上海市長寧區(qū)2022屆高三上學(xué)期高考一模數(shù)學(xué)試題 帶詳解

長寧區(qū)2021-2122學(xué)年高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測試卷2021.12.14考生注意：1.答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名，學(xué)校，班級等信息填寫清楚，并貼好條形碼；2.解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書寫，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲?，草稿紙上的答案一律不予評分；3.本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，則____________2.的二項展開式中的系數(shù)為____________3.____________4.若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則____________5.在直角坐標(biāo)系中，角的始邊為正半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則____________6.位同學(xué)被推薦擔(dān)任進(jìn)博會個指定展館服務(wù)志愿者，每人負(fù)責(zé)個展館，每個展館只需位同學(xué)，則共有____________種不同的安排方法.7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn).若為等邊三角形，則的邊長為____________8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，對于下列四個式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（寫出所有恒成立式子的序號）9.設(shè)，若，則的最大值為____________10.已知公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為____________11.已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，線段的中點(diǎn)均在拋物線上，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則的最小值為____________．12.設(shè)曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若曲線仍然為某函數(shù)的圖像，則實數(shù)的取值范圍為____________二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.給定一組數(shù)據(jù)，設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則（）A. B.C D.15.已知平面經(jīng)過圓柱旋轉(zhuǎn)軸，點(diǎn)是在圓柱的側(cè)面上，但不在平面上，則下列個命題中真命題的個數(shù)是（）①總存在直線且與異面；②總存在直線且；③總存在平面且；④總存在平面且.A.l B.2 C.3 D.416.若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.在直三棱柱中，.（1）求四棱錐體積；（2）求直線與平面所成角的正切值.18.已知三個內(nèi)角所對的邊分別為（1）若，求的面積；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，若，求外接圓半徑的值.19.隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購買了家用汽車，使用汽車共需支出三筆費(fèi)用；購置費(fèi)、燃油費(fèi)、養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)，某種型號汽車，購置費(fèi)共萬元；購買后第年燃油費(fèi)共萬元，以后每一年都比前一年增加萬元.（1）若每年養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)均為萬元，設(shè)購買該種型號汽車年后共支出費(fèi)用為萬元，求的表達(dá)式；（2）若購買汽車后的前年，每年養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)均為萬元，由于部件老化和事故多發(fā)，第年起，每一年的養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)都比前一年增加，設(shè)使用年后養(yǎng)護(hù)保險年平均費(fèi)用為，當(dāng)時，最小，請你列出時的表達(dá)式，并利用計算器確定的值（只需寫出的值）20已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）已知函數(shù)的圖像存在對稱中心的充要條件是的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，判斷函數(shù)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）若對任意，都存在及實數(shù)，使得，求實數(shù)的最大值.21.城市道路大多是縱橫交錯的矩形網(wǎng)格狀，從甲地到乙地的最短路徑往往不是直線距離，而是沿著網(wǎng)格走的直角距離，在直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)的“直角距離”為：，設(shè).（1）寫出一個滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線，點(diǎn)分別是直線上的動點(diǎn)，求的最小值；（3）設(shè)，記方程的曲線為，類比橢圓研究曲線的性質(zhì)（結(jié)論不要求證明），并在所給坐標(biāo)系中畫出該曲線；

長寧區(qū)2021-2122學(xué)年高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測試卷2021.12.14考生注意：1.答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名，學(xué)校，班級等信息填寫清楚，并貼好條形碼；2.解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書寫，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲恚莞寮埳系拇鸢敢宦刹挥柙u分；3.本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，則____________【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)集合運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因為，所以故答案為：2.的二項展開式中的系數(shù)為____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式定理計算即可.【詳解】解：展開式的通項公式為，故當(dāng)時，的二項展開式中的項為，其系數(shù)為.故答案為：3.____________【答案】【解析】【分析】由于，進(jìn)而根據(jù)極限法則求極限即可得答案.【詳解】.故答案為：4.若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則____________【答案】【解析】【分析】本題可先根據(jù)增廣矩陣還原出相應(yīng)的線性方程組，然后將解代入線性方程組即可得到、的值，最終可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，可知：此增廣矩陣對應(yīng)的線性方程組為：，將解代入上面方程組，可得：．所以故答案為：．5.在直角坐標(biāo)系中，角的始邊為正半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則____________【答案】##【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】.故答案為：6.位同學(xué)被推薦擔(dān)任進(jìn)博會個指定展館服務(wù)志愿者，每人負(fù)責(zé)個展館，每個展館只需位同學(xué)，則共有____________種不同的安排方法.【答案】【解析】【分析】利用排列計算出正確答案.【詳解】位同學(xué)被推薦擔(dān)任進(jìn)博會個指定展館服務(wù)志愿者，每人負(fù)責(zé)個展館，每個展館只需位同學(xué)，則共有種不同的安排方法.故答案為：7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn).若為等邊三角形，則的邊長為____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義求解即可.【詳解】解：如圖，設(shè)的邊長為，，因為為等邊三角形，所以，由雙曲線的方程知，所以由雙曲線的定義得，即，解得，.所以的邊長為.故答案：.8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，對于下列四個式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（寫出所有恒成立式子的序號）【答案】（2）（3）【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算對四個式子進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】，所以（1）錯誤.，，所以（4）錯誤.設(shè)，.，所以（2）正確.，所以（3）正確.故答案為：（2）（3）9.設(shè)，若，則的最大值為____________【答案】【解析】【分析】由指對互化對數(shù)換地公式得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而得.【詳解】解：因為，所以，所以，因為，所以，故，所以故的最大值為.故答案為：.10.已知公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為____________【答案】【解析】【分析】對的值進(jìn)行分類討論，結(jié)合等差數(shù)列前項和最值的求法求得的最小值.【詳解】取得最小值，則公差，或，（1）當(dāng)，，所以的最小值為.（2）當(dāng)，不合題意.綜上所述：的最小值為.故答案為：11.已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，線段的中點(diǎn)均在拋物線上，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意得是方程的兩個實數(shù)根，故，進(jìn)而得，再根據(jù)直線與軸交于點(diǎn)得，最后結(jié)合對勾函數(shù)求解即可.【詳解】解：設(shè)所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的兩個實數(shù)根，所以，所以，故由于直線與軸交于點(diǎn)所以，即，因為對勾函數(shù)的取值范圍是，所以，故答案為：12.設(shè)曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若曲線仍然為某函數(shù)的圖像，則實數(shù)的取值范圍為____________【答案】【解析】【分析】設(shè)是在點(diǎn)處的切線，進(jìn)而根據(jù)題意得直線關(guān)于對稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，進(jìn)而得的方程為，再聯(lián)立方程即可得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：設(shè)是在點(diǎn)處切線，因為曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以直線關(guān)于對稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，如圖所示直線與的角為，所以的傾斜角為，所以的方程為故聯(lián)立方程得，即，所以，解得所以的取值范圍為故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先利用分式不等式的解法將解得或，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為，所以，所以，即，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B14.給定一組數(shù)據(jù)，設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，由此確定正確選項.【詳解】，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，所以故選：B15.已知平面經(jīng)過圓柱的旋轉(zhuǎn)軸，點(diǎn)是在圓柱的側(cè)面上，但不在平面上，則下列個命題中真命題的個數(shù)是（）①總存在直線且與異面；②總存在直線且；③總存在平面且；④總存在平面且.A.l B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷.【詳解】解：由已知得直線與平面可能平行，也可能相交，所以一定存在直線，且與異面，故①正確；一定存在直線，且，故②正確；一定存在平面，且，故③正確；當(dāng)直線與平面相交時，不存在存在平面，且，故④錯誤；所以4個命題中真命題的個數(shù)是3個.故選：C16.若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，再結(jié)合函數(shù)值值域得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可得答案【詳解】解：，，令，則，因為，所以，因為函數(shù)的值域為，則所以，即，因為，函數(shù)單調(diào)遞減，所以的取值范圍為故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.在直三棱柱中，.（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得平面，進(jìn)而根據(jù)體積公式計算即可；（2）由題可證平面，進(jìn)而是直線與平面所成角，再計算即可得答案.【小問1詳解】解：因為直三棱柱中，平面，所以，因為，所以平面，因為，所以所以四棱錐的體積.【小問2詳解】解：因為直三棱柱中，平面，所以因為，所以平面，因為在直三棱柱中，，所以平面，故連接，，則是直線與平面所成角，所以，所以直線與平面所成角的正切值為.18.已知三個內(nèi)角所對的邊分別為（1）若，求的面積；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，若，求外接圓半徑的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知得，，再根據(jù)三角形面積公式計算即可；（2）在中由余弦定理得，進(jìn)而在中，，再根據(jù)正弦定理求解即可.【小問1詳解】解：因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以的面積為.【小問2詳解】解：因為線段的中點(diǎn)為，，，所以在中，由，解得（舍），所以在中，，即，因為，所以，所以由正弦定理得外接圓半經(jīng)滿足，所以外接圓半徑19.隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購買了家用汽車，使用汽車共需支出三筆費(fèi)用；購置費(fèi)、燃油費(fèi)、養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)，某種型號汽車，購置費(fèi)共萬元；購買后第年燃油費(fèi)共萬元，以后每一年都比前一年增加萬元.（1）若每年養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)均為萬元，設(shè)購買該種型號汽車年后共支出費(fèi)用為萬元，求的表達(dá)式；（2）若購買汽車后的前年，每年養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)均為萬元，由于部件老化和事故多發(fā)，第年起，每一年的養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)都比前一年增加，設(shè)使用年后養(yǎng)護(hù)保險年平均費(fèi)用為，當(dāng)時，最小，請你列出時的表達(dá)式，并利用計算器確定的值（只需寫出的值）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，購買該車后，每年的燃油費(fèi)構(gòu)成等差數(shù)列，首項為，公差為，進(jìn)而得年后燃油的總費(fèi)用是，進(jìn)而結(jié)合題意可得；（2）由題知從第七年起，養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)滿足等比數(shù)列，首項為，公比為，進(jìn)而得年后，養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)為，再求平均值即可得答案，最后利用計算器計算可得.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，購買后第年燃油費(fèi)共萬元，以后每一年都比前一年增加萬元，所以購買該車后，每年的燃油費(fèi)構(gòu)成等差數(shù)列，首項為，公差為，所以購買該種型號汽車第年的燃油費(fèi)用為，所以購買該種型號汽車年后燃油的總費(fèi)用是，因為每年養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)均為萬元，所以購買該種型號汽車年后養(yǎng)護(hù)費(fèi)用共萬元，所以.【小問2詳解】解：當(dāng)時，由于每一年的養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)都比前一年增加，所以從第七年起，養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)滿足等比數(shù)列，首項為，公比為，所以從第七年起，第年的養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)用為，所以購買該種型號汽車年后，養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)為，所以當(dāng)時，使用年后，養(yǎng)護(hù)保險費(fèi)的年平均費(fèi)用為.經(jīng)計算器計算得時，最小.20.已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）已知函數(shù)的圖像存在對稱中心的充要條件是的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，判斷函數(shù)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）若對任意，都存在及實數(shù)，使得，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）存在，（3）2

【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）假設(shè)函數(shù)的圖像存在對稱中心，進(jìn)而根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而得，解方程即可得答案；（3）根據(jù)題意