2020高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.2.1 直線與圓的位置關系練習（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第30課時直線與圓的位置關系對應學生用書P85知識點一直線與圓位置關系的判斷1．直線3x＋4y－13＝0與圓（x－2)2＋（y－3)2＝1的位置關系是（）A．相離B．相交C．相切D．無法判定答案C解析由圓的方程可得圓心坐標為（2,3），半徑r＝1，所以圓心到直線3x＋4y－13＝0的距離d＝eq\f(｜6＋12－13｜,5）＝1＝r,則直線與圓的位置關系為相切,故選C．2．直線ax－y＋2a＝0與圓x2＋y2＝9的位置關系是（）A．相離B．相切C．相交D．不確定答案C解析將直線ax－y＋2a＝0化為點斜式得y＝a(x＋2），知該直線過定點(－2，0）．又(－2)2＋02<9,故該定點在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所以直線ax－y＋2a＝0與圓x2＋y2＝9必相交．故選C．3．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0截得的弦長為(）A．eq\r（3）B．2C．eq\r(6）D．2eq\r（3）答案D解析過原點且傾斜角為60°的直線方程為y＝eq\r（3）x,圓的標準方程為x2＋(y－2)2＝4，圓心(0,2)到直線的距離d＝eq\f（｜\r(3）×0－2|,\r(\r（3)2＋－12））＝1,由垂徑定理知所求弦長為l＝2eq\r（22－12)＝2eq\r(3),故選D．4．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(2)，則實數(shù)a的值為（)A．－1或eq\r(3）B．1或3C．－2或6D．0或4答案D解析圓的半徑r＝2，圓心(a,0）到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f（|a－2|，\r（2)），由eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(|a－2|,\r(2))))2＋（eq\r(2))2＝22得a＝0或a＝4．故選D．知識點二直線與圓相交的有關問題5．直線y＝kx＋3被圓（x－2）2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3），則直線的斜率為（)A．eq\r（3）B．±eq\r(3）C．eq\f(\r（3）,3）D．±eq\f(\r（3），3）答案D解析因為直線y＝kx＋3被圓(x－2）2＋（y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r（3)，所以圓心C(2，3）到直線的距離為d＝eq\r(4－\r（3)2)＝1，所以eq\f（｜2k－3＋3｜,\r（k2＋1)）＝eq\f（｜2k|，\r(k2＋1））＝1，解得k＝±eq\f(\r（3)，3），故選D．6．直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a〈3)相交于A，B兩點，若弦AB的中點為C(－2，3)，則直線l的方程為________．答案x－y＋5＝0解析由圓的一般方程可得圓心M（－1，2)．由圓的性質(zhì)易知M，C兩點的連線與弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1?kAB＝1，故直線AB的方程為y－3＝x＋2,整理得x－y＋5＝0．知識點三切線問題7．與圓C:x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y軸上的截距相等的直線共有（)A．1條B．2條C．3條D．4條答案C解析圓C的方程可化為（x－2)2＋y2＝2．可分為兩種情況討論：（1)直線在x，y軸上的截距均為0，易知直線斜率必存在，設直線方程為y＝kx，則eq\f（|2k｜，\r(1＋k2))＝eq\r（2)，解得k＝±1；(2）直線在x，y軸上的截距均不為0，則可設直線方程為eq\f（x,a)＋eq\f(y,a)＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），則eq\f(|2－a|，\r(2）)＝eq\r（2)，解得a＝4(a＝0舍去)．因此滿足條件的直線共有3條．8．已知圓x2＋y2＝25，求：(1）過點A(4，－3)的切線方程；(2）過點B（－5，2)的切線方程．解（1)∵點A（4，－3)在圓x2＋y2＝25上,∴過點A的切線方程為4x－3y－25＝0．(2）∵點B（－5，2)不在圓x2＋y2＝25上，當過點B(－5，2）的切線斜率存在時,設所求切線方程為y－2＝k(x＋5)，即kx－y＋5k＋2＝0．由eq\f（|5k＋2｜,\r(k2＋1))＝5，得k＝eq\f(21，20)．∴此時切線方程為21x－20y＋145＝0．當過點B(－5，2）的切線斜率不存在時，結合圖形可知，x＝－5也是切線方程．綜上所述，所求切線方程為21x－20y＋145＝0或x＝－5．對應學生用書P85一、選擇題1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系是（)A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心D．相離答案B解析∵圓心到直線的距離d＝eq\f(1，\r（1＋1）)＝eq\f（\r(2),2）<1，又直線y＝x＋1不過圓心(0，0），∴直線與圓相交但直線不過圓心．2．已知點（a,b)在圓C：x2＋y2＝r2（r≠0)的外部，則直線ax＋by＝r2與C的位置關系是()A．相切B．相離C．相交D．不確定答案C解析由已知a2＋b2>r2，且圓心到直線ax＋by＝r2的距離為d＝eq\f（r2，\r(a2＋b2))，則d〈r，故直線ax＋by＝r2與圓C的位置關系是相交．3．若直線x－y＋1＝0與圓（x－a)2＋y2＝2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是（)A．[－3,－1]B．［－1，3]C．(－∞,－3]∪［1，＋∞)D．［－3，1］答案D解析將直線方程與圓方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y＋1＝0，,x－a2＋y2＝2,）)消去y得2x2＋（2－2a）x＋a2－1＝0．因為直線與圓有公共點,所以Δ≥0，解得－3≤a≤1，故選D．4．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設該圓過點P(3,5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(）A．10eq\r(6）B．20eq\r（6）C．30eq\r(6）D．40eq\r（6）答案B解析如右圖所示，設圓的圓心為M,則M(3，4)，半徑r＝5．當過點P的直線過圓心M時，對應的弦AC是最長的，此時，｜AC|＝2r＝10;過點P的直線與MP垂直時,對應的弦BD最小，此時在Rt△MPD中，|MD｜＝r＝5，｜MP|＝1，故｜BD|＝2eq\r(｜MD|2－|MP|2）＝4eq\r（6）．此時四邊形ABCD的面積為：S＝eq\f(1，2)｜AC｜·｜BD｜＝20eq\r(6)．5．圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r（2）的點共有(）A．1個B．2個C．3個D．4個答案C解析圓的標準方程為（x＋1）2＋（y＋2)2＝8，圓心為(－1，－2)，半徑為2eq\r（2)，所以圓心到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\f（|－1－2＋1|,\r(2））＝eq\r(2）〈2eq\r（2)，結合圖形知滿足條件的點有3個．二、填空題6．已知過原點的直線l與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，則直線l的斜率為________．答案±eq\f(2\r(5）,5)解析由題意點A在圓O上，知直線的斜率存在，設直線方程為y＝kx，代入圓的方程化簡得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，判別式Δ＝36－20（1＋k2）＝0,解得k＝±eq\f(2\r(5），5)．7．過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為________．答案y＝2x解析圓的方程可化為(x－1）2＋(y－2）2＝1,即圓心為（1，2)，半徑長為1．設所求直線的方程為y＝kx(由題意易得直線的斜率存在),即kx－y＝0．由于直線與圓相交所得弦的長為2,圓的半徑長為1，即圓心在直線kx－y＝0上，于是k－2＝0，即k＝2．故所求直線的方程為y＝2x．8．已知圓O：x2＋y2＝5和點A（1，2)，則過點A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于________．答案eq\f(25，4）解析由題意點A在圓O上，可直接求出切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1），即x＋2y－5＝0，從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5和eq\f（5，2)，所以所求面積為eq\f（1，2）×eq\f（5,2)×5＝eq\f(25,4）．三、解答題9．已知兩平行直線4x－2y＋7＝0,2x－y＋1＝0間的距離等于坐標原點O到直線l：x－2y＋m＝0(m>0）的距離的一半．（1）求m的值;（2)判斷直線l與圓C：x2＋（y－2)2＝eq\f(1，5)的位置關系．解（1）2x－y＋1＝0可化為4x－2y＋2＝0，則兩平行直線4x－2y＋7＝0，2x－y＋1＝0之間的距離為eq\f(｜7－2｜，\r(42＋－22）)＝eq\f（\r（5)，2）,則點O到直線l：x－2y＋m＝0（m>0）的距離為eq\f(｜m|，\r（5))＝eq\r（5），∴m＝5．（2）圓C：x2＋（y－2)2＝eq\f（1，5）的圓心C(0，2)，半徑r＝eq\f(\r(5），5)，∵點C到直線l的距離為eq\f(|0－4＋5|,\r（5)）＝eq\f（\r（5)，5)，∴直線l與圓C相切．10．已知圓C：（x－1）2＋（y－2)2＝25，直線l：（2m＋1）x＋(m＋1)y＝7m＋4（m∈R）．(1)求證：直線l過定點A（3，1)，且直線l與圓C相交；（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時的方程．解（1)證明：將點A(3,1)代入直線l的方程，得左邊