人教A版選擇性必修第三冊7.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值作業(yè)

【名師】7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值作業(yè)練習(xí)一．單項選擇（）1．2020年1月26日4點，籃球巨星湖人隊名宿科比·布萊恩特在加州墜機(jī)身亡，享年41歲.對于很多籃球迷來說是巨大的悲痛，也是對這個世界最大的損失，但是科比留給我們的是他對比賽的積極備戰(zhàn)的態(tài)度，毫無保留的比賽投入，奪冠時的瘋狂慶祝；永不言棄的精神是科比的人生信條，他的這種精神被稱為“曼巴精神”，熱情．執(zhí)著．嚴(yán)厲．回?fù)艉蜔o懼就是“曼巴精神”的內(nèi)涵所在.現(xiàn)如今這種精神一直鼓舞著無數(shù)的運動員和球迷們.這種精神也是高三的所有學(xué)子在學(xué)習(xí)疲憊或者迷茫時的支柱.在美國NBA籃球比賽中，季后賽和總決賽采用的賽制是“7場4勝制”，即先贏4場比賽的球隊獲勝，此時比賽結(jié)束.比賽時兩支球隊有主客場之分，順序是按照常規(guī)賽的戰(zhàn)績排名的，勝率最高的球隊先開始主場比賽，且主客場安排依次是“主主客客主客主”，且每場比賽結(jié)果相互獨立.在NBA2019~2020賽季總決賽中，詹姆斯和戴維斯帶領(lǐng)的洛杉磯湖人隊以戰(zhàn)勝邁阿密熱火隊，獲得隊史第17個NBA總冠軍，詹姆斯也榮獲職業(yè)生涯的第4個FMVP.如果在總決賽開打之前，根據(jù)大數(shù)據(jù)和NBA專家的預(yù)測，以常規(guī)賽戰(zhàn)績排名，湖人隊先開始主場比賽，且湖人隊在主場贏球概率為，客場贏球概率為（說明：籃球比賽中沒有平局，只有贏或者輸），根據(jù)上述預(yù)測：（1）分別求出只進(jìn)行4場比賽和湖人隊獲勝的概率；（2）如果湖人隊已經(jīng)取得的開局，求最終奪冠的概率.2．某超市舉辦購物抽獎的促銷活動，規(guī)定每位顧客購物滿元，可參與抽獎，抽獎箱中放有編號分別為．．．．的五個小球，小球除編號不同外，其余均相同．活動規(guī)則如下：從抽獎箱中隨機(jī)抽取一球，若抽到的小球編號為，則獲得獎金元；若抽到的小球編號為偶數(shù)，則獲得獎金；若抽到其余編號的小球，則不中獎．現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎兩次．（1）求該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率；（2）求該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率．3．某科研團(tuán)隊發(fā)現(xiàn)了一種新型單細(xì)胞生物，在長時間觀測后，科研團(tuán)隊發(fā)現(xiàn)每個活細(xì)胞在每一分鐘內(nèi)都會獨立且等可能地發(fā)生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原狀；③分裂成兩個活細(xì)胞；④分裂成三個活細(xì)胞.若初始時在一條件適宜的孤立系統(tǒng)中放置兩個活細(xì)胞，試計算理論上在無限長時間后該系統(tǒng)中仍有活細(xì)胞存活的概率.4．某班級體育課進(jìn)行一次籃球定點投籃測試，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨立.在處每投進(jìn)一球得3分，在處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分.將學(xué)生得分逐次累加并用表示，如果的值高于3分就判定為通過測試，立即停止投籃，否則應(yīng)繼續(xù)投籃，直到投完三次為止.現(xiàn)有兩種投籃方案：方案1：先在處投一球，以后都在處投；方案2：都在處投籃.已知甲同學(xué)在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為.（1）若甲同學(xué)選擇方案1，求他測試結(jié)束后所得總分的所有可能的取值以及相應(yīng)的概率；（2）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由.5．某大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院為激發(fā)學(xué)生重視和積極參與科學(xué)探索的熱情和興趣，提高學(xué)生生物學(xué)實驗動手能力，舉行生物學(xué)實驗技能大賽．大賽先根據(jù)理論筆試和實驗操作兩部分進(jìn)行初試，初試部分考試成績只記“合格”與“不合格”，只有理論筆試和實驗操作兩部分考試都“合格”者才能進(jìn)入下一輪的比賽．在初試部分，甲．乙．丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響．（1）假設(shè)甲．乙．丙三人同時進(jìn)行理論筆試與實際操作兩項考試，誰獲得下一輪比賽的可能性最大？（2）這三人進(jìn)行理論筆試與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得下一輪比賽的概率．6．當(dāng)今世界環(huán)境污染已經(jīng)成為各國面臨的一大難題，其中大氣污染是目前城市急需應(yīng)對的一項課題.某市號召市民盡量減少開車出行以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.原來天天開車上班的王先生積極響應(yīng)政府號召，準(zhǔn)備每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種方式出行.從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車方式.上班，隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝，上的枚數(shù)小于3，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式.（1）求王先生前三天騎自行車上班的天數(shù)X的分布列；（2）由條件概率我們可以得到概率論中一個很重要公式—全概率公式.其特殊情況如下：如果事件，相互對立并且，則對任一事件B有.設(shè)表示事件“第n天王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率.①用表示；②請問王先生的這種選擇隨機(jī)選擇出行方式有沒有積極響應(yīng)該市政府的號召？請說明理由.7．有4名學(xué)生參加體育達(dá)標(biāo)測驗，4個各自合格的概率分別是．．．，求以下的概率：（1）4人中至少有2人合格的概率；（2）4人中恰好只有2人合格的概率.8．已知某機(jī)床的控制芯片由個相同的單元組成，每個單元正常工作的概率為，且每個單元正常工作與否相互獨立.（1）若，求至少有3個單元正常工作的概率；（2）若，并且個單元里有一半及其以上的正常工作，這個芯片就能控制機(jī)床，其概率記為.①求的值；②若，求的值.9．2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》也稱（“強(qiáng)基計劃”）《意見》指出：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強(qiáng)基計劃．強(qiáng)基計劃要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．強(qiáng)基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校．某考生可能報考甲大學(xué)，也可能報考乙大學(xué)，已知該考生報考甲大學(xué)的概早是0.6.報考乙大學(xué)的概率是0.4，而且報考甲大學(xué)通過的概率為0.2，報考乙大學(xué)通過的概率為0.7.（1）求該考生通過測試的概率；（2）如果該考生通過了測試，那么他報考的是甲大學(xué)的概率為多少？10．甲．乙兩組各有位病人，且位病人癥狀相同，為檢驗．兩種藥物的藥效，甲組服用種藥物，乙組服用種藥物，用藥后，甲組中每人康復(fù)的概率都為，乙組三人康復(fù)的概率分別為．．.（1）設(shè)甲組中康復(fù)人數(shù)為，求的分布列；（2）求甲組中康復(fù)人數(shù)比乙組中康復(fù)人數(shù)多人的概率.11．?dāng)?shù)學(xué)單選題，每個題都有4個選項，其中只有一個是正確的，一次數(shù)學(xué)測驗中，共出12道選擇題，每題5分．同學(xué)甲和乙都會做其中的9道題，另外3道題，甲只能隨意猜；乙有兩道題各能排除一個錯誤選項，另一題能排除兩個錯誤選項．求：（1）同學(xué)甲和乙選擇題都得55分的概率；（2）就選擇題而言，乙比甲多得10分的概率．12．甲．乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲命中目標(biāo)的概率為0.6，乙命中目標(biāo)的概率為0.5，甲．乙之間互不影響.（1）求甲．乙都命中目標(biāo)的概率；（2）求目標(biāo)至少被命中1次的概率；（3）已知目標(biāo)至少被命中1次，求甲命中目標(biāo)的概率.13．標(biāo)準(zhǔn)的醫(yī)用外科口罩分三層，外層有防水作用，可防止飛來進(jìn)入口罩里面，中間層有過濾作用，對于直徑小于5微米的顆粒阻隔率必須大于，近口鼻的內(nèi)層可以吸濕，根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標(biāo)準(zhǔn)，過濾率是重要的參考標(biāo)準(zhǔn)，為了監(jiān)控某條口罩生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個口罩，并檢驗過濾率.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的口罩的過濾率服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個口罩中過濾率小于的數(shù)量，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的10個口罩的過濾率：123456789100.93760.91210.94240.95720.95180.90580.92160.91710.96350.9268經(jīng)計算得：，（其中為抽取的第個口罩的過濾率）用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，利用該正態(tài)分布，求（精確到）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則①；②；③；另：）14．甲．乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，在一局比賽中，先得11分的一方為勝方，比賽結(jié)束.若出現(xiàn)“1010”平后，先多得2分的一方為勝方.已知在每次接發(fā)球中甲獲得一分的概率是（甲不得分，則乙獲得一分），且在一局比賽中甲在歷次的接發(fā)球是否得分相互獨立.（1）已知甲與乙的比分為“88”時，求該局比賽甲最終以比分“119”贏得比賽的概率；（2）已知甲與乙的比分為“1010”時，①求比分為“1111”的概率；②隨機(jī)變量X表示甲與乙最終的得分之和，求的值.15．一個袋子中裝有個紅球和5個白球，一次摸獎是從袋中同時摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．（1）試用表示一次摸獎就中獎的概率；（2）若，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率；（3）記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，當(dāng)取多少時，最大？

參考答案與試題解析1．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）4場比賽包括湖人隊獲勝或者失??；湖人隊獲勝，則前4場比賽中兩個主場勝一場輸一場，兩個客場全勝或兩個主場全勝，兩個客場勝一場輸一場，第5場勝，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式與互斥事件的概率加法公式求解即可（2）湖人隊最后奪冠的情況有，，，，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式與互斥事件的概率加法公式求解即可詳解：（1）記事件為“只進(jìn)行4場比賽”，事件為“湖人隊獲勝”，則由題意知，4場比賽包括湖人隊獲勝或者失敗，，湖人隊獲勝，則前4場比賽中兩個主場勝一場輸一場，兩個客場全勝或兩個主場全勝，兩個客場勝一場輸一場，第5場勝，.（2）湖人隊最后奪冠的情況有，，，，奪冠的概率：，奪冠的概率：，奪冠的概率：，奪冠的概率：，所以湖人隊最終奪冠的概率為.2．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）分析可知，顧客抽一次沒中獎的概率為，利用獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率.詳解：（1）由題意可知，顧客抽到編號為．的小球，則該顧客不中獎，即顧客抽一次沒中獎的概率為，所以，該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率為；（2）該顧客抽獎一次，獲得獎金元的概率為，獲得獎金元的概率為，不中獎的概率為，因此，該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率為.3．【答案】.【解析】分析：設(shè)一個細(xì)胞時它存活的概率為，變成兩個細(xì)胞后有存活的概率會變成，列出方程，求得，進(jìn)而求得兩個細(xì)胞初始的時候無限時間后還有細(xì)胞存活的概率.詳解：設(shè)一個細(xì)胞時它存活的概率為，則是與當(dāng)前時間無關(guān)的，一分鐘后及“無限長時間后仍有存活的細(xì)胞的概率”還是，變成兩個細(xì)胞后有存活的概率會變成，類推可得方程，整理得，解得或（舍去），所以兩個細(xì)胞無限時間后還有細(xì)胞存活的概率為.【點睛】方法點睛：由一個細(xì)胞時存活的概率為，得出兩個細(xì)胞后有存活的概率會變成，類推得出方程是解答的關(guān)鍵.4．【答案】（1）答案見解析；（2）甲同學(xué)選擇方案2通過測試的可能性更大，理由見解析.【解析】分析：（1）確定甲同學(xué)在A處投中為事件A，在B處第i次投中為事件，根據(jù)題意知，總分X的取值為0，2，3，，利用概率知識求解相應(yīng)的概率；（2）設(shè)甲同學(xué)選擇方案1通過測試的概率為，選擇方案2通過測試的概率為，利用概率公式得出，，比較即可．詳解：解：（1）設(shè)甲同學(xué)在處投中為事件，在處第次投中為事件，由已知，，，，的取值為0，2，3，4，則，，，，.（2）甲同學(xué)選擇方案1通過測試的概率為，則，選擇方案2通過測試的概率為，在處第次投中為事件，由已知，，，因為，所以甲同學(xué)選擇方案2通過測試的可能性更大.5．【答案】（1）甲；（2）．【解析】分析：（1）設(shè)“甲獲下一輪比賽”為事件，“乙獲得下一輪比賽”為事件，“丙獲得下一輪比賽”為事件，則，，以及，，的每兩次考試之間彼此相互獨立．分別求得甲．乙．丙獲得下一輪的比賽的概率，比較可得答案；（2）設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得下一輪比賽”為事件，則．根據(jù)獨立事件的概率公式可求得答案．詳解：（1）設(shè)“甲獲下一輪比賽”為事件，“乙獲得下一輪比賽”為事件，“丙獲得下一輪比賽”為事件，則，，以及，，的每兩次考試之間彼此相互獨立．因為，，．因為，所以甲獲得下一輪比賽的可能性最大．（2）設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得下一輪比賽”為事件，則．由，，．可知．即這三人進(jìn)行理論筆試與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得下一輪比賽的概率為．6．【答案】（1）分布列答案見解析；（2）①；②王先生積極響應(yīng)該市政府的號召，理由見解析.【解析】分析：（1）設(shè)一次性拋擲4枚均勻的硬幣得到正面向上的枚數(shù)為，先算出和再根據(jù)得到的正面朝上的枚數(shù)小于3，則該天出行方式與前一天相同分析即可；（2）設(shè)表示事件“第天王先生選擇的是騎自行車出行方式”，表示事件“第n天王先生選擇的是騎自行車出行方式”，由全概率公式知，帶入相關(guān)量即可求出遞推關(guān)系式，再通過構(gòu)造法求出通項公式，再說明即可.詳解：（1）設(shè)一次性拋擲4枚均勻的硬幣得到正面向上的枚數(shù)為，則，，，由已知隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3；；；.所以隨機(jī)變量X的分布列為X123P（2）①設(shè)表示事件“第天王先生選擇的是騎自行車出行方式”，表示事件“第n天王先生選擇的是騎自行車出行方式”，由全概率公式知.所以.②由①知，，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，.因為恒成立，所以王先生每天選擇騎自行車出行方式的概率始終大于選擇開車出行方式，從長期來看，王先生選擇騎自行車出行方式的次數(shù)多于選擇開車出行方式的次數(shù)是大概率事件，所以王先生積極響應(yīng)該市政府的號召.【點睛】本題是概率和數(shù)列的一道綜合試題，需要根據(jù)全概率公式構(gòu)建遞推關(guān)系，從而求出第n天王先生上班選擇的是騎自行車出行方式的概率.7．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）由題設(shè)的對立事件集：{沒有合格，只有1人合格}，排除以上兩種事件即為4人中至少有2人合格，利用獨立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求概率.（2）利用獨立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式求概率即可.詳解：（1）4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除{沒有合格，只有1人合格}，由題意，8．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】分析：(1)至少有3個單元正常工作的概率,即求3個單元和4個單元正常工作的概率之和；(2)①的值，即時，至少有4個單元正常工作的概率，根據(jù)二項分布的概率計算公式求解即可；②對分奇偶討論，結(jié)合二項分布的概率計算公式及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.詳解：解：（1）設(shè)至少有3個單元正常工作的概率為，則.（2）①時，至少有4個單元正常工作芯片就能控制機(jī)床，所以，由，而，所以.②若，則，頁所以，符合題意.若，則，而對立事件，且，則，所以，故：.9．【答案】（1）0.4；（2）0.3.【解析】分析：記該考生報考甲大學(xué)為事件，報考乙大學(xué)為事件，通過測試為事件，（1）該考生通過測試的概率為；（2）利用條件概率公式即可得到結(jié)果.詳解：解：記該考生報考甲大學(xué)為事件，報考乙大學(xué)為事件，通過測試為事件，則，，，．（1）；（2）．10．【答案】（1）分布列見解析；（2）.【解析】分析：（1）由題意可知，，由二項分布的公式逐一計算概率，寫出分布列；（2）甲組中康復(fù)人數(shù)比乙組中康復(fù)人數(shù)多人有2:0,3:1兩種情況，計算乙組中康復(fù)為0人和1人的概率，用相互獨立事件的概率乘法公式求出概率.詳解：（1）由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：（2）設(shè)乙組中康復(fù)人數(shù)為，記事件甲組中康復(fù)人數(shù)比乙組中康復(fù)人數(shù)多人，，，則.11．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）同學(xué)甲和乙選擇題都得55分，即不會做的三道題兩人都做對了2道，先利用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算甲猜對2個題的概率，再由獨立事件同時發(fā)生的概率計算乙猜對2個題的概率，最后兩個事件同時發(fā)生，概率相乘即可；（2）乙比甲多得10分包含兩個互斥事件：不會的3個題目乙對2道，甲對0道；不會的3個題目乙對3道，甲對1道；分別按照與（1）類似的方法計算概率,最后求和即可詳解：（1）甲乙都得55分,就是二人各猜對2個題.甲猜對2個題的概率為，乙猜對2個題的概率為，所以兩人各猜對2個題的概率為.（2）不會的3個題目，解答情況如下：乙對2道，甲對0道的概率為，乙對3道，甲對1道的概率為..所以,乙比甲多得10分的概率.【點睛】概率計算的不同類型：（1）古典概型．幾何概型直接求概率；（2）根據(jù)事件間的關(guān)系利用概率加法．乘法公式求概率；（3）利用對立事件求概率；（4）判斷出特殊的分布列類型，直接套公式求概率.12．【答案】（1）（2）；（3）【解析】分析：（1）利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解．（2）目標(biāo)至少被命中1次包含3種情況，再利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解．（3）利用條件概率公式即可求解．詳解：解：（1）設(shè)甲．乙都命中目標(biāo)為事件，則．（2）設(shè)目標(biāo)至少被命中1次為事件，則．（3）設(shè)甲命中目標(biāo)為事件，，．13．【答案】（1），；（2）.【解析】分析：（1）根據(jù)正態(tài)分布公式可計算得到每個口罩過濾率小于的概率，由二項分布概率和數(shù)學(xué)期望的計算方法可求得結(jié)果；（2）所求概率為，參考公式可得結(jié)果.詳解：（1）已知檢驗率服從正態(tài)分布，則事件當(dāng)生產(chǎn)狀態(tài)正常時，重復(fù)不放回的取個口罩屬于獨立重復(fù)事件，，，故有：，而.（2）由題意知：由平均數(shù)近似估計，則有.14．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】分析：（1）由題意，比賽最終比分“119”則甲得到3分，乙得到1分，由獨立事件的乘法公式求概率即可；（2）①比分由“1010”到“1111”的可能情況有甲先得一分，乙再得一分，或者乙先得一分，甲再得一分，利用獨立事件乘法公式及互斥事件的加法