2020高中數(shù)學(xué) 課下梯度提能（二十三）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課下梯度提能（二十三）一、題組對點訓(xùn)練對點練一給角求值問題1．(2019·全國卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－eq\r（3) B．－2＋eq\r(3）C．2－eq\r(3) D．2＋eq\r(3）2．coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（17π,4））)－sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(17π，4）））的值是（）A.eq\r（2)B．－eq\r(2）C．0D.eq\f（\r(2)，2）3．tan23°＋tan37°＋eq\r（3）tan23°tan37°的值是________．對點練二給值（式)求角問題4．設(shè)α，β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r（5），5），cosβ＝－eq\f（3\r（10)，10），則α＋β的值為(）A。eq\f（3π，4）B。eq\f（5π，4）C。eq\f（7π,4)D。eq\f（5π,4)或eq\f（7π，4）5．若（tanα－1)(tanβ－1)＝2，則α＋β＝________．6．已知△ABC中B＝60°，且eq\f（1，cosA）＋eq\f(1，cosC)＝－eq\f（\r(2)，cosB），若A>C，求A的值．對點練三條件求值問題7．若cosα＝－eq\f（4,5),α是第三象限角，則sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4））)＝（)A．－eq\f(7\r(2），10）B.eq\f（7\r(2)，10)C．－eq\f（\r（2），10)D。eq\f(\r（2），10)8．已知α為鈍角，且sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，12)））＝eq\f（1，3）,則coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f(5π，12）)）的值為（）A。eq\f（2\r（2)＋\r（3),6)B。eq\f（2\r（2）－\r(3)，6)C．－eq\f(2\r(2)＋\r(3)，6)D。eq\f(－2\r（2）＋3,6）9．若sin（θ＋24°）＝cos（24°－θ)，則tan(θ＋60°）＝________．10．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))）＝eq\f（4,5）,coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(α,2)－β）)＝－eq\f(12，13)，且α－eq\f（β,2）和eq\f（α，2）－β分別為第二、第三象限角，求taneq\f(α＋β,2)的值．二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么這個三角形是()A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形2．已知向量a＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，6）))，1）），b＝（4，4cosα－eq\r（3)），若a⊥b，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f（4π,3））)等于()A．－eq\f（\r（3）,4）B．－eq\f(1，4)C.eq\f（\r（3），4)D。eq\f（1,4）3.eq\f（tan10°＋tan50°＋tan120°，tan10°tan50°）的值等于(）A．－1B．1C.eq\r（3）D．－eq\r(3）4.eq\f(cos15°－sin15°，cos15°＋sin15°）＝________．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A,B兩點,已知A，B的橫坐標(biāo)分別為eq\f(\r(2）,10)，eq\f（2\r（5),5）。(1)求tan(α＋β）的值；（2）求α＋2β的值．7．已知函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x,4)＋\f（π，6))），x∈R。設(shè)α，β∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2)))，feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（4α＋\f(4π,3)))＝－eq\f（30,17)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4β－\f（2π,3)））＝eq\f（8，5)，求cos（α＋β)的值．答案[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練］解析：選Dtan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f（tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq\f（1＋\f（\r(3),3）,1－\f（\r(3），3））＝2＋eq\r（3).2.解析：選Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（17π，4)）)－sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(17π，4））)＝coseq\f(17π,4）＋sineq\f（17π,4)＝eq\r（2)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（17π，4）＋\f（π,4））)＝eq\r（2)sineq\f（9π,2)＝eq\r(2）。3.解析:∵tan60°＝eq\r(3)＝eq\f（tan23°＋tan37°，1－tan23°tan37°)，∴tan23°＋tan37°＝eq\r（3）－eq\r(3)tan23°tan37°,∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r（3）.答案：eq\r(3）4.解析：選C因為α,β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r（5）,5)，cosβ＝－eq\f（3\r（10),10),所以cosα＝－eq\f(2\r（5），5），sinβ＝eq\f（\r（10）,10）,故cos（α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（2\r（5），5)）)×(－eq\f(3\r（10）,10）)－eq\f(\r(5)，5）×eq\f（\r（10）,10）＝eq\f（\r（2)，2），所以α＋β的值為eq\f(7π，4)。5.解析:（tanα－1)(tanβ－1）＝2?tanαtanβ－tanα－tanβ＋1＝2?tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1?eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ)＝－1,即tan（α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－eq\f（π，4），k∈Z。答案：kπ－eq\f(π，4)，k∈Z6.解：由已知B＝60°，A＋C＝120°,設(shè)eq\f(A－C,2）＝α，∵A>C，則0°<α〈120°，故A＝eq\f(A＋C,2）＋eq\f(A－C,2）＝60°＋α，C＝eq\f(A＋C,2)－eq\f(A－C,2)＝60°－α，故eq\f(1,cosA）＋eq\f（1，cosC）＝eq\f（1,cos(60°＋α））＋eq\f（1，cos（60°－α))＝eq\f（1，\f（1,2）cosα－\f(\r(3），2)sinα）＋eq\f(1,\f(1,2)cosα＋\f(\r(3)，2)sinα)＝eq\f(cosα，\f(1,4）cos2α－\f（3,4)sin2α)＝eq\f(cosα，cos2α－\f(3，4）).由題設(shè)有eq\f(cosα,cos2α－\f(3,4))＝－eq\f（\r(2),cosB)＝－2eq\r(2)，整理得：4eq\r（2）cos2α＋2cosα－3eq\r(2)＝0.(2cosα－eq\r（2）)（2eq\r(2）cosα＋3）＝0.∵2eq\r(2)cosα＋3≠0,∴2cosα－eq\r(2）＝0。∴cosα＝eq\f（\r(2）,2）.故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°。7.解析：選A因為cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角,所以sinα＝－eq\f（3，5)，由兩角和的正弦公式可得sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，4)））＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(3，5))）×eq\f(\r（2)，2）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（4,5）)）×eq\f（\r（2)，2)＝－eq\f（7\r(2）,10）.8.解析：選C∵α是鈍角，且sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f(π,12）)）＝eq\f（1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，12)))＝－eq\f(2\r(2），3)，∴coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f(5π，12)))＝coseq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π,12))）＋\f（π,3))）＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,12）)）coseq\f（π,3）－sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12))）sineq\f（π,3)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（2\r(2），3）)）×eq\f(1，2)－eq\f（1,3)×eq\f（\r（3）,2）＝－eq\f（2\r(2)＋\r（3),6）。9.解析：由已知得：sinθcos24°＋cosθsin24°＝cos24°cosθ＋sinθsin24°?（sinθ－cosθ）（cos24°－sin24°）＝0?sinθ＝cosθ?tanθ＝1，∴tan（θ＋60°）＝eq\f（1＋\r(3），1－\r(3)）＝－2－eq\r（3).答案：－2－eq\r（3)10。解：由題意,得coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f（β，2)）)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（α,2）－β)）＝－eq\f(5,13)，∴taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f(β，2))）＝－eq\f（4,3），taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(α，2）－β))＝eq\f(5，12），∴taneq\f（α＋β,2）＝taneq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))）－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(α，2)－β）)））＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)）)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(α,2)－β))，1＋tan\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－\f（β，2））)tan\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（α,2)－β))）＝eq\f（－\f（4,3)－\f(5，12)，1－\f(4，3）×\f(5，12））＝－eq\f（63,16).二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1。解析：選C∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得sin(B＋C）＝2sinCcosB?sinBcosC＋cosBsinC＝2sinCcosB?sinBcosC－cosBsinC＝0?sin(B－C）＝0?！?<B<π,0〈C<π，∴－π<B－C<π。∴B＝C。故△ABC為等腰三角形．2.解析:選Ba·b＝4sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，6))）＋4cosα－eq\r（3）＝2eq\r(3)sinα＋6cosα－eq\r(3)＝4eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f(π,3））)－eq\r（3)＝0,∴sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,3)))＝eq\f(1,4).sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f（4π，3）)）＝－sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，3）)）＝－eq\f（1,4)。3。解析：選D∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝eq\f（tan10°＋tan50°,1－tan10°tan50°)，∴tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.∴原式＝eq\f(tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°，tan10°tan50°）＝－eq\r(3）.4.解析：原式＝eq\f(1－tan15°，1＋tan15°）＝eq\f(tan45°－tan15°，1＋tan45°tan15°)＝tan(45°－15°)＝tan30°＝eq\f（\r（3)，3)。答案：eq\f（\r（3），3）5.∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴cos（α－β）＝eq\f(13,14).又∵cosα＝eq\f(1,7），∴sinα＝eq\f（4\r(3）,7)，∴sinβ＝sin[α－（α－β)］＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin（α－β）＝eq\f(4\r（3),7)×eq\f（13，14）－eq\f(1，7)×eq\f（3\r(3),14)＝eq\f(\r(3）,2），∴β＝eq\f（π,3)。答案：eq\f(π,3)6。解：由條件得cosα＝eq\f(\r（2）,10），cosβ＝eq\f(2\r（5),5)?！擀?，β為銳角，∴sinα＝eq\r(1－cos2α）＝eq\f（7\r(2),10），sinβ＝eq\r（1－cos2β)＝eq\f(\r(5),5）.∴tanα＝7,tanβ＝eq\f（1，2)。（1）tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f（7＋\f(1,2)，1－7×\f(1,2））＝－3.(2）∵tan(α＋2β)＝tan[（α＋β)＋β］＝eq