問題①軸動區(qū)間定②軸定區(qū)間動（2）函數(shù)性質（奇偶性、單調性、周期性）的綜合應用①求范圍②解不等式（3）函數(shù)零點個數(shù)、方程根的個數(shù)轉化為圖象交點個數(shù)問題【跟蹤訓練1】函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內的零點的個數(shù)為()A.0B.1C.2 D.3解析由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞).在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝lnx(x＞0)的圖象，如圖所示：由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內的零點個數(shù)為2.答案C【跟蹤訓練2】若關于x的方程|x|＝a－x只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖象，如圖所示.由圖象知當a>0時，方程|x|＝a－x只有一個解.答案(0，＋∞)【跟蹤訓練3】已知函數(shù)(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A.(－∞，－1) B.(－∞，0)C.(－1，0) D.[－1，0)解析當x>0時，f(x)＝3x－1有一個零點x＝eq\f(1,3).因此當x≤0時，f(x)＝ex＋a＝0只有一個實根，∴a＝－ex(x≤0)，則－1≤a<0.答案D【跟蹤訓練4】(2016·山東卷)已知函數(shù)，其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________.解析在同一坐標系中，作y＝f(x)與y＝b的圖象.當x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.答案(3，＋∞)四、作函數(shù)圖象的常用方法數(shù)形結合的關鍵在于準確作出函數(shù)的圖象，那么如何作函數(shù)圖象就是最關鍵的步驟，同學們一定要掌握。下面介紹兩種高中數(shù)學中最常用的方法。1.利用描點法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換①y＝f(x+a)（a>0）的圖象把y＝f(x)的圖象向左平移a個單位即可；②y＝f(x-a)（a>0）的圖象把y＝f(x)的圖象向右平移a個單位即可；③y＝f(x)+b（b>0）的圖象把y＝f(x)的圖象向上平移b個單位即可；④y＝f(x)-b（b>0）的圖象把y＝f(x)的圖象向下平移b個單位即可；即我們通常所說的左加右減，上加下減?！揪毩?】作出下列函數(shù)的圖象（1）（2）（3）(2)對稱變換①y＝－f(x)的圖象把y＝f(x)的圖象關于x軸對稱即可；②y＝f(－x)的圖象把y＝f(x)的圖象關于y軸對稱即可；③y＝－f(－x)的圖象把y＝f(x)的圖象關于原點對稱即可；【練習2】作出下列函數(shù)的圖象（1）（2）（3）(3)伸縮變換①y＝f(ax)（a>0）的圖象把y＝f(x)的圖象縱坐標不變，各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋都纯?；相當于以y軸為中心，把圖象往左右伸長或壓縮；a<1時伸長，a>1時壓縮.②y＝Af(x)（A>0）的圖象把y＝f(x)的圖象橫坐標不變，各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍即可；相當于以x軸為中心，把圖象上下伸長或壓縮；A>1時伸長，A<1時壓縮.(4)翻轉變換①y＝|f(x)|的圖象，把y＝f(x)的圖象位于x軸下方的部分翻到x軸上方即可；函數(shù)值為負數(shù)的變?yōu)槠湎喾?/p>