傅立葉變換的推導(dǎo)課件

第二章確定信號分析

第一節(jié)確定信號的傅里葉變化及其推導(dǎo)第二節(jié)典型信號的傅里葉變換第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)第四節(jié)周期信號的傅里葉變換及抽樣定理QH2.0.2第二章確定信號分析第一節(jié)確定信號的傅里葉變化及其推導(dǎo)第一節(jié)確定信號的傅里葉變換及其推導(dǎo)1，傅里葉變換的基本結(jié)論2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析4，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析6，傅里葉變換的推導(dǎo)7，傅里葉變換的分析QH2.1.1第一節(jié)確定信號的傅里葉變換及其推導(dǎo)1，傅里葉變換的基本結(jié)（1）三角形式的傅里葉級數(shù)（2）復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（3）傅里葉變換1，傅里葉變換的基本結(jié)論QH2.1.2（1）三角形式的傅里葉級數(shù)1，傅里葉變換的基本結(jié)論QH2.1

式2.1.1根據(jù)三角函數(shù)的正交性，對式2.1.1兩邊積分，得：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.3

對式2.1.1兩邊同乘再在積分，得：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.4對式2.1.1兩邊同乘同理，對式2.1.1兩邊同乘再在積分，得：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.5同理，對式2.1.1兩邊同乘由此可得三角形式的傅里葉級數(shù)：其中：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)式2.1.2式2.1.3式2.1.4QH2.1.6由此可得三角形式的傅里葉級數(shù)：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)（1）奇偶性

為偶函數(shù)

為奇函數(shù)3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.7（1）奇偶性3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.7（2）同頻合并：其中：被稱為頻率譜，被稱為相位譜。3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.8（2）同頻合并：3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.8令，則（奇偶性）令，則得：4，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.9令4，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.104，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.10（1）指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對式2.1.5

式2.1.6（2）思考：其中的2到哪去了？5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.11（1）指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析Q（3）其中頻率譜相位譜（4）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，則為實(shí)函數(shù)，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，則為純虛函數(shù)，5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.12（3）5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.12由上一節(jié)的推導(dǎo)可知，兩邊同乘T，得：，其中當(dāng)時(shí)，∴令，則6，傅里葉變換的推導(dǎo)QH2.1.13由上一節(jié)的推導(dǎo)可知，6，傅里葉變換的推導(dǎo)QH2.1.13∵，且，∴6，傅里葉變換的推導(dǎo)QH2.1.14∵（1）傅里葉變換對：式2.1.7

式2.1.8

規(guī)律：正變換為負(fù)，反變換為正。（2）傅里葉變換的基本條件：無限區(qū)間絕對可積7，傅里葉變換的分析QH2.1.15（1）傅里葉變換對：7，傅里葉變換的分析QH2.1.15第二節(jié)典型信號的傅里葉變換1，沖擊函數(shù)2，沖擊偶函數(shù)3，單邊指數(shù)信號4，雙邊指數(shù)信號5，符號函數(shù)6，指數(shù)函數(shù)7，余弦函數(shù)8，矩形窗函數(shù)QH2.2.1第二節(jié)典型信號的傅里葉變換1，沖擊函數(shù)QH2.2.11，沖擊函數(shù)思考：0頻率與沖擊的區(qū)別。QH2.2.21，沖擊函數(shù)思考：0頻率與沖擊的區(qū)別。QH2.2.22，沖擊偶函數(shù)QH2.2.32，沖擊偶函數(shù)QH2.2.33，單邊指數(shù)信號QH2.2.43，單邊指數(shù)信號QH2.2.44，雙邊指數(shù)信號QH2.2.54，雙邊指數(shù)信號QH2.2.5

可以看成是，∴5，符號函數(shù)QH2.2.65，符號函數(shù)QH2.2.6∴6，指數(shù)函數(shù)QH2.2.7∴6，指數(shù)函數(shù)QH2.2.77，余弦函數(shù)QH2.2.87，余弦函數(shù)QH2.2.88，矩形窗函數(shù)QH2.2.98，矩形窗函數(shù)QH2.2.9第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)1，對稱性2，尺度變換3，時(shí)移特性4，頻移特性5，奇偶虛實(shí)性6，傅里葉變換綜合例題QH2.3.1第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)1，對稱性QH2.3.11，對稱性若，則推導(dǎo)：∴互換和，得：也即QH2.3.21，對稱性若2，尺度變換若，則推導(dǎo)：令則

∴QH2.3.32，尺度變換若，則QH2.3.33，時(shí)移特性若，則推導(dǎo)：令則∴QH2.3.43，時(shí)移特性若，則QH2.3.44，頻移特性若，則推導(dǎo)：令則QH2.3.54，頻移特性若，則QH2.3.55，奇偶虛實(shí)性若，則：（1）（2）

（3）推導(dǎo)：（1）

QH2.3.65，奇偶虛實(shí)性若，則：QH2.35，奇偶虛實(shí)性（2）（3）由(1)(2)即可得。QH2.3.75，奇偶虛實(shí)性（2）（3）由(1)(2)即可得。QH2.3.6，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）（2）（3）（4）（5）（6）QH2.3.86，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）QH2.3.86，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）QH2.3.96，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）QH2.3.96，傅里葉變換綜合練習(xí)題（2）QH2.3.106，傅里葉變換綜合練習(xí)題（2）QH2.3.106，傅里葉變換綜合練習(xí)題（3）QH2.3.116，傅里葉變換綜合練習(xí)題（3）QH2.3.116，傅里葉變換綜合練習(xí)題（4）QH2.3.126，傅里葉變換綜合練習(xí)題（4）QH2.3.126，傅里葉變換綜合練習(xí)題（5）QH2.3.13特別地：當(dāng)時(shí)6，傅里葉變換綜合練習(xí)題（5）QH2.3.13特別地：當(dāng)6，傅里葉變換綜合練習(xí)題（6）QH2.3.146，傅里葉變換綜合練習(xí)題（6）QH2.3.14第四節(jié)周期信號的傅里葉變換及抽樣定理1，周期信號的傅里葉變換2，抽樣3，對抽樣的理解4，低通抽樣定理5，帶通抽樣定理QH2.4.1第四節(jié)周期信號的傅里葉變換及抽樣定理1，周期信號的傅里葉1，周期信號的傅里葉變換設(shè)為周期信號，周期為T。則可以展成傅里葉級數(shù)：式2.4.1對式2.4.1兩邊進(jìn)行傅里葉變換可得：式2.4.2其中為數(shù)值。由傅里葉變換的知識，式2.4.2變?yōu)椋篞H2.4.21，周期信號的傅里葉變換設(shè)為周期信號，周期為T。則1，周期信號的傅里葉變換其中為的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，即：式2.4.3現(xiàn)在構(gòu)造函數(shù)為在的一段，其他部分為0，則的傅里葉變換為：式2.4.4對照式2.4.3與式2.4.4可知，∴QH2.4.31，周期信號的傅里葉變換其中為的傅里葉1，周期信號的傅里葉變換特例：當(dāng)周期信號為沖擊序列時(shí)：∴∴周期沖擊序列的傅里葉變換為：QH2.4.41，周期信號的傅里葉變換特例：當(dāng)周期信號為沖擊序列時(shí)：∴∴1，周期信號的傅里葉變換周期信號傅里葉變換的另一種推導(dǎo)方法：QH2.4.51，周期信號的傅里葉變換周期信號傅里葉變換的另一種推導(dǎo)方法：（1）抽樣的概念理解（2）設(shè)連續(xù)信號的傅里葉變換為，抽樣序列的傅里葉變換為。抽樣之后所得序列，其傅里葉變換為。（3）∵抽樣序列為周期信號，∴∴其中用到了函數(shù)的卷積性質(zhì)

2，抽樣QH2.4.6（1）抽樣的概念理解2，抽樣QH2.4.63，對抽樣的理解這是在影響下，在頻域的平移，平移的周期是。QH2.4.73，對抽樣的理解QH2.4.73，對抽樣的理解（1）若是理想沖擊序列，則其傅里葉變換為：由周期信號傅里葉變換的性質(zhì)，∴∴也即抽樣后的頻譜為原信號的搬移，幅度僅變化為以前的，也即一種無失真的抽樣。理想抽樣QH2.4.83，對抽樣的理解（1）若是理想沖擊序列，則其傅3，對抽樣的理解（2）若抽樣序列不是沖擊序列，則抽樣之后的頻譜將會出現(xiàn)失真，也即將的包絡(luò)疊加于之上。自然抽樣QH2.4.93，對抽樣的理解（2）若抽樣序列不是沖擊序列，3，對抽樣的理解（3）平頂抽樣（4）直觀理解明明抽樣了，為什么還會無失真呢？QH2.4.103，對抽樣的理解（3）平頂抽樣QH2.4.104，低通抽樣定理通過上面的分析，設(shè)的最高頻率為。抽樣間隔為T，則抽樣頻率。若，則可以從抽樣信號中將原始信號恢復(fù)出來。所以信號無失真抽樣的最低頻率為，這就是抽樣定理。QH2.4.114，低通抽樣定理通過上面的分析，設(shè)的最高頻率為5，帶通抽樣定理若一個(gè)帶通信號限帶于，則對該信號無失真抽樣的最小頻率為：其中k表示不超過的最大正整數(shù)。QH2.4.125，帶通抽樣定理若一個(gè)帶通信號限帶于，則對該信5，帶通抽樣定理QH2.4.135，帶通抽樣定理QH2.4.136，抽樣定理的假設(shè)（1）對于矩形信號（2）對于三角信號（3）假設(shè)修正

A：

B：QH2.4.146，抽樣定理的假設(shè)（1）對于矩形信號（2）對于三角信號（3）第二章確定信號分析

第一節(jié)確定信號的傅里葉變化及其推導(dǎo)第二節(jié)典型信號的傅里葉變換第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)第四節(jié)周期信號的傅里葉變換及抽樣定理QH2.0.2第二章確定信號分析第一節(jié)確定信號的傅里葉變化及其推導(dǎo)第一節(jié)確定信號的傅里葉變換及其推導(dǎo)1，傅里葉變換的基本結(jié)論2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析4，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析6，傅里葉變換的推導(dǎo)7，傅里葉變換的分析QH2.1.1第一節(jié)確定信號的傅里葉變換及其推導(dǎo)1，傅里葉變換的基本結(jié)（1）三角形式的傅里葉級數(shù)（2）復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（3）傅里葉變換1，傅里葉變換的基本結(jié)論QH2.1.2（1）三角形式的傅里葉級數(shù)1，傅里葉變換的基本結(jié)論QH2.1

式2.1.1根據(jù)三角函數(shù)的正交性，對式2.1.1兩邊積分，得：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.3

對式2.1.1兩邊同乘再在積分，得：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.4對式2.1.1兩邊同乘同理，對式2.1.1兩邊同乘再在積分，得：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.5同理，對式2.1.1兩邊同乘由此可得三角形式的傅里葉級數(shù)：其中：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)式2.1.2式2.1.3式2.1.4QH2.1.6由此可得三角形式的傅里葉級數(shù)：2，三角形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)（1）奇偶性

為偶函數(shù)

為奇函數(shù)3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.7（1）奇偶性3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.7（2）同頻合并：其中：被稱為頻率譜，被稱為相位譜。3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.8（2）同頻合并：3，三角形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.8令，則（奇偶性）令，則得：4，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.9令4，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.104，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)QH2.1.10（1）指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對式2.1.5

式2.1.6（2）思考：其中的2到哪去了？5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.11（1）指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析Q（3）其中頻率譜相位譜（4）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，則為實(shí)函數(shù)，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，則為純虛函數(shù)，5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.12（3）5，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的分析QH2.1.12由上一節(jié)的推導(dǎo)可知，兩邊同乘T，得：，其中當(dāng)時(shí)，∴令，則6，傅里葉變換的推導(dǎo)QH2.1.13由上一節(jié)的推導(dǎo)可知，6，傅里葉變換的推導(dǎo)QH2.1.13∵，且，∴6，傅里葉變換的推導(dǎo)QH2.1.14∵（1）傅里葉變換對：式2.1.7

式2.1.8

規(guī)律：正變換為負(fù)，反變換為正。（2）傅里葉變換的基本條件：無限區(qū)間絕對可積7，傅里葉變換的分析QH2.1.15（1）傅里葉變換對：7，傅里葉變換的分析QH2.1.15第二節(jié)典型信號的傅里葉變換1，沖擊函數(shù)2，沖擊偶函數(shù)3，單邊指數(shù)信號4，雙邊指數(shù)信號5，符號函數(shù)6，指數(shù)函數(shù)7，余弦函數(shù)8，矩形窗函數(shù)QH2.2.1第二節(jié)典型信號的傅里葉變換1，沖擊函數(shù)QH2.2.11，沖擊函數(shù)思考：0頻率與沖擊的區(qū)別。QH2.2.21，沖擊函數(shù)思考：0頻率與沖擊的區(qū)別。QH2.2.22，沖擊偶函數(shù)QH2.2.32，沖擊偶函數(shù)QH2.2.33，單邊指數(shù)信號QH2.2.43，單邊指數(shù)信號QH2.2.44，雙邊指數(shù)信號QH2.2.54，雙邊指數(shù)信號QH2.2.5

可以看成是，∴5，符號函數(shù)QH2.2.65，符號函數(shù)QH2.2.6∴6，指數(shù)函數(shù)QH2.2.7∴6，指數(shù)函數(shù)QH2.2.77，余弦函數(shù)QH2.2.87，余弦函數(shù)QH2.2.88，矩形窗函數(shù)QH2.2.98，矩形窗函數(shù)QH2.2.9第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)1，對稱性2，尺度變換3，時(shí)移特性4，頻移特性5，奇偶虛實(shí)性6，傅里葉變換綜合例題QH2.3.1第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)1，對稱性QH2.3.11，對稱性若，則推導(dǎo)：∴互換和，得：也即QH2.3.21，對稱性若2，尺度變換若，則推導(dǎo)：令則

∴QH2.3.32，尺度變換若，則QH2.3.33，時(shí)移特性若，則推導(dǎo)：令則∴QH2.3.43，時(shí)移特性若，則QH2.3.44，頻移特性若，則推導(dǎo)：令則QH2.3.54，頻移特性若，則QH2.3.55，奇偶虛實(shí)性若，則：（1）（2）

（3）推導(dǎo)：（1）

QH2.3.65，奇偶虛實(shí)性若，則：QH2.35，奇偶虛實(shí)性（2）（3）由(1)(2)即可得。QH2.3.75，奇偶虛實(shí)性（2）（3）由(1)(2)即可得。QH2.3.6，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）（2）（3）（4）（5）（6）QH2.3.86，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）QH2.3.86，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）QH2.3.96，傅里葉變換綜合練習(xí)題（1）QH2.3.96，傅里葉變換綜合練習(xí)題（2）QH2.3.106，傅里葉變換綜合練習(xí)題（2）QH2.3.106，傅里葉變換綜合練習(xí)題（3）QH2.3.116，傅里葉變換綜合練習(xí)題（3）QH2.3.116，傅里葉變換綜合練習(xí)題（4）QH2.3.126，傅里葉變換綜合練習(xí)題（4）QH2.3.126，傅里葉變換綜合練習(xí)題（5）QH2.3.13特別地：當(dāng)時(shí)6，傅里葉變換綜合練習(xí)題（5）QH2.3.13特別地：當(dāng)6，傅里葉變換綜合練習(xí)題（6）QH2.3.146，傅里葉變換綜合練習(xí)題（6）QH2.3.14第四節(jié)周期信號的傅里葉變換及抽樣定理1，周期信號的傅里葉變換2，抽樣3，對抽樣的理解4，低通抽樣定理5，帶通抽樣定理QH2.4.1第四節(jié)周期信號的傅里葉變換及抽樣定理1，周期信號的傅里葉1，周期信號的傅里葉變換設(shè)為周期信號，周期為T。則可以展成傅里葉級數(shù)：式2.4.1對式2.4.1兩邊進(jìn)行傅里葉變換可得：式2.4.2其中為數(shù)值。由傅里葉變換的知識，式2.4.2變?yōu)椋篞H2.4.21，周期信號的傅里葉變換設(shè)為周期信號，周期為T。則1，周期信號的傅里葉變換其中為的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，即：式2.4.3現(xiàn)在構(gòu)造函數(shù)為在的一段，其他部分為0，則的傅里葉變換為：式2.4.4對照式2.4.3與式2.4.4可知，∴QH2.4.31，周期信號的傅里葉變換其中為的傅里葉1，