2020高中數(shù)學(xué) 課下梯度提能（二十）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課下梯度提能(二十）一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算1．已知向量a＝（1，－1)，b＝（2,x)．若a·b＝1,則x＝（)A．－1B．－eq\f（1,2）C.eq\f（1,2)D．12．已知向量a＝（0，－2eq\r(3）),b＝（1，eq\r（3）），則向量a在b方向上的投影為（）A。eq\r（3)B．3C．－eq\r（3）D．－33．已知向量a＝(eq\r(3),1），b是不平行于x軸的單位向量，且a·b＝eq\r（3)，則b＝（)A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）,2)，\f(1,2）))B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，\f(\r（3)，2)））C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,4)，\f(3\r(3),4））)D．（1，0）對點(diǎn)練二向量模的問題4．已知平面向量a＝（2,4）,b＝（－1，2)，若c＝a－（a·b)b，則|c|等于（)A．4eq\r(2）B．2eq\r(5）C．8D．8eq\r(2)5．設(shè)平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y),若a∥b，則|3a＋b｜等于________對點(diǎn)練三向量的夾角與垂直問題6．設(shè)向量a＝(1，0),b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2），\f（1,2））），則下列結(jié)論中正確的是（)A．｜a|＝|b｜B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2），2)C．a(chǎn)－b與b垂直D．a(chǎn)∥b7．以原點(diǎn)O和點(diǎn)A(5，2)為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,使∠B＝90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo)．8．已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，2）．(1）若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐標(biāo)；（2）若｜b|＝eq\f（\r（5），2)，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.對點(diǎn)練四平面向量的數(shù)量積問題9．在直角三角形ABC中,角C為直角,且AC＝BC＝1，點(diǎn)P是斜邊上的一個三等分點(diǎn)，則eq\o（CP，\s\up8(→））·eq\o(CB,\s\up8(→））＋eq\o（CP，\s\up8（→））·eq\o（CA,\s\up8（→))＝（）A．0B．1C。eq\f（9，4）D．－eq\f(9，4）10．如圖，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC邊上一點(diǎn),且eq\o(DC，\s\up8（→））＝－eq\f(3，4）eq\o（DA,\s\up8(→）），則eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AC，\s\up8(→)）＝________。二、綜合過關(guān)訓(xùn)練A。eq\f（3,2）B．－eq\f(3，2）C．4D．－42．已知向量＝(2，2)，＝(4,1),在x軸上有一點(diǎn)P，使有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．（－3，0）B．（2，0）C．(3，0）D．（4，0)3．a(chǎn)，b為平面向量,已知a＝（4，3)，2a＋b＝（3，18），則a,b夾角的余弦值等于（A。eq\f(8,65）B．－eq\f（8,65）C。eq\f(16,65)D．－eq\f（16，65）4．已知a＝（1，2)，b＝（x，4）,且a·b＝10，則｜a－b｜＝________.5．如圖，已知點(diǎn)A(1,1)和單位圓上半部分上的動點(diǎn)B，若⊥，則向量的坐標(biāo)為________．6．已知a＝（λ，2λ),b＝（3λ,2）,若a與b的夾角為銳角,則λ的取值范圍是________．7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),＝(2，5),＝（3，1)，＝（6，3),則在線段OC上是否存在點(diǎn)M,使得？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．答案［學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練］1.解析:選Da·b＝（1，－1)·（2，x）＝2－x＝1?x＝1。2。解析：選D向量a在b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－6，2)＝－3.選D。3.解析：選B法一：設(shè)b＝(x，y），其中y≠0，則a·b＝eq\r(3）x＋y＝eq\r(3）.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，,\r（3）x＋y＝\r（3）,y≠0，)),解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，2)，,y＝\f(\r(3)，2)，)）即b＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f（\r(3）,2)))。故選B.法二：利用排除法．D中,y＝0，∴D不符合題意；C中，向量eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,4)，\f(3\r(3）,4)）)不是單位向量，∴C不符合題意；A中，向量eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），2），\f（1,2)）)使得a·b＝2,∴A不符合題意．故選B.4。解析：選D易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝（2,4）－6(－1，2)＝（8，－8），所以|c｜＝eq\r（82＋(－8）2)＝8eq\r(2）。5。解析：a∥b，則2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4,從而3a＋b＝（1,2)，|3a＋b｜＝eq\r(5)。答案:eq\r(5)6。解析：選C由題意知|a｜＝eq\r(12＋02)＝1,|b|＝eq\r(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）)）\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))\s\up12(2)）＝eq\f（\r(2），2），a·b＝1×eq\f(1，2)＋0×eq\f（1,2）＝eq\f（1，2），（a－b）·b＝a·b－｜b|2＝eq\f（1，2)－eq\f（1,2）＝0，故a－b與b垂直．7.解：設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x,y)，則＝（x,y)，＝（x－5，y－2)．∵⊥，∴x(x－5）＋y（y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0。又∵||＝｜｜，∴x2＋y2＝(x－5）2＋（y－2）2，即10x＋4y＝29。由eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－5x－2y＝0，，10x＋4y＝29，）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,2），,y＝－\f(3,2），）)或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2），,y＝\f（7,2）.)）∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(7,2）,－\f（3，2）））或eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，2),\f（7,2）)).＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3，2）,－\f(7，2))）或eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（7，2），\f(3，2）)）.8。解：(1)設(shè)c＝（x,y)，∵｜c(diǎn)｜＝2eq\r(5），∴eq\r(x2＋y2)＝2eq\r（5），∴x2＋y2＝20。由c∥a和｜c(diǎn)｜＝2eq\r(5），可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（1·y－2·x＝0，，x2＋y2＝20，)）解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝2,，y＝4,)）或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝－2，，y＝－4。))故c＝(2，4)或c＝(－2，－4）．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b）∴(a＋2b）·(2a－b）＝0即2a2＋3a·b－2b2＝∴2×5＋3a·b－2×eq\f（5，4）＝0，整理得a·b＝－eq\f（5，2），∴cosθ＝eq\f（a·b,|a|｜b｜)＝－1。又θ∈［0，π]，∴θ＝π.9.解析：選B以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o（CA，\s\up8(→))，eq\o(CB，\s\up8（→)）的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系（圖略)，則C(0，0），A（1，0），B（0，1)，不妨設(shè)Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3），\f（2,3））），所以eq\o(CP,\s\up8(→））·eq\o（CB,\s\up8(→))＋eq\o（CP，\s\up8(→）)·eq\o（CA,\s\up8(→））＝eq\o（CP，\s\up8（→）)·(eq\o（CB，\s\up8(→）)＋eq\o(CA，\s\up8（→）))＝eq\f(1，3）＋eq\f(2，3）＝1。故選B。10。解析：根據(jù)題意得eq\o（BD,\s\up8(→))·eq\o（AC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，7）\o(BA，\s\up8(→）)＋\f（4，7）\o(BC，\s\up8(→）)））·（eq\o（BC,\s\up8（→)）－eq\o(BA，\s\up8(→)))＝eq\f（3，7）eq\o(BA,\s\up8（→))·eq\o（BC，\s\up8（→）)－eq\f(3,7)×16＋eq\f(4，7）×4－eq\f（4,7）eq\o(BA，\s\up8（→））·eq\o(BC,\s\up8（→)）＝－eq\f(1，7）eq\o（BA,\s\up8（→))·eq\o（BC,\s\up8（→)）－eq\f(32，7)＝－eq\f（1,7)×4×2×cos120°－eq\f（32,7)＝－4.答案：－4二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1.解得m＝4。2。解析：選C設(shè)P（x，0）,則＝(x－2，－2),＝（x－4，－1），∴＝(x－2）(x－4）＋2＝x2－6x＋10＝(x－3）2＋1，故當(dāng)x＝3時，AP→·BP→最小，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)．3.解析:選C設(shè)b＝(x，y),則2a＋b＝（8＋x，6＋y）＝(3，18）所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（8＋x＝3,,6＋y＝18，）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝12，））故b＝(－5,12），所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b，｜a｜｜b｜)＝eq\f(16，65）.4。解析:由題意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝（－1，－2），∴｜a－b｜＝eq\r(5）。答案:eq\r(5)5。解析：依題意設(shè)B（cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝eq\f（3π,4)，所以＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(\r(2），2）,\f（\r(2）,2））)。答案:eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(2），2),\f（\r（2),2）))6。解析：因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以0<eq\f（a·b，｜a｜|b|)<1，即0<eq\f(3λ2＋4λ，\r(5λ2）×\r(9λ2＋4))<1，解得λ<－eq\f（4,3)或0<λ〈eq\f(1，3）或λ>eq\f(1,3）.答案:eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4