《6.2.4 向量的數(shù)量積》課件（共兩套）

第6章平面向量及其應用6.2.3

向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的物理背景1力所做的功的計算★如圖，一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力的方

向與位移的方向的夾角為θ，則力F所做的功為

其中

是物體在位移方向上分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.

【1】功W是一個數(shù)量，既涉及長度又涉及角度，且只與這兩個量有關(guān)；【2】當0≤θ＜90°時，W＞0；當θ=90°時，力的方向和位移的方向互相

垂直，W=0，力F不做功；當90°＜θ≤180°時，W＜0，既力F做負功.向量的夾角2向量夾角的基本定義兩個非零向量和

已知兩個非零向量，，如圖，O是平面上的任意一點，作OA=，OB=，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量與的夾角.

[0,π]

與同向

與反向

與同向，記作

向量的夾角2對兩向量，夾角的理解

（1）根據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量夾角是將兩個向量的

起點移到同一點，這樣兩向量所成的角才是這兩個向量

的夾角

（2）例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA與AB的夾角，∠BAD才是CA與AB的夾

角.其中AD是CA平移所得.（3）向量與之間的夾角θ的取值范圍是[0，π]，這與兩直線夾角的范圍

是不一樣的(向量有方向)，注意從定義上理解.

（5）向量與的夾角也可以表示為

平面向量數(shù)量積的概念3平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(也叫內(nèi)積)，記作，即

【規(guī)定】零向量與任一向量的數(shù)量積為0（2）向量的線性運算的結(jié)果是向量，但兩個向量的數(shù)量積卻是一個數(shù)量，而不是向量，其

大小與兩個向量的長度以及夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值決定.（1）在書寫數(shù)量積時，與之間用實心圓點“·”連接，不能寫成“×”,更不能不寫.

（3）設兩個非零向量之間的夾角為θ，則當θ=0°時，；當θ為銳

角時，；當θ為直角時，；當θ為鈍角

時，;當θ=180°時，

平面向量數(shù)量積的概念3①兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法運算，它是向量與向量的運算，

其結(jié)果是數(shù)量(而不是向量)，可以為正，可以為負，也可以為零.②前面學習的向量的加法、減法和數(shù)乘，其結(jié)果全都是向量，要注意這兩種不

同運算的區(qū)別.③我們規(guī)定了與任意向量的數(shù)量積為0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，這是因為兩個向量垂直時，其夾角為90°，此時，

故也有=0

.

④要注意=0，但0

平面向量數(shù)量積的概念3投影

如圖①，設和是兩個非零向量，AB=，CD=，我們考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1、B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量

上的投影向量.

如圖②，我們可以在平面內(nèi)任取一點O，作OM=，ON=.過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量在向量上的投影向量.

設與同方向的單位向量為，與的夾角為θ，則OM1=

平面向量數(shù)量積的概念3投影補充①為向量在上(在上)的投影的數(shù)量.

②投影的數(shù)量是一個值，不是向量.

★當θ為銳角時，投影的數(shù)量為正值；★當θ為鈍角時，投影的數(shù)量為負值；★當θ為直角時，投影的數(shù)量為0；★當θ為0°時，向量在上(在上)投影的數(shù)量為

；

★當θ為180°時，向量在上(在上)投影的數(shù)量為

；

☆在上的投影的數(shù)量可以記為，也可以記為

在上的投影和在

上的投影，不一樣.

平面向量數(shù)量積的概念3直觀理解

正正0負負平面向量數(shù)量積的性質(zhì)4設與都是非零向量，θ為向量與的夾角，是與方向相同的單位向量，則有如下性質(zhì)：

既可以證明向量垂直，也可以由垂直進行相關(guān)計算可以用來求向量的模，實現(xiàn)實數(shù)運算往向量運算的轉(zhuǎn)化可用來求兩個向量的夾角，夾角的取值與兩個向量有關(guān)可以通過向量來證明不等式問題或者求最值問題向量數(shù)量積的運算律5向量數(shù)量積的三大運算律

和實數(shù)的交換律相同和實數(shù)的結(jié)合律相同和實數(shù)的分配律相同

兩個向量共線分為同向共線與反向共線兩種情況，對應的夾角分別是0°和180°，不要弄錯.

未弄清向量的夾角而弄錯坑①

顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，故它們的夾角為0°.

顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，

因為它們是反向共線，故夾角為180°

A.150°B.120°C.60°D.30°如圖所示就是符合題意的向量，

根據(jù)題意有ΔACO和ΔBCO都是是等邊三角形，所以∠AOB=60°+60°=120°

平面幾何性質(zhì)運用不準確坑②在ΔABC中，|BC|=5，|CA|=6，∠BCA=60°，求AC·CA

判斷兩個向量的夾角，應先把兩個向量移動到同一起點，BC與CA的夾角是∠BCA的補角.

【解】由題意，可得任意兩個向量的夾角都是0°或120°

錯用向量運算法則坑③

6.2.4向量的數(shù)量積第六章平面向量及其應用情境導入

我們一起來看一下物理中功的概念：如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功θFS

思考1：前面我們學習了向量的加、減運算。類比數(shù)的運算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？

由功的概念可知，功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。由此，我們引入“數(shù)量積”的概念。知識探究（一）：向量的夾角

OABabOABba當，向量同向OABba當，向量反向OABab當，向量垂直記作已知特殊情況1特殊情況3特殊情況2注意：計算向量的夾角時，要將兩個向量起點放在一起.規(guī)定：零向量與任一向量垂直。小試牛刀說出下列兩個向量

和

的夾角的大小是多少？(1)40O╮(2)(3)┐(5)60O(6)60O(4)知識探究（二）：數(shù)量積的定義

思考：根據(jù)功的定義，你能推導出數(shù)量積的定義嗎？它和向量的加、減以及數(shù)乘運算有什么區(qū)別？

數(shù)量積定義：

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

對比向量的線性運算，我們發(fā)現(xiàn)，向量線性運算的結(jié)果是一個向量，而兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān)。例題講解例1：例題講解例2：知識探究（三）：投影(或射影)的定義DCAB知識探究（三）：投影（或射影）的定義OMN思考：由此可得數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在的方向上的投影的乘積。小試牛刀如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D為BC的中點．E總結(jié):求一個向量在另一個向量上的投影向量時，關(guān)鍵是作出恰當?shù)拇咕€，根據(jù)題意確定向量的模及兩向量的夾角．知識探究（四）：數(shù)量積的性質(zhì)思考：OMNOMN知識探究（四）：數(shù)量積的性質(zhì)思考：OMN知識探究（四）：數(shù)量積的性質(zhì)思考：知識探究（四）：數(shù)量積的性質(zhì)思考：知識探究（四）：數(shù)量積的性質(zhì)思考：思考：知識探究（五）：數(shù)量積的運算律思考：數(shù)的乘法有相應的運算律，你能根據(jù)向量的線性運算的運算律得到數(shù)量積運算的運算律嗎？你能證明嗎？知識探究（五）：數(shù)量積的運算律數(shù)乘運算的運算律思考：以此類推，可得數(shù)量積運算的運算律如下：不一定。左右兩邊不一定相等，所以不一定成立。例題講解例3：例題講解例4：

向量數(shù)量積的求法(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．知識拓展：向量的模的計算方法總結(jié)：例題講解例5：

求向量的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應用

，勿忘記開方．(2)

，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化．提升訓練1、判斷下列各題是否正確(√)(×)(×)(×)(√)(×)(√)提升訓練2、如圖,邊長為1的等邊三角形ABC中,求：