2009年上海高考數(shù)學真題（理科）試卷（word解析版）

絕密★啟用前2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一．真空題（本大題滿分56分）本大題有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.若復數(shù)z滿足z(1+i)=1-i(I是虛數(shù)單位)，則其共軛復數(shù)=__________________.已知集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是______________________.若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是________________________.4．某算法的程序框如右圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是____________________________.5．如圖，若正四棱柱的底面連長為2，高為4，則異面直線與AD所成角的大小是______________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.6．函數(shù)的最小值是_____________________.7．某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望____________（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.8.已知三個球的半徑，，滿足，則它們的表面積，，，滿足的等量關(guān)系是___________.9.已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=____________.10.在極坐標系中，由三條直線，，圍成圖形的面積是________.11.當，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________.12．已知函數(shù).項數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差.若，則當=____________是，.13.某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標系，現(xiàn)有下述格點，，，，，為報刊零售點.請確定一個格點（除零售點外）__________為發(fā)行站，使6個零售點沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.14.將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線.若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖像，則的最大值為__________.二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得4分，否則一律得零分。15.是“實系數(shù)一元二次方程有虛根”的（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件16.若事件與相互獨立，且，則的值等于（A）（B）（C）（D）17.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”。根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是（A）甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4（B）乙地：總體均值為1，總體方差大于0（C）丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3（D）丁地：總體均值為2，總體方差為318.過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（）（A）0條（B）1條（C）2條（D）3條三．解答題（本大題滿分78分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟19（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。有時可用函數(shù)描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數(shù)（），表示對該學科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學科知識有關(guān)。證明：當時，掌握程度的增加量總是下降；根據(jù)經(jīng)驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為,,。當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科。21．（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分。已知雙曲線設(shè)過點的直線l的方向向量當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；證明：當>時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。已知函數(shù)的反函數(shù)。定義：若對給定的實數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“積性質(zhì)”。判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；設(shè)函數(shù)對任何，滿足“積性質(zhì)”。求的表達式。23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。若，是否存在，有說明理由；找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明。

2009年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）考生注意：答卷前，考生務必在答題紙上將姓名、高考準考證號填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼.本試卷共有23道試題，滿分150分.考試時間20分鐘.一．真空題（本大題滿分56分）本大題有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.若復數(shù)z滿足z(1+i)=1-i(I是虛數(shù)單位)，則其共軛復數(shù)=__________________.1．【答案】i【解析】設(shè)z＝a＋bi，則（a＋bi）(1+i)=1-i，即a－b＋（a＋b）i＝1－i，由，解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，＝i已知集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是______________________.2．【答案】a≤1【解析】因為A∪B=R，畫數(shù)軸可知，實數(shù)a必須在點1上或在1的左邊，所以，有a≤1。若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是________________________.3．【答案】【解析】依題意，得：(-1)2×(9x-24)＞0，解得：4．某算法的程序框如右圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是____________________________.4．【答案】【解析】當x＞1時，有y＝x－2，當x＜1時有y＝，所以，有分段函數(shù)。5．如圖，若正四棱柱的底面連長為2，高為4，則異面直線與AD所成角的大小是______________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.5．【答案】【解析】因為AD∥A1D1，異面直線BD1與AD所成角就是BD1與A1D1所在角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝2，tan∠A1D1B＝，所以，∠A1D1B＝。6．函數(shù)的最小值是_____________________.6．【答案】【解析】，所以最小值為：7．某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望____________（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.7．【答案】【解析】可取0，1，2，因此P（＝0）＝，P（＝1）＝，P（＝2）＝，＝0×＝8.已知三個球的半徑，，滿足，則它們的表面積，，，滿足的等量關(guān)系是___________.8、【答案】【解析】，，同理：，即R1＝，R2＝，R3＝，由得9.已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=____________.9．【答案】3【解析】依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。10.在極坐標系中，由三條直線，，圍成圖形的面積是________.10、【答案】【解析】化為普通方程，分別為：y＝0，y＝x，x＋y＝1，畫出三條直線的圖象如右圖，可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面積為：＝11.當，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________.11、【答案】k≤1【解析】作出與的圖象，要使不等式成立，由圖可知須k≤1。12．已知函數(shù).項數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差.若，則當=____________是，.12．【答案】14【解析】函數(shù)在是增函數(shù)，顯然又為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，因為，所以，所以當時，.13.某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標系，現(xiàn)有下述格點，，，，，為報刊零售點.請確定一個格點（除零售點外）__________為發(fā)行站，使6個零售點沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.13．【答案】（3，3）【解析】設(shè)發(fā)行站的位置為，零售點到發(fā)行站的距離為，這六個點的橫縱坐標的平均值為，，記A（2，），畫出圖形可知，發(fā)行站的位置應該在點A附近，代入附近的點的坐標進行比較可知，在（3,3）處z取得最小值。14.將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線.若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖像，則的最大值為__________.14．【答案】【解析】由得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13，，它的圖象是以（3，－2）為圓心，為半徑的一段圓弧，設(shè)過原點且與曲線C相切的直線為y＝kx，當θ＝0時，k＝－＝，此時直線的傾斜角為β，即tanβ＝，當切線與y軸重合時，曲線上的點滿足函數(shù)的定義，即是一個函數(shù)的圖象，再逆時針旋轉(zhuǎn)時，曲線不再是一個函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)角為90°－β，則tan（90°－β）＝，即θ＝二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得4分，否則一律得零分。15.是“實系數(shù)一元二次方程有虛根”的（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件15、【答案】A【解析】△＝－4＜0時，－2＜＜2，因為是“－2＜＜2”的必要不充分條件，故選A。16.若事件與相互獨立，且，則的值等于（A）（B）（C）（D）16、【答案】B【解析】＝＝17.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”。根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是（A）甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4（B）乙地：總體均值為1，總體方差大于0（C）丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3（D）丁地：總體均值為2，總體方差為317、【答案】D【解析】根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，選項A中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項C中也有可能；選項B中的總體方差大于0，敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項D中，根據(jù)方差公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會為3，故答案選D.18.過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（）（A）0條（B）1條（C）2條（D）3條18、【答案】B【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面積是定值，所以，為定值，即為定值，當直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B。三．解答題（本大題滿分78分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟19（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。19，【解】如圖，建立空間直角坐標系則A（2，0，0）、C（0，2，0）A1（2，0，2），B1（0，0，2）、C1（0，2，2）……2分設(shè)AC的中點為M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一個法向量?！?分設(shè)平面的一個法向量是=（x，y，z），=（-2，2，-2），=（-2，0，0）……7分設(shè)法向量的夾角為，二面角的大小為，顯然為銳角…….14分20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。有時可用函數(shù)描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數(shù)（），表示對該學科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學科知識有關(guān)。證明：當時，掌握程度的增加量總是下降；根據(jù)經(jīng)驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為,,。當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科。20.證明（1）當而當，函數(shù)單調(diào)遞增，且>0……..3分故單調(diào)遞減當，掌握程度的增長量總是下降……………..6分（2）由題意可知0.1+15ln=0.85……………….9分整理得解得…….13分由此可知，該學科是乙學科……………..14分21．（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分。已知雙曲線設(shè)過點的直線l的方向向量當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；證明：當>時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。21.（1）雙曲線C的漸近線直線l的方程………………..6分直線l與m的距離……….8分（2）設(shè)過原點且平行與l的直線則直線l與b的距離當又雙曲線C的漸近線為雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。[證法二]雙曲線的右支上存在點到直線的距離為，則由（1）得，設(shè)當，0………………..13分將代入（2）得（*）方程（*）不存在正根，即假設(shè)不成立故在雙曲線C的右支上不存在Q，使之到直線l的距離為…………….16分22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。已知函數(shù)的反函數(shù)。定義：若對給定的實數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“積性質(zhì)”。判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；設(shè)函數(shù)對任何，滿足“積性質(zhì)”。求的表達式。22（1）解，函數(shù)的反函數(shù)是而其反函數(shù)為故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)”（2）設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，…….6分而得反函數(shù)………….8分由“2和性質(zhì)”定義可知=對恒成立即所求一次函數(shù)為………..10分（3）設(shè)，，且點在圖像上，則在函數(shù)圖象上，故，可得，．．．．．．12分，令，則。，即。．．．．．．14分綜上所述，，此時，其反函數(shù)就是，而，故與互為反函數(shù)。．．．．．．16分23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。若，是否存在，有說明理由；找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明。23．[解法一]（1）由，得，．．．．．．2分整理后，可得，、，為整數(shù)，不存在、，使等式成立。．