2022屆上海市市北中學(xué)高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2022屆上海市市北中學(xué)高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若,則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵∴設(shè)代入可知均不正確對(duì)于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D2．已知向量和滿足：，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】.故選：B.3．在我國(guó)南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．其意思是，用一組平行平面截兩個(gè)幾何體，若在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)幾何體的體積必然相等．根據(jù)祖暅原理，“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先閱讀題意，再由原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件可得解【詳解】由已知有”在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等”是“兩個(gè)幾何體的體積必然相等“的充分條件不必要條件，結(jié)合原命題與其逆否命題的真假可得：“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的充分不必要條件，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了閱讀能力、原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件，屬中檔題．4．對(duì)于函數(shù)，如果其圖象上的任意一點(diǎn)都在平面區(qū)域內(nèi)，則稱函數(shù)為“蝶型函數(shù)”，已知函數(shù)：；，下列結(jié)論正確的是A．、均不是“蝶型函數(shù)”B．、均是“蝶型函數(shù)”C．是“蝶型函數(shù)”；不是“蝶型函數(shù)”D．不是“蝶型函數(shù)”：是“蝶型函數(shù)”【答案】B【分析】由，，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合“蝶型函數(shù)”可判斷；由平方差公式，化簡(jiǎn)結(jié)合“蝶型函數(shù)”可判斷．【詳解】由，設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，即有，；時(shí)，；設(shè)，其導(dǎo)數(shù)為，時(shí)，，時(shí)，，可得恒成立，即有為“蝶型函數(shù)”；由，可得為“蝶型函數(shù)”．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查不等式恒成立問題解法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題5．若集合﹐則_________．【答案】【分析】由交集的運(yùn)算求解【詳解】，則故答案為：6．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則__________．【答案】【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再求.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以，所以.故答案為：7．若關(guān)于、的線性方程組的增廣矩陣為，該方程組的解為，則的值是________【答案】【分析】首先應(yīng)理解方程增廣矩陣的定義，由增廣矩陣寫出原二元線性方程組，根據(jù)方程的解x，y，最后求m+n的值．【詳解】解由二元線性方程組的增廣矩陣為，可得到二元線性方程組的表達(dá)式方程組的解為則則m+n的值為10故答案為10【點(diǎn)睛】此題主要考查二元線性方程組的增廣矩陣的涵義，計(jì)算量小，屬于較容易的題型．8．若圓錐的母線長(zhǎng)是5，高是4，則該圓錐的體積是______.【答案】【分析】求出圓錐的底面半徑，然后利用圓錐的體積個(gè)數(shù)求解即可．【詳解】解：圓錐的母線長(zhǎng)為5，高為4，可得圓錐的底面半徑為：，所以圓錐的體積是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的體積的求法，屬于基礎(chǔ)題．9．方程（t為參數(shù)，）所對(duì)應(yīng)曲線的普通方程為__________．【答案】【分析】直接用代入消元法消去t即可求解.【詳解】方程（t為參數(shù)，）消去t得：.故答案為：10．二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】【詳解】由題額意得，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，所以，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為．11．5位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為________【答案】【分析】設(shè)A＝{周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)}，計(jì)算出事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，除以基本事件的總數(shù)可得．【詳解】設(shè)A＝{周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)}，基本事件的總數(shù)為25＝32個(gè)，而5人都選同一天包含2種基本事件，故A包含32﹣2＝30個(gè)基本事件，∴p（A）．故填：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查了利用對(duì)立事件來求事件A包含的基本事件的方法，屬于基礎(chǔ)題．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若為平面區(qū)域上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】作出可行域，確定目標(biāo)函數(shù)，平移直線，即可得到結(jié)論．【詳解】畫出平面區(qū)域，則，令，則即求的取值范圍，，線性規(guī)劃得到分別在點(diǎn)和取到最值，將點(diǎn)和代入，得的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃、向量的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．13．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上任意一點(diǎn)到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離恒大于1，則t的取值范圍為__________．【答案】【分析】由題意列不等式求解【詳解】由題意得，即，解得，故答案為：14．已知是公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)任意的，都有成立，則___________．【答案】【分析】當(dāng)或時(shí)，可根據(jù)等比數(shù)列求和公式驗(yàn)證出極限不存在，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由等比數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式可構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，極限不存在，不合題意②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，極限不存在，不合題意當(dāng)時(shí)，又

，即解得：（舍）或綜上所述：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，涉及到極限思想的運(yùn)用；關(guān)鍵是能夠通過分類討論確定存在極限的情況下的取值范圍.15．設(shè)，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)解，且它們的和為，則__________．【答案】或【分析】分析可知關(guān)于的方程在區(qū)間上的三個(gè)解必有兩解分別為，，設(shè)另外一解為，分析可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，或與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)三根之和求出的值，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)解，則其中兩個(gè)解必為，，設(shè)另外一解為，所以，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，或與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，因?yàn)椋傻?由，可得，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則，可得，因?yàn)?，此時(shí)或；若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則，可得，因?yàn)?，此時(shí)或.綜上所述，或.故答案為：或.16．將函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到的圖象，當(dāng)函數(shù)與在區(qū)間上同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”．若區(qū)間為函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【分析】求出函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱對(duì)稱的函數(shù)的解析式為，分、兩種情況討論，化簡(jiǎn)兩個(gè)函數(shù)的解析式，對(duì)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱對(duì)稱的函數(shù)的解析式為，因?yàn)閰^(qū)間為函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”，所以，函數(shù)與函數(shù)在上的單調(diào)性相同，若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合乎題意；若，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，可得，此時(shí)函數(shù)在也單調(diào)遞增，則，可得，則；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，可得，此時(shí)函數(shù)在也單調(diào)遞減，則，可得，則不存在.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題17．已知直三棱柱中，.（1）求異面直線與所成角；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出，因，進(jìn)而為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，即可求解（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，能求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）在直三棱柱中，，所以，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，在中，因?yàn)?，所以異面直線與所成角為.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由（1）得，因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成的角的求法，點(diǎn)到平面的距離的求法，等體積法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，屬于中檔題18．已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△中，若，且，，求△外接圓半徑的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用倍角公式降冪，再化為，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由f（A）＝f（B），且A≠B，求得A+B，得C，結(jié)合c＝AB，再由正弦定理求得△ABC外接圓半徑的長(zhǎng)．【詳解】(1)函數(shù)．由，得．由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)遞減．所以，函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間是．(2)函數(shù)．在△中，因?yàn)?，，所以，．由，及，得，解得，于是．設(shè)三角形的外接圓半徑長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用及單調(diào)性，考查了考查三角形的解法，是中檔題．19．科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)40分鐘的課中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時(shí)間變化而變化.開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析，得出學(xué)生的注意力指數(shù)隨時(shí)間（分鐘）的變化規(guī)律為：（1）如果學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)40分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到1分鐘）（2）現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解24分鐘，為了使效果更好，要求學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大，那么，教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題？（精確到1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）20分鐘；（2）第4分鐘.【分析】（1）由結(jié)合分段函數(shù)的解析式來解不等式，從而求得學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間.（2）結(jié)合分段函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的對(duì)稱性以及注意力指數(shù)的要求列方程，化簡(jiǎn)可求得正確結(jié)論.【詳解】（1）由于學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，即當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得；所以，，故學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有20分鐘.（2）設(shè)教師上課后從第分鐘開始講解這道題，持續(xù)時(shí)間分鐘，，的對(duì)稱軸為，要使學(xué)生的注意力指數(shù)最低值達(dá)到最大，則，且，即，解得.所以，教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)最低值達(dá)到最大.20．設(shè)，橢圓：與雙曲線：的焦點(diǎn)相同．（1）求橢圓與雙曲線的方程；（2）過雙曲線的右頂點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線，，分別交雙曲線于點(diǎn)，（，不同于右頂點(diǎn)），若，求證：直線的傾斜角為定值，并求出此定值；（3）設(shè)點(diǎn)，若對(duì)于直線，橢圓上總存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）橢圓的方程為，雙曲線的方程為；（2）詳見解析.（3）見解析．【分析】（1）利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合焦點(diǎn)相同，建立方程，計(jì)算m值，即可．（2）設(shè)出直線方程，代入雙曲線方程，建立等式，計(jì)算P的坐標(biāo)，同理得到Q的坐標(biāo)，結(jié)合，可以得到，發(fā)現(xiàn)直線PQ與x軸平行，故證之．（3）結(jié)合題意，設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓解析式中，建立方程，計(jì)算出AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)，而M又在直線l上，代入，結(jié)合題目所提供的不等式，建立不等關(guān)系，即可得到b的范圍．【詳解】解：（1）由題意，，所以．所以橢圓的方程為，雙曲線的方程為．（2）雙曲線的右頂點(diǎn)為，因?yàn)?，不妨設(shè)，則，設(shè)直線的方程為，由,得，則,()，.同理，，，又，所以，.因?yàn)?，所以直線與軸平行，即為定值，傾斜角為0．，（3）設(shè)，，直線的方程為，由整理得，△，故．，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，又在直線上，所以，．因?yàn)?，，所以，所以．又，．?【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，難度較大．21．對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱數(shù)列為“擬等比數(shù)列”．(1)已知，，且，若數(shù)列和滿足：，且，；①若，求的取值范圍；②求證：數(shù)列是“擬等比數(shù)列”；(2)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，，，且是“擬等比數(shù)列”，求的取值范圍（請(qǐng)用、表示）．【答案】(1)①；②證明見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)基本不等式可求得的取值范圍；②利用數(shù)學(xué)歸納法證明出：，，然后利用不等式的性質(zhì)可證得，即可證得結(jié)論成立；（2）由題中條件，，，先求出的范圍；再根據(jù)是“擬等比數(shù)列”，分類討論和，利用參變量分離法結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】(1)解：①因?yàn)?，，且，，，所以，的取?/p>