實(shí)驗(yàn)二MATLAB中的極限和微分積分運(yùn)算課件

實(shí)驗(yàn)二MATLAB中的極限、微分和積分運(yùn)算

實(shí)驗(yàn)二MATLAB中的極限、微分和積分運(yùn)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ATLAB軟件中關(guān)于極限、微分運(yùn)算和不定積分、定積分的基本命令，掌握利用MATLAB軟件進(jìn)行求極限和微分運(yùn)算的方法。掌握利用MATLAB軟件進(jìn)行求不定積分、定積分等積分運(yùn)算的方法。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ATLAB軟件中關(guān)于極限、微分運(yùn)算和不定積2二、相關(guān)知識在微積分中，我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)了求函數(shù)的極限、微分和不定積分和定積分的運(yùn)算，那時我們根據(jù)微積分的原理，學(xué)習(xí)了一整套各種各樣的方法，其中包括了許多技巧，現(xiàn)在我們嘗試用軟件來解決這樣的問題。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications二、相關(guān)知識在微積分中，我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)了求函數(shù)的極限、微分和不3MATLAB提供的命令函數(shù)limit()可以完成極限運(yùn)算，其調(diào)用格式如下：limit(F,x,a,’left’)該命令對表達(dá)式F求極限，獨(dú)立變量x從左邊趨于a，函數(shù)中除F外的參數(shù)均可省略，’left’可換成’right’。舉例如下：極限運(yùn)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函數(shù)limit()可以完成極限運(yùn)算，其4例1：求極限。解：可用以下程序完成：clearF=sym(‘(1+a/x)^x’)limit(F,’x’,inf,’left’)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例1：求極限5結(jié)果為exp(a)。其中，語句F=sym(‘(1+a/x)^x’)表示定義符號表達(dá)式也可用以下的語句來完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications結(jié)果為exp(a)。其中，語句F=sym(‘(1+a/x)^6clear;symsx%這里是把x先說明成符號。F=(1+a/x)^x%這里的定義形式和前面不同。limit(F,x,inf,’left’)%這里的x本身就是符號，因此不需要單引號。NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear;NanjingUniversityofPo7MATLAB提供的函數(shù)diff()可以完成對給定函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算，其調(diào)用格式如下：diff(fun,x,n)其意義是求函數(shù)fun關(guān)于變量x的n階導(dǎo)數(shù)，n為1時可省略。這里的fun用上例的后一種方式來定義較為妥當(dāng)。我們看下面的例：導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的函數(shù)diff()可以完成對給定函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)8例2：求函數(shù)的一階和三階導(dǎo)數(shù)。解：可用以下程序完成：clear;symsxy=log((x+2)/(1-x));dy=diff(y,x)

dy3=diff(y,x,3)pretty(dy3)這里用到的另一個函數(shù)：pretty()，其功能是使它作用的表達(dá)式更符合數(shù)學(xué)上的書寫習(xí)慣。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例2：求函數(shù)的9MATLAB提供的命令函數(shù)int()可以完成積分運(yùn)算，其調(diào)用格式有如下幾種：int(fun)計(jì)算函數(shù)fun關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分int(fun,x)計(jì)算函數(shù)fun關(guān)于變量x的不定積分int(fun,x,a,b)計(jì)算函數(shù)fun關(guān)于變量x從a到b的定積分我們通過例子來學(xué)習(xí)具體的用法：積分運(yùn)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函數(shù)int()可以完成積分運(yùn)算，其調(diào)用10

例1：計(jì)算不定積分。cleary=sym(‘x^5+x^3-sqrt(x)/4’)int(y)pretty(ans)解：可以用下面的程序完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序完成：NanjingUni11例2：計(jì)算定積分。clearsymsxy=(x*exp(x))/(1+x)^2;int(y,0,1)解：可以用下面的程序?qū)崿F(xiàn)計(jì)算：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序?qū)崿F(xiàn)計(jì)算：NanjingUn12例3：計(jì)算二重積分，其中D為曲

線和所圍成的區(qū)域。所以，計(jì)算該積分的MATLAB程序?yàn)椋篶learsymsxyf=x*x+y;int(int(f,y,x*x,sqrt(x)),x,0,1)

解：區(qū)域D可用不等式表示為：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例3：計(jì)算二重積分，13例4：被積曲面S為球面在第一卦限部分的外則，計(jì)算曲面積分。解：先把問題轉(zhuǎn)化為二重積分，積分區(qū)域?yàn)閤，y平面內(nèi)的第一象限部分。具體的計(jì)算公式為：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例4：被積曲面S為球面在第14然后計(jì)算該二次積分，程序如下：

clearsymsxyzz=sqrt(1-x^2-y^2)f=x*y*zI=int(int(f,y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications然后計(jì)算該二次積分，程序如下：clearNanjingU15

這里我們看到，所有的積分計(jì)算都是利用函數(shù)int完成的，當(dāng)我們遇到二重積分、三重積分和曲線、曲面積分時需要先化為相應(yīng)的累次積分，再用int來完成積分的計(jì)算。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications這里我們看到，所有的積分計(jì)算都是利用函數(shù)int完成的16綜合實(shí)驗(yàn)1.定積分近似計(jì)算的MonteCarlo方法NanjingUniversityofPostsandTelecommunications綜合實(shí)驗(yàn)1.定積分近似計(jì)算的MonteCarlo方法Nan17a=0;b=1;m=1000;s=0;H=exp(1);%s設(shè)置為落在曲邊梯形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)fori=1:mxi=rand();yi=H*rand();ifyi<exp(xi)s=s+1;end;%如果隨機(jī)點(diǎn)落在曲邊梯形內(nèi),s增加1end;fprintf('%s%g\n','exp(x)在[0,1]上的積分約等于',H*(b-a)*s/m)例1近似計(jì)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsa=0;b=1;m=1000;例1近似計(jì)算Nanjing182.Matlab近似計(jì)算定積分rsums(f,a,b)symsx;rsums(exp(x),0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications2.Matlab近似計(jì)算定積分rsums(f,a,b)sym19rsumsexp(-5*x^2)NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsrsumsexp(-5*x^2)NanjingUniv203.泰勒級數(shù)逼近計(jì)算器taylortool

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications3.泰勒級數(shù)逼近計(jì)算器taylortoolNanjing214.最大公約數(shù)問題Matlab用于求兩個整數(shù)的最大公約數(shù)的函數(shù)是gcd，比如gcd(4,6)將會得到2，數(shù)學(xué)上有個這樣的結(jié)論：若d是a,b的最大公約數(shù)，則存在整數(shù)p,q，使得pa+qb=dMatlab中可以通過命令[d,p,q]=gcd(a,b)來獲得上述的三個數(shù)，比如[d,p,q]=gcd(12,32)運(yùn)行得到d=4p=3q=-1可以驗(yàn)證，確實(shí)有3×12-1×32=4NanjingUniversityofPostsandTelecommunications4.最大公約數(shù)問題Matlab用于求兩個整數(shù)的最大公約數(shù)的函22現(xiàn)在考慮這樣的一個問題：任取兩個正整數(shù)，它們互質(zhì)的可能性有多大？m=10000;s=0;fori=1:ma=randint(1,2,[1,10^9]);ifgcd(a(1),a(2))==1s=s+1;endends/mans=0.6043NanjingUniversityofPostsandTelecommunications現(xiàn)在考慮這樣的一個問題：任取兩個正整數(shù)，它們互質(zhì)的可能性有多23實(shí)際上上述所求概率的精確值應(yīng)該是NanjingUniversityofPostsandTelecommunications實(shí)際上上述所求概率的精確值應(yīng)該是NanjingUniver245.勾股數(shù)滿足勾股定理a^2+b^2=c^2的三個正整數(shù)a,b,c稱為勾股數(shù)。以下程序求出100以內(nèi)的所有勾股數(shù)：

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications5.勾股數(shù)滿足勾股定理a^2+b^2=c^2的三個正整數(shù)25l=0;m=[];fora=1:100forc=a+1:100b=sqrt(c^2-a^2);if(b==floor(b))&(b>a)l=l+1;m(:,l)=[a,b,c];endendendmNanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsl=0;NanjingUniversityofPost26考察c-b=1時的勾股數(shù)，將前面程序略加修改可得到下表：a35791113151719b41224406084112144180c51325416185113145181可以證明，此時勾股數(shù)的通項(xiàng)可表示為NanjingUniversityofPostsandTelecommunications考察c-b=1時的勾股數(shù)，將前面程序略加修改可得到下表：a327c-b=2的情況留著自己討論，現(xiàn)在給出c-b=3時的勾股數(shù)，可以得到下表a915212733394551b123672120180252336432c153975123183255339435a/3357911131517b/341224406084112144c/351325416185113145此表與c-b=1時相同，為什么？NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsc-b=2的情況留著自己討論，現(xiàn)在給出c-b=3時的勾股數(shù)，28實(shí)驗(yàn)二MATLAB中的極限、微分和積分運(yùn)算

實(shí)驗(yàn)二MATLAB中的極限、微分和積分運(yùn)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ATLAB軟件中關(guān)于極限、微分運(yùn)算和不定積分、定積分的基本命令，掌握利用MATLAB軟件進(jìn)行求極限和微分運(yùn)算的方法。掌握利用MATLAB軟件進(jìn)行求不定積分、定積分等積分運(yùn)算的方法。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ATLAB軟件中關(guān)于極限、微分運(yùn)算和不定積30二、相關(guān)知識在微積分中，我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)了求函數(shù)的極限、微分和不定積分和定積分的運(yùn)算，那時我們根據(jù)微積分的原理，學(xué)習(xí)了一整套各種各樣的方法，其中包括了許多技巧，現(xiàn)在我們嘗試用軟件來解決這樣的問題。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications二、相關(guān)知識在微積分中，我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)了求函數(shù)的極限、微分和不31MATLAB提供的命令函數(shù)limit()可以完成極限運(yùn)算，其調(diào)用格式如下：limit(F,x,a,’left’)該命令對表達(dá)式F求極限，獨(dú)立變量x從左邊趨于a，函數(shù)中除F外的參數(shù)均可省略，’left’可換成’right’。舉例如下：極限運(yùn)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函數(shù)limit()可以完成極限運(yùn)算，其32例1：求極限。解：可用以下程序完成：clearF=sym(‘(1+a/x)^x’)limit(F,’x’,inf,’left’)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例1：求極限33結(jié)果為exp(a)。其中，語句F=sym(‘(1+a/x)^x’)表示定義符號表達(dá)式也可用以下的語句來完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications結(jié)果為exp(a)。其中，語句F=sym(‘(1+a/x)^34clear;symsx%這里是把x先說明成符號。F=(1+a/x)^x%這里的定義形式和前面不同。limit(F,x,inf,’left’)%這里的x本身就是符號，因此不需要單引號。NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear;NanjingUniversityofPo35MATLAB提供的函數(shù)diff()可以完成對給定函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算，其調(diào)用格式如下：diff(fun,x,n)其意義是求函數(shù)fun關(guān)于變量x的n階導(dǎo)數(shù)，n為1時可省略。這里的fun用上例的后一種方式來定義較為妥當(dāng)。我們看下面的例：導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的函數(shù)diff()可以完成對給定函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)36例2：求函數(shù)的一階和三階導(dǎo)數(shù)。解：可用以下程序完成：clear;symsxy=log((x+2)/(1-x));dy=diff(y,x)

dy3=diff(y,x,3)pretty(dy3)這里用到的另一個函數(shù)：pretty()，其功能是使它作用的表達(dá)式更符合數(shù)學(xué)上的書寫習(xí)慣。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例2：求函數(shù)的37MATLAB提供的命令函數(shù)int()可以完成積分運(yùn)算，其調(diào)用格式有如下幾種：int(fun)計(jì)算函數(shù)fun關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分int(fun,x)計(jì)算函數(shù)fun關(guān)于變量x的不定積分int(fun,x,a,b)計(jì)算函數(shù)fun關(guān)于變量x從a到b的定積分我們通過例子來學(xué)習(xí)具體的用法：積分運(yùn)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函數(shù)int()可以完成積分運(yùn)算，其調(diào)用38

例1：計(jì)算不定積分。cleary=sym(‘x^5+x^3-sqrt(x)/4’)int(y)pretty(ans)解：可以用下面的程序完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序完成：NanjingUni39例2：計(jì)算定積分。clearsymsxy=(x*exp(x))/(1+x)^2;int(y,0,1)解：可以用下面的程序?qū)崿F(xiàn)計(jì)算：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序?qū)崿F(xiàn)計(jì)算：NanjingUn40例3：計(jì)算二重積分，其中D為曲

線和所圍成的區(qū)域。所以，計(jì)算該積分的MATLAB程序?yàn)椋篶learsymsxyf=x*x+y;int(int(f,y,x*x,sqrt(x)),x,0,1)

解：區(qū)域D可用不等式表示為：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例3：計(jì)算二重積分，41例4：被積曲面S為球面在第一卦限部分的外則，計(jì)算曲面積分。解：先把問題轉(zhuǎn)化為二重積分，積分區(qū)域?yàn)閤，y平面內(nèi)的第一象限部分。具體的計(jì)算公式為：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例4：被積曲面S為球面在第42然后計(jì)算該二次積分，程序如下：

clearsymsxyzz=sqrt(1-x^2-y^2)f=x*y*zI=int(int(f,y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications然后計(jì)算該二次積分，程序如下：clearNanjingU43

這里我們看到，所有的積分計(jì)算都是利用函數(shù)int完成的，當(dāng)我們遇到二重積分、三重積分和曲線、曲面積分時需要先化為相應(yīng)的累次積分，再用int來完成積分的計(jì)算。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications這里我們看到，所有的積分計(jì)算都是利用函數(shù)int完成的44綜合實(shí)驗(yàn)1.定積分近似計(jì)算的MonteCarlo方法NanjingUniversityofPostsandTelecommunications綜合實(shí)驗(yàn)1.定積分近似計(jì)算的MonteCarlo方法Nan45a=0;b=1;m=1000;s=0;H=exp(1);%s設(shè)置為落在曲邊梯形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)fori=1:mxi=rand();yi=H*rand();ifyi<exp(xi)s=s+1;end;%如果隨機(jī)點(diǎn)落在曲邊梯形內(nèi),s增加1end;fprintf('%s%g\n','exp(x)在[0,1]上的積分約等于',H*(b-a)*s/m)例1近似計(jì)算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsa=0;b=1;m=1000;例1近似計(jì)算Nanjing462.Matlab近似計(jì)算定積分rsums(f,a,b)symsx;rsums(exp(x),0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications2.Matlab近似計(jì)算定積分rsums(f,a,b)sym47rsumsexp(-5*x^2)NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsrsumsexp(-5*x^2)NanjingUniv483.泰勒級數(shù)逼近計(jì)算器taylortool

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications3.泰勒級數(shù)逼近計(jì)算器taylortoolNanjing494.最大公約數(shù)問題Matlab用于求兩個整數(shù)的最大公約數(shù)的函數(shù)是gcd，比如gcd(4,6)將會得到2，數(shù)學(xué)上有個這樣的結(jié)論：若d是a,b的最大公約數(shù)，則存在整數(shù)p,q，使得pa+qb=dMatlab中可以通過命令[d,p,q]=gcd(a,b)來獲得上述的三個數(shù)，比如[d,p,q]=gcd(12,32)運(yùn)行得到d=4p=3q=-1可以驗(yàn)證，確實(shí)有3×12-1×32=4NanjingUniversityofPostsandTelecommunications4.最大公約數(shù)問題Matlab用于求兩個整數(shù)的最大公約數(shù)的函50現(xiàn)在考慮這樣的一個問題：任取兩個正整數(shù)，它們互質(zhì)的可能性有多大？m=10000;s=0;fori=1:ma=randint(1,2,[1,10^9]);ifgcd(a(1),a(2))==1s=s+1;endends/mans=0.6043NanjingUniver