初中三年最全數(shù)學(xué)公式定理總結(jié)!九大問(wèn)題的求解策略

初中數(shù)學(xué)公式定理1.有理數(shù)的分類(1)按數(shù)的“整分性”分類廣「正整數(shù)整數(shù)彳零(1)按數(shù)的“整分性”分類廣「正整數(shù)整數(shù)彳零「負(fù)整數(shù)r正分?jǐn)?shù)有理數(shù)乂2)按數(shù)的“正負(fù)性”分類

(「正整數(shù)正有理數(shù)］正分?jǐn)?shù)有理數(shù)(零廠負(fù)有理數(shù)Y負(fù)整數(shù)l負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)2.絕對(duì)值(a〉0)絕對(duì)值的代數(shù)定義|a|絕對(duì)值的代數(shù)定義|a|=0a=0)-a(aV0)3.圖形的認(rèn)識(shí)直線、射線、線段之間的區(qū)別直線射線線段圖形ll?lLlABABAB表示方法直線AB或直線l射線AB或射線l線段AB或線段l端點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)延伸方向向兩邊無(wú)限延伸向?邊無(wú)限延伸不能延伸性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線無(wú)兩點(diǎn)之間，線段最短整式乘法（1）同底數(shù)幕的乘法：瀘d二嚴(yán)初5、11都是正整數(shù)）⑵幕的乘方：（/）"二（msn都是正整數(shù)）（3）積的乘方：陽(yáng)二沙（n是正整數(shù)）（4）底數(shù)的推廣:MS為偶數(shù)）（〃為奇數(shù)）(“5為偶數(shù))-(a-b)r,(n為奇數(shù))（5）乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

、完全平方公式：(a±b)=a2±2ab+b（5）乘法公式:（6）平方差公式常見(jiàn)的變化形式:位置變化:(-b+a)(b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2符號(hào)變化:(—a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2系數(shù)變化：(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2指數(shù)變化:(/w2+〃2)(〃『-m2)=(w2)2-(w2)2=m4-n4增項(xiàng)變化：(a+b+c)(a+b—c)=(a+方)'-c2=...增因式變化：(_a_b)(_a+b)(a_b)(a+b)=[(_a)?-b~|(a?_b?)二…連用公式變化：(a+b)(a-/>)(a~+b2)(a4+64)=(tz2-b~)(a+b~)(a"+臚)二(a“-b")(『=-Z/

(7)完全平方公式常見(jiàn)的變化形式：/+/)2二(a+b)，-2aba\b2=(a-b)2+2ab(6z+/?)2=(a-by+4ab(a-b)2二(°+方)？-4cib(°+駅+(4-駅=2(於+於)?(df+Z>)2-(a-h)2二4ab⑦(d+b+c)'=cr+/+2必+2比+2qc數(shù)據(jù)分析平均數(shù)與方差公式名稱公式平均數(shù)x=-(x1+x2+...+xn)n-加權(quán)平均數(shù)X{W{+X2W2+???+兀'件叫+W?+???+w”方差$2二一［(兀］一兀尸+(X?—X)*"+.??+(壬廠X)~］n-6.分式的運(yùn)算（1）分式的基本性質(zhì)：①=—（方H（）,CH（））b-cb_a_a_a￡±￡二纟（什0_a_a_a(處0)(2)(2)分式的乘法:⑶分式的除法:★幷?、軟5汐)(4)分式的加減法:同分母:—±-=上二(/＞主0)bbh介戸八acad,bead±be?小異分％士廠喬士礦宵"心°)分式的?乘方：(-)w二字b主0/是正整數(shù))bbn⑹同底數(shù)幕的除法:am子。"二護(hù)一〃@工0,加/都是止整數(shù))⑺零指數(shù)幕:a=1(3^0)⑻負(fù)整指數(shù)幕：a"=A(aH0/為正整數(shù))(9)解分式方程的一般步驟：去分母：在方程左右兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程.解方程：解整式方程.驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，若結(jié)果為零，則這個(gè)根是方程的增根，必須舍去.7.全等三角形證明三角形全等的常見(jiàn)思路：找?jiàn)A角TMS(1)已知兩邊：?找直角厶找第三邊tSSS一邊為角的對(duì)邊t找另一角AAS(2)已知一邊一角:找?jiàn)A角的另-?邊(2)已知一邊一角:一邊為角的鄰邊找?jiàn)A邊的另一角TASL4找邊的對(duì)角t九4S■(3)己知兩角：嚴(yán)夾邊T如［找其中一角的對(duì)邊T/MS&等式與不等式的區(qū)別等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)對(duì)稱性：若a=bMb=a反對(duì)稱性：若a>b,Klb<a傳遞性：若a=b,b=c,則a=c傳遞性：若a〉b、b〉c,則a>c性質(zhì)1：若a=h,則a土b=b±c性質(zhì)1：若a>b,則a±c>b±c性質(zhì)2：若則ac-bc\1性丿貞2：若a>h,c>Ot則ac>bc->-若a=b,chO,則—=-CCcc性質(zhì)3：若a>b,(?<()?則ac<hc,-<-cc9.一元一次方程與一元一次不等式的區(qū)別一元一次方程一元一次不等式解法步驟去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1在上而的步腺①和⑤中，如果乘的因數(shù)或除數(shù)是負(fù)數(shù)，則不等號(hào)的方向要改變解一元一次方程只右一個(gè)解一元一次不等式一般有無(wú)數(shù)多個(gè)解10.一元一次不等式組解集的基本類型不等式組(設(shè)xb)在同一數(shù)軸上的表示解集口訣x<ax￡b/"http://07x<a同小取小x>ax>b10a1////〉bx>b同大取大x>ax<b-J0///74ua<x<b大小、小大中間找x<ax>b0nt空集大大、小小無(wú)處找(無(wú)解)11.二次根式(1)二次根式的性質(zhì)a(a>0)(需)?=a(a>0)②歷'二問(wèn)二<0(°=0)一a(a<0)J7與僦『的區(qū)別與聯(lián)系公式意義字母a的取值范開(kāi)運(yùn)算結(jié)果聯(lián)系*可為任意實(shí)數(shù)C1當(dāng)a>()時(shí)，如=(7a)27aa>0??毎(2)二次根式的乘法：需?麗二臨(an(),A>0)1込解直角三角形(])常用的性質(zhì)直角三角形中有一個(gè)是宜角.直角三角形中兩個(gè)銳角互余.直角三角形中，3『角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.直角三角形中，斜邊上的屮線等于斜邊的一半-1込解直角三角形(])常用的性質(zhì)直角三角形中有一個(gè)是宜角.直角三角形中兩個(gè)銳角互余.直角三角形中，3『角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.直角三角形中，斜邊上的屮線等于斜邊的一半-⑤直角二角形勾股定理：5方為直角邊，亡為斜邊)角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的的距離相等用平分線的性質(zhì)的逆定理：仆內(nèi)部到這個(gè)加的兩邊距離和等的點(diǎn)在角平分線上(2)判定直角三角形的方法：證明三角形中有一個(gè)角為直角.證明二角形屮兩個(gè)說(shuō)用互余.③證明三角形三邊満足勾股走理(f+/=/)?13-四邊形"邊形內(nèi)角和公式:(可-2)?180°多邊形常用公式：；—加閒。求正斤邊形各內(nèi)軸度數(shù):I?正方形、矩形、菱形和平行四邊形的關(guān)系：卜乎（心0,&>0）(3)二次根式的除怯:3)商的算術(shù)￥方根:四邊平行西邊形⑶四邊形的性質(zhì)和判定四邊平行西邊形⑶四邊形的性質(zhì)和判定圖形定義3判定平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形邊：對(duì)邊平行且相等角：對(duì)免相等.鄰角互補(bǔ)對(duì)介線：對(duì)危線互相平分對(duì)稱性：中心對(duì)稱圖形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形?一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形?對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.矩形有一個(gè)兔是宜兔的平行四邊形叫做矩形?邊：對(duì)邊平行且相等角*四個(gè)角都是直角對(duì)兔線：對(duì)角線互相平分且相等對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，也是箱對(duì)稱圖形有一個(gè)兔是直角的平行四邊形是矩形.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形煨矩形.W菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形邊：對(duì)邊平行.四條邊都相等角*對(duì)角相等.鄰角互補(bǔ)對(duì)角線：對(duì)危線互相垂宜平分.毎一條對(duì)角線平分一組對(duì)角?對(duì)稱性：旣是中心對(duì)稱圖形，也是納對(duì)稱圖形有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.四條邊相等的四邊形是菱形.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.兇正方形有一組鄰邊相衿且有一個(gè)危是直危的平行四邊形叫傲正方形.邊：對(duì)邊平行.四條邊都相等樂(lè)四個(gè)危都是直角對(duì)角拔：對(duì)介線互相垂直平分且相等.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角?對(duì)稱性：躍是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形有一組鄰邊相等且有一個(gè)角星直角的平行四邊形是正方形.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形長(zhǎng)正方形.尊腰梯形兩腰相軫的梯形叫做等腰梯形邊，兩震相等加同一底上的兩底角相等對(duì)角線：對(duì)介線相等對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形兩腰相等的梯形是毎腰梯形?在同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是笹腰梯形.14.一次函數(shù)(1)一次函數(shù)的性質(zhì)k、力的符號(hào)函數(shù)圖象圖象的位置性質(zhì)k>0b>()圖象過(guò)第一、八二象限y隨x增大而增大bVO圖象過(guò)第一、二、四象限k<0b>0圖象過(guò)第一、二、四象限y隨x增大而減小b<0一圖象過(guò)第二、三、四彖限待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式把己知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)帶入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求岀待定系數(shù)；將求得的待定系數(shù)得知帶入解析式.

15?反比例函數(shù)公式k尹=上（￡工0）Xk的符k>0k<0圖像k丿AoX>性質(zhì)/的取值范圍是"°,y的取值范圍是丿北°.函數(shù)兩個(gè)分支分別在第一、第三象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，F(xiàn)隨X的增大而減小x的取值范圉是兀#°,y的取值范圍是y°?函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、第四彖限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大反比例函數(shù)的圖像既是軸對(duì)稱圖形，又是中心的對(duì)稱圖形.它有兩條對(duì)稱軸，分別是直線y=x和y=-x,對(duì)稱屮心是坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）k的兒何意義過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引牙軸或y軸的垂線，垂線與坐標(biāo)原點(diǎn)所圍成的圖形面積為:V-H°AOEF_￡Soefc=kCJ—■Ex

一元二次方程(1)解一元二次方程的方法「理論依據(jù)：若ad=(),則a=0或b=0因式分解法解法：化為(做+臥以+6/)=0的形式解得：ax+b=O^cx+d=0直接開(kāi)平方法［若*=論-°>則*=土需［若(x—aF=b(b>0),則x-a=土麗,即x=°土麗③配方法理論依據(jù)：完全平方公式±2ab+b2=(a±b)2解法:化為(兀+町=n(n>0購(gòu)形式④公式法<化為ax'+hx+c二0(aH0刖形式④公式法<求根公式：4竺(護(hù)_4“\0)2aX]+屯a⑵-?兀二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理X]+屯a重要變形:?Xj2+x22=（X]+x2）2-2XjX2:③E]X]二丑+七④(X1_X2)2=(X1+兀2)2-4XjX2⑤(^1+XJ2+鳥(niǎo))二召兀2+￡(召+兀2)+''；?|X1~X2|=7(X1~X2)2=7(XI+X2)2_4X1X2圖形的相似⑴線段的比若￡=￡,貝ijad=behd①比例線段的件質(zhì)TOC\o"1-5"\h\z若￡=￡,則S或？=￡bdcdba①比例線段的件質(zhì)若亠二則以bdacH.acm土bc±dF'則〒k②黃金分割比：旦二().6182相似三角形(1)相似三角形的幾種圖形⑵證明三角形相似的常見(jiàn)思路C知一角對(duì)應(yīng)相等，可再找：另一角對(duì)應(yīng)相等4夾已知角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可再找：'這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等「第二邊的比值與前而兩對(duì)邊的比值相等若兩個(gè)三角形式等腰三角形，可再找：'頂角對(duì)應(yīng)相等?—底角對(duì)應(yīng)相等一腰與底邊對(duì)應(yīng)成比例■若兩個(gè)三角形是直角三角形，可再找：「一銳角對(duì)應(yīng)相等”夾直角的兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例⑶相似角形的性質(zhì)”對(duì)應(yīng)線段：對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比丄相似三角形的性質(zhì)周長(zhǎng)：周長(zhǎng)的比等于相似比面積：面積的比等于相似比的平方對(duì)應(yīng)線段：對(duì)應(yīng)髙的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比相似多變形的性質(zhì)周長(zhǎng)：周長(zhǎng)的比等于相似比面積：面積的比等于相似比的平方銳角三角函數(shù)(2)坡度:(力為坡面的鉛垂高度,(2)坡度:(力為坡面的鉛垂高度,/為水平寬度)⑴特殊角的一角函數(shù)值三角函數(shù)a30°45°60°正弦sina12V2VV32余弦cosa2V2212正切tandf過(guò)31三角函數(shù)的關(guān)系①同角三角函數(shù)Z間的關(guān)系(Q為銳角)平方關(guān)系:平方關(guān)系:sin2cz+cos2a=1商數(shù)關(guān)系：tan商數(shù)關(guān)系：tan?=sinacosa②互為余角的三角函數(shù)關(guān)系Jsina=cos（90°-?）]cosa=sin（90°?a）二次函數(shù)（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a^0）的圖像與性質(zhì)關(guān)系式一般式頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=ax2+bx+c（a工0）y-a（x-h^+&（a工0）圖像形狀拋物線開(kāi)口方向當(dāng)Q>0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)QV0時(shí)，開(kāi)口向下h4ac—b2]頂點(diǎn)坐標(biāo)I2a'4a）（力，k）對(duì)稱軸hx=2ax-h圖像\by.A.7。*°/\\xa>0a<0增a>對(duì)稱軸左側(cè)，即或x<hty隨兀增大而減??；減02a性對(duì)稱軸右側(cè)，即x>-—或X>〃，y隨/的增人而增人2aa<0對(duì)稱軸左側(cè)，即xvh或,y隨/增犬而增大；2a對(duì)稱軸右側(cè)，即x>-—或X>〃，y隨x的增大而減小2a值a>0當(dāng)x=_2時(shí)，2a4ac-b2心小值％當(dāng)x=h時(shí)，y最小值a<0當(dāng)"b時(shí)，2a4ac-b2坯大值4a當(dāng)兀二力時(shí)，〃大值=丘(2)二次函數(shù)圖像特征與白、b、c、甘-4ac乙間的關(guān)系字母字母的符號(hào)圖像的特征aa>0開(kāi)口向上a<0開(kāi)口向下bb=0對(duì)稱軸為.卩軸a、0同號(hào)對(duì)稱軸再F軸左側(cè)&、力異號(hào)對(duì)稱軸再y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交甘-4acIf-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)(即頂點(diǎn))W-4ac>0與丸軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)lf-dac<0與/軸無(wú)交點(diǎn)⑶二次函數(shù)的圖像平移規(guī)律移動(dòng)方向平移前解析式平移后解析式簡(jiǎn)記向左平移加個(gè)單位y=a(x-hf+ky=a\x-h+mj+k左加向右平移/〃個(gè)單位y=a{x-hf+ky=a(x-h-my+k右減向上平移也個(gè)單位y=a{x-hf+ky=a(x-hy+k+m上加向下平移m個(gè)單位y=a(x-hf+ky=a(x-h^+k-ni下減圓1.與圓有關(guān)的常用定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推論：（1）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并何垂直于弦所對(duì)的兩條??；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如圖，基于圓的對(duì)稱性，下列五個(gè)結(jié)論：①弧/層弧個(gè)②弧加A&BE；?AB丄CD；⑤少是直徑，只要滿足其中兩個(gè)，另外三個(gè)結(jié)論也一定成立圓周角定理：同一條弧所對(duì)的圓周和等丁-它所對(duì)的圓心角的一半推論：（1）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等：（2）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是90°,90°的圓周角所對(duì)的眩是直徑.

2.圓與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012d與】的關(guān)系d>rd-rd<r切線的判定與性質(zhì)性質(zhì)：圓的切線垂直丁過(guò)切點(diǎn)的半徑.判定：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直丁?這條半徑的直線是圓的切線.3.三角形的外接圓與內(nèi)切圓名稱外接圓內(nèi)切圓描述經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓；外心是二角形二邊屮垂線的交點(diǎn)與三角形各邊都相切的圓；內(nèi)心是二角形三條角平分線的父點(diǎn)圓心名稱三角形的外心三角形的內(nèi)心圖形AA性質(zhì)三角形外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等規(guī)律與方法:⑴直角三角形的外接圓半徑等于斜邊的一半內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊Z和減去斜邊的一半廠=3￡二￡.I2丿⑵巧求三角形內(nèi)切圓的半徑：r=2S^c（決力、c分別為\ABC的三a+b+c邊長(zhǎng)）4.與圓有關(guān)的計(jì)算（1）弧長(zhǎng)與扇形面積弧氏公式：1=貶（刀為扇形圓心角度數(shù)，廠為扇形半徑）180扇形血積公式：S上工為扇形圓心角度數(shù)；r為扇形半徑；/是JOO2扇形的弧長(zhǎng)）（2）弓形的面積弦和弦所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做弓形,利用扇形的面積和三角形的面積可求弓形的血積

如圖①，當(dāng)引呂ABM所含的弧是劣弧時(shí)，S強(qiáng)二S扇初硼-九。；如圖②，當(dāng)弓形ABM所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，S弓形=S^fff+S^B0;如圖③，當(dāng)弓形ABM所含的弧是半圓時(shí),s就=-S^0HIlM②AM③「丿R0HIlM②AM③「丿R3.圓錐的側(cè)面積和全面積如右圖，若圓錐的底面半徑為B如右圖，若圓錐的底面半徑為B母線長(zhǎng)為1，則s側(cè)二￡/?2砒=砒/；S個(gè)二S何+S底=加"+陽(yáng)'二；zr?（/+尸）概率及其計(jì)算⑴公式法：P（A）=-;⑵列舉法；（3）樹(shù)狀圖法n規(guī)律與方法：利用列表法和樹(shù)狀圖法求概率的關(guān)鍵（1）注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同;（2）其中某一事件發(fā)生的概率二某一爭(zhēng)件發(fā)牛的次數(shù)各種情況出現(xiàn)的次數(shù)在考杳各種情況岀現(xiàn)的次數(shù)和某一夷件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏.一、定義域問(wèn)題例1?L.知函數(shù)/(M)的定義域是［1,2］,求f(x)的定義域。解：f(x2)的定義域是［1,2］,是ffil<.v<2，所以/(?)?!?的/滿足1《疋54從而函數(shù)f(x)的定義域是［1,4］評(píng)析：一般地,已知函數(shù)/(卩⑴)的定義域是A,求f(x)的定文域問(wèn)題,相十FC知/(卩何)屮x的取值范|1；|為A.據(jù)此求卩⑺)的値域問(wèn)題.例2?己仙函數(shù)/(X)的定義域是［一1,2］,求函數(shù)/［logl(3-.v)］的莊義域。2解：/(刃的定義威是［-1,2］,意思是凡被f作用的對(duì)象都在［-1,2］中,由此可得-1<logj(3-x)<2=>(―)2<3-x<(-)-1=>1<x<—7224所以函數(shù)f［logl(3-x)］的定義域是［1,-］I4評(píng)析：這類問(wèn)題的傲形式思亡知函數(shù)f(x)的定義域是A,求函數(shù)f((p(x))的定義域。止確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵。這灸問(wèn)題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)「記知卩⑴的值域B,FIBcJ,據(jù)此求x的取値范國(guó)。例2和例1形式上正相反。求值問(wèn)題求值問(wèn)題例3.己知定義域?yàn)椤钡暮瘮?shù)f<x),同時(shí)滿足卜列條件；①/(2}=1./(6)=Z；②/(X?刃=/◎)十幾竹，求f(3),f(9)的值.解：取h二2,j‘?二3,^/(6)=/(2)+/(3)14因?yàn)?(2)=Lf(6)=-，所以f(3)=——558乂取X二V二3得/(9)=/(3)+/(3)三、值域問(wèn)題例4,訛函數(shù)f(X)丘義「-實(shí)數(shù)集上,對(duì)「-任總實(shí)數(shù)x、y./(.v+_r)=/Gv)/(v)總成立，IL/f任曲H.v,.使得/(.Vj)H/(a\)，求m數(shù)f(.v)的血域：解：令x=y-Q,W/(0)=[/(0)]2,即fj/(0)=0或/(O)=1o若/(0)=0，則f(x)=/(.v+0)=/(a-)/(0)=0,X]任慮,vGR溝成L這與"在實(shí)數(shù)斗北心?使仏幾A])±/(心)成龍和百，故/(0)0.必仃/<0)=-1.Ill|-/(a-+r)=/U)/(v)村任悠x、.t€R均成工，岡此，對(duì)(匕蝕xwR.U/(-V)=/(7+7)=Lr(￡)F?0o*MtF而來(lái)證期,對(duì)任意入乍乩/(心0設(shè)存祀％GR?使得/(旺)二0?則八0)二/(心一必)二/(“"(—★)=0這與I訓(xùn)心證的/(0)#0八旺，肉此，對(duì)任fW^Q.聽(tīng)以./V)>o四、解析式何題例5.設(shè)對(duì)滿足"0的解析式.，丫尹］的所仃實(shí)數(shù)阻圉數(shù)/S)滿足X)I+A,求f(x)解：/E/(a-)+/(—)=l+r(1)丫一I任上式屮以一代換比屮丄TOC\o"1-5"\h\zXX—1X|lj任(1)中以-一i—代換X.紂X-11貫_J/(一一)"(*)==(3)x-1x-1(1)一(2)十(3)化簡(jiǎn)得；.廣仗)=￥_〔「2x(y-1)評(píng)析三如果把x和口分別看作兩個(gè)變氐怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變凰向?個(gè)變肚的轉(zhuǎn)化足解題關(guān)犍.通常情況卜，給某些變呈適為賦值,使之在關(guān)系中“消失?',進(jìn)而保留?個(gè)變量，足實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的矗癸乾略。單調(diào)性問(wèn)題例6.i殳f(x)宦義I?實(shí)數(shù)集I:,-1x>0時(shí)，f(x)>1.IL燉「?任盤實(shí)數(shù)x、y?仃/(.V+v)=/(.V)-/(f)?求證：/(.v)/ER11為朋倍數(shù)。證明=fi-/(.v+y)=,/'(.v)/(y)屮取斗二V-二0?fj/(())=[/(0)]1荷/(0)二0?令x>0.,r=0.則/(Y)二0,,j/CY)>14-rt所以/(0)工0?即仃/(0)二1【變式【變式2】x>0.=>x2-xl>0■/（比一百）>1n/（込）=/（?勺一兩十?*）Jx>0時(shí)./(a-)>1>0：片x<0時(shí)，一丁>()?/(-x)>1>0"'If⑴?f(-x)二/(0)二1?所以/(.V)二—―->0/(7)<?*I.V=0nt?/(o)=l>().liirvzxj任盤:hgR,tn>0i殳-s<丫]<x2<十s,則一Xj>(Xfg-x,)>1所以f(心)=.口比+(.v2一xJ]=/(A-,)/(心—曲)>/(.rj所以F二/(hHCRI：為增函數(shù)e例7：函數(shù)f(x)XjfE.'j：的實(shí)以m、刃們'(岡4-n)=/(w)+/(?).1L'vi.V>Olhj(f/(.v)>0.求證:.廣(力住(一8,斗8)上為增函數(shù)；若/(l)=b解不等"o*J-2)]<2.(I)證明：収.Vj.ASe(-Z,+Z)|Lx,<x2?則.￥,-.Yj>0.f{x2-x.)>0.??J(%)FE-兀)+V1J=f<X2-Xl>+/U)>/(-V))，/(XJ<((X,)./(.v)?l：(—00,+8>卜.為增函數(shù),(II)???/(I)二I?.?.2二21二/(1)+八)二/(2\.*?2)]</(2).ill(丨)得1oq,(*-工一2)v2…J、?-?1!卩一2vx<-1或2<X<3jx2-x-2<4「?衍不竽式的解集為計(jì)一2<-v<一I或2<,v<3}?例8:L1劃頃&/(X)的左義域足(0.4-X),對(duì)定義域內(nèi)的任惑片兀都仃ir*tv>l時(shí)畑:>0.求恥：/(X)fl:(0,-W)11是增函數(shù).【證明】任取X]XG(0討8),&x2<r2>則玉>1.所以/(^)>0>Kxi故/(心引比?勺二+/(禺>/(舌)?即幾VJ>/(TJ?所以/⑴征(0,Z?)1：帖淌數(shù),例9尢義在RI：的柜為止數(shù)的函數(shù)/("?41.T>0時(shí)，/(X)>1,対仃總斗」GR都代/(.V+y)=/(A-)/(V)，證明:函數(shù)f(x)為胡的數(shù).【證明】佑収斗，x2gR.，則x?-x}>0?|用為JtaOii寸.f(x)>1所以/(心—和>1?而舉二f【0尹嚴(yán)]/心；：呼")二心廠*>1.;/(aJ>0.I^iri/何)/W)/(^)/(”2)>/(xJ?所以請(qǐng)數(shù)/⑴為RI二的增誦數(shù)。六、奇偶性問(wèn)題例iO.d知誡散/(.v)(.v6R.X*0)村(E殿不等卜寧的實(shí)數(shù)“、J,那{}伽?X』)=/(斗)+f(x2},試判斷函數(shù)f(x)的制陽(yáng)t?解：UZa,=-l.X,=1W：/(-1)=/(-1)+/(1),以f(l)=0又取“二心二_1陽(yáng)/⑴二/(-[)+/(-]).所以/(-1)二()叫取“二廿巧二-1則f(-x)=.A-i)+/(.v),W.A-X)=/(x)IM/Jf(x)為lh零函數(shù)，所以/(.T)為做侑數(shù)。対稱性例11.U知丙數(shù)丿二?廣(刃詢足/(Q+/(7)=2002?求/」(口4?廠'(2OO2-.V)的你解：已知式即加對(duì)稱關(guān)系兀/(口4巧+/(“-畀)=2小卩取a=0?"2002,所以函數(shù))?二/(?1?)的國(guó)絞關(guān)卜點(diǎn)?2002)對(duì)稱.根據(jù)更函故反誦故的關(guān)系.知屈數(shù)丁二/t⑴的圖彖怎「點(diǎn)(2002.0)對(duì)稱.所以/"（丫+1001）+/"（1001-；0二0將上式屮的xHJ.r-1001代換.那廣"(口+廣"(2002—x)二0評(píng)祈：這是同?個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心刈?稱問(wèn)趣,任解越中使用「F述命題匕設(shè)a、b切為尬數(shù).圉散，二/(x)對(duì)一I力實(shí)數(shù)x都満是/(“十力十/⑺一力二對(duì)，則M數(shù)丁二/(力的I勾象關(guān)丁點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)禰圖形.函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論(一)函數(shù),V=/(.v)圖象本身的對(duì)稱性(自身對(duì)稱)托/("0)二±/(x+b)'則/(=)具有周期牲：!?/(<?+x)=±f(b-x).則/(巧具存對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性“。1.f(a+x)二J\b-x)u>p二J\x)圖象關(guān)于直線x=(D；(U二學(xué)對(duì)稱■推論h/(a+x)=/(a-X)o\=/(.v)的圖象關(guān)于宜線x=a對(duì)稱推論2、f(.v)=f(2ax)coy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱推論3、/(-.v)=/(2a十r)or=f(.v)的圖象關(guān)于直線,v=a對(duì)稱2'+-Y)+/-?'■)--cy-f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(^,r)對(duì)稱推論1.f(a十x)+f(a-.t)-2bo丁二/(.v)的圖彖關(guān)卩點(diǎn)(a.防<］稱推論2、fW4f(2a-X)=2boy=f{x)的圖像先尸點(diǎn)(a.b)對(duì)稱推論3、/(—X)十/(2“十x)二爼oy=f(x)的兇象XH點(diǎn)(彳仍対稱(二)兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性(相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)y=/(X)UJ=f(-x)M象關(guān)r-Y軸對(duì)稱2、令函數(shù)v=f(x)打j=-f(-x)圖象關(guān)護(hù)廉點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)3、函數(shù)J=/(A)!"二-/(巧圖象關(guān)FX軸對(duì)稱I、紜為反雷數(shù)v=/(.t)與函數(shù)y=y'(x)團(tuán)象關(guān)皿線尸丫對(duì)稱b_a5.函數(shù)y=/(a+A-)與y=f(b-x)圖象關(guān)于直線X-—對(duì)稱■推論1:m故y=f(ti+a)')y-J\a-.v)國(guó)象關(guān)FI’［線.v-0對(duì)稱扯論2:頃?級(jí)丁二f(x)'j丁二f(2a-x)圖蠻天J：M線x二a對(duì)稱推論3:頃數(shù)丁二/(-.V)*-jy=/(2a+x)圖彖關(guān)F直線x二-a對(duì)稱八、周期性問(wèn)題f(x)二f(x+T)^/(巧的周期為T。證明；對(duì)x取定文域內(nèi)血無(wú)?個(gè)值時(shí).都有了u+r)=f(H)?則/(工)為同刪西故，t叫旳數(shù)/(對(duì)的周期，/(x4-a)=fix+b)型:/(.、?)的周期為|/>-a|.ill:明:f(x+a)=/(x+d)=>f(x)=f(,vrb-a)?f{x+4)=-/(.V)型：/(.V)的周期為23.證明:f(x4-2d)=f[(x+d)+a]=-fa+a)--[-/(")]=/(x)廣(*+a)=一一憶f(x)W周期為2鈿/⑴證嘰：/(.y+2c?)=f[(X+?)+￡?]=-~-==/U)./u+a)L_/(A")幾丫4叭=一!一型；廣(刃的周期為10.f(.v)ill刖：/(.t42o)=f[(x+刃)+a]二——!__-=—J—=/(.v)。/(兀+c_L/(.v)&廣（卄町二匕"丫）凰士r（.i?）的周期為翻?謹(jǐn)明:/(.v+2d)二/[(.V4^)+4/]-1十/（X十Q）m+。）[謹(jǐn)明:/(.v+2d)二/[(.V4^)+4/]-1十/（X十Q）m+。）[l+/(x)l-/(-Y)___1_]1+幾町__麗l-/(x)????心皿)二/[(.V.紉+20]二-二―fM二/(.V)7?兩線對(duì)稱翌；甬?dāng)?shù)/O）尖于何線*=“■兀=6對(duì)稱.則f（,v）的出期為pb2a\.ill訓(xùn)；J/(.v)=/(2t/-.v).nf(la-x)=f(2bx)nf(x)二f(r+2bla)。il:弦ffi數(shù)v=sinxX；lLifi線x=—.x=—對(duì)稱.則r=s