2020屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試伯樂馬模擬考試（二）文科數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬模擬考試（二）文科數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1。已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（）A.（2，1） B。（1，2) C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】等式兩邊同除,再化簡即可的出答案?！驹斀狻恳驗椋栽趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為。故選:D。【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算與幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。熟練掌握分式復(fù)數(shù)的化簡是本題的關(guān)鍵。2。已知集合，則集合可以為（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)知道集合中的元素不能有2或6，必含有4和7,則可選出答案.【詳解】因為集合，所以集合中的元素不能有2或6，必含有4和7。故選：C.【點睛】本題考查集合的交并補。屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握集合的交并補運算是解本題的關(guān)鍵.3.已知,則（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由題意結(jié)合對數(shù)運算的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得解?！驹斀狻恳驗椋?。故選：D?！军c睛】本題考查了對數(shù)運算的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了對數(shù)式、指數(shù)式的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.4。已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.16 B.19 C.33 D。35【答案】D【解析】【分析】將等差數(shù)列的通項公式與前項和公式帶入等式,即可解出首項與公差，則可解出.?！驹斀狻恳驗?，所以,所以公差，又，所以，解得，所以.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題。熟練掌握其通項公式與前項和公式是解本題的關(guān)鍵。5?！吨荀滤憬?jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》是我國古代數(shù)學(xué)中的5部著名數(shù)學(xué)著作，其中《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》產(chǎn)生于漢代.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中恰好有一部是漢代時期專著的概率為（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】利用列舉法列出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】假設(shè)《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》分別為1，2，《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》分別為,，，則基本事件有，，,,,，，，,共10個，其中恰好有一個是漢代著作的有，，，，，共6個，所以所求概率為.故選:B【點睛】此題考查古典概型的概率的求法，利用了列舉法，屬于基礎(chǔ)題。6。已知，則（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由兩角差的正切公式求得，直接結(jié)合平方關(guān)系求得后再得．【詳解】，，∴,解得或，兩種情況下都有．故選:D．【點睛】本題考查兩角差的公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，正弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．7.已知雙曲線：的右焦點為，若以（為坐標(biāo)原點）為直徑的圓被雙曲線的一條漸近線所截得的弦長等于雙曲線的虛軸長，則雙曲線的離心率為（)A. B. C. D。2【答案】A【解析】【分析】首先利用點到直線的距離公式求出，再由即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為:，即，圓心為，所以圓心到漸近線的距離為，由題意可得，所以，所以,即離心率。故選：A【點睛】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),同時考查了考生的基本運算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的圖象可能是（)A。 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】采用排除法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)在處的函數(shù)值大小，可得結(jié)果?！驹斀狻坑?，則所以，即函數(shù)是偶函數(shù)故排除A,C，當(dāng)時，,排除D.故選:B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷大致圖象，針對這種題型常常從定義域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、值域、特殊值入手，考驗分析問題的能力，屬基礎(chǔ)題。9。已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】先利用換元法求出的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程【詳解】令，則，由,得，所以,，，。所以曲線在點處的切線方程為。故選：C【點睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用換元法求函數(shù)的解析式,屬于基礎(chǔ)題。10。已知直線與橢圓：交于，兩點,點是橢圓的左焦點，若，，則()A.2 B. C。 D。4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與橢圓都關(guān)于原點對稱則的可得到，,即可解出，，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立求解可得出答案?！驹斀狻坑蓪ΨQ性可得,所以，又，得，所以，即橢圓的方程為，將與聯(lián)立消得，所以。故選：C.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系之弦長問題，屬于中檔題.利用其對稱性分析出，是解本題的關(guān)鍵.11.在中,，邊上的高為，則（）A。 B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】設(shè)的三個內(nèi)角，，的對邊分別為,，，由,邊上的高為，利用面積公式可得的關(guān)系，再利用余弦定理得到的關(guān)系，然后由求解。【詳解】設(shè)的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，,，由題意知，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力,屬于中檔題。12。關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞減;③在有四個零點；④的值域是。其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.②③ B。③④ C.①②④ D.②③④【答案】A【解析】【分析】對于①,利用函數(shù)的奇偶性的定義進行判斷即可對于②，由于,再利用復(fù)合函數(shù)判斷單調(diào)性的方法判斷；對于③，由，直接解方程即可；對于④,，由于,所以當(dāng)時，取最小值，當(dāng)時，取最大值,從而可求出函數(shù)的值域【詳解】①因為，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),①不正確；②，令，則，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，而函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，②正確;③當(dāng)時，由，得，或，或，或，所以在有四個零點，③正確;④,因為,所以當(dāng)時，,當(dāng)時，，④不正確.故選:A.【點睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)值域的求法，屬于中檔題.二、填空題。13。已知向量，，若，則實數(shù)________?！敬鸢浮?或—2【解析】【分析】利用向量共線的充要條件列出方程，解出即可?！驹斀狻浚?所以，解得或.故答案為:1或—2【點睛】本題考查向量共線的充要條件，屬于簡單題.14。某學(xué)校高一某班女生人數(shù)是男生人數(shù)的。在一次數(shù)學(xué)測試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)分別是85，80，則這次數(shù)學(xué)測試該班學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為________?！敬鸢浮?3【解析】【分析】根據(jù)題意可得男生所占比例為，女生所占比例為,再根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】因為該班女生人數(shù)是男生人數(shù)的，所以男生所占比例為，女生所占比例為,所以總平均分為.故答案為：83【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算公式，考查了基本知識掌握情況，屬于基礎(chǔ)題。15.設(shè)函數(shù)，則，則實數(shù)________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑煞侄魏瘮?shù)解析式判斷出時,，得出,也有，再代入相應(yīng)的解析式中，求解方程可得答案?！驹斀狻慨?dāng)時，，所以要使成立，則，也有，所以，解得，所以,解得。故答案為：.【點睛】本題考查解分段函數(shù)的方程，關(guān)鍵討論自變量的范圍，確定出函數(shù)的具體函數(shù)解析式，屬于中檔題。16。已知直三棱柱中，，，則三棱錐的外接球的表面積為________；若與分別為線段和上的動點(不包括端點）,且，則三棱錐體積的最大值為________。【答案】(1).(2)?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)題意可知三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球，根據(jù)正方體外接球的半徑求解公式即可得解；根據(jù)題意，設(shè)出的長度，表示出棱錐的體積，用基本不等式即可求得體積的最大值?！驹斀狻咳忮F外接球，就是直三棱柱的外接球，補成棱長為1的正方體，可求得三棱錐的外接球半徑為，所以所求表面積為。設(shè),,則，且,所以.當(dāng)且僅當(dāng)，時,等號成立。所以三棱錐體積的最大值為。故答案為：；.【點睛】本題考查幾何體外接球表面積的求解，涉及棱錐體積的求解，以及基本不等式求乘積的最大值，屬綜合中檔題。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題.17。隨著科技的發(fā)展,電子書越來越受到人們的歡迎。某高校為了解該校師生對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度，隨機抽取了100名師生進行了調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表:喜歡看電子書喜歡看紙質(zhì)書合計教師5學(xué)生48合計已知這100名師生中隨機抽取一人抽到喜歡看電子書的概率是.（1）請將上述列聯(lián)表補充完整；（2）是否有的把握認(rèn)為對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度與教師和學(xué)生的身份有關(guān)？附：…0.100。050。0250.0100。001…2。7063.8415。0246.63510。828【答案】(1）列聯(lián)表見解析;（2）沒有的把握認(rèn)為對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度與教師和學(xué)生的身份有關(guān)．【解析】【分析】（1）由喜歡看電子書的概率是可得人數(shù)，從而能完善列聯(lián)表；（2)根據(jù)公式計算出可得結(jié)論．【詳解】（1）這100名師生中隨機抽取一人抽到喜歡看電子書的概率是,∴喜歡看電子書的人數(shù)為．列聯(lián)表如下：喜歡看電子書喜歡看紙質(zhì)書合計教師53237學(xué)生154863合計2080100（2），∴沒有的把握認(rèn)為對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度與教師和學(xué)生的身份有關(guān)．【點睛】本題考查列聯(lián)表和獨立性質(zhì)檢驗,解題關(guān)鍵是計算．18。已知數(shù)列滿足：，。（1）求的通項公式；(2）求的前項和。【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1）由可得，兩式相減后化簡得,然后利用累乘法可求出通項公式；（2）利用裂項相消法可求出【詳解】解:（1）令，則，當(dāng)時，，所以，即，所以，所以，所以，因為，所以，滿足此式,所以;（2)因為，所以【點睛】此題考查數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系,考查累乘法求通項公式,考查裂項相消法，屬于基礎(chǔ)題19。如圖，已知四棱錐中,是平行四邊形，,平面平面，，,分別是，的中點。(1)求證：平面;(2）求證:平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1）取中點為,通過證明//,即可由線線平行推證線面平行；（2)通過證明平面，即可由線面垂直推證出面面垂直。【詳解】（1）取中點為，連接，如下所示：因為為中點，故可得//，,又為中點，故可得//，,故可得//,，故四邊形為平行四邊形，故可得//,又因為平面，平面，故//平面，即證。（2）因為平面平面，平面平面,又平面,且，故可得平面.又平面,故平面平面，即證?！军c睛】本題考查線面平行以及面面平行的證明，注意對已知條件的合理轉(zhuǎn)化，屬綜合基礎(chǔ)題。20。已知拋物線：的準(zhǔn)線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于，兩點.(1）若，求弦長；（2）若拋物線上存在點使得，求的取值范圍.【答案】(1）；（2).【解析】【分析】（1)寫出直線方程，代入拋物線方程，設(shè),,應(yīng)用韋達定理得，由弦長公式可求得弦長；(2）由（1）直線方程為：,設(shè)，，應(yīng)用韋達定理得，設(shè)，由,得含有方程,關(guān)于的方程有解，判別式大于或等于0，可得的范圍．【詳解】（1）拋物線：的準(zhǔn)線：，所以,：,將其與聯(lián)立消得，設(shè),，則，，所以.所以.（2）設(shè)：,與聯(lián)立消得，設(shè)，，則,，，所以，又，所以。設(shè)，由得，所以,所以，即，，將，代入得，所以，解得,所以,即當(dāng)時存在點，使得.【點睛】本題考查直線與拋物線相交弦長，考查拋物線中的存在性問題，解題方法是設(shè)而不求思想，即設(shè)交點為，，設(shè)直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得，代入弦長公式可得弦長,代入其他條件可得的范圍或其他結(jié)論．21。已知函數(shù)。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2)若，求證：時，.【答案】(1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得，對其分解因式,對參數(shù)進行分類討論,即可利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性;（2）根據(jù)題意，要證目標(biāo)不等式即證，分區(qū)間進行考慮；特別地，當(dāng)時，進行二次求導(dǎo)證明不等式即可.【詳解】（1）由，，得，當(dāng)時,，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，得；令，得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增;當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,,令,得；令，得或。所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上所述：時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;時，在上單調(diào)遞減,在，上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增.（2)因為，所以時，等價于。當(dāng)時,,,,不等式恒成立；當(dāng)時，令，則，令，則，令，則，因為當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，所以，所以，單調(diào)遞增,因為,，所以存在，使，即，,且時,，即,單調(diào)遞減;時，，即，單調(diào)遞增.所以。令，則，,，因為在時單調(diào)遞減,且，所以時，，即，所以。所以，，又，所以。即,時，成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，涉及二次求導(dǎo)，屬綜合困難題.（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分.［選修4-—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22。在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;(2）設(shè)點，若直線與曲線交于，兩點，且為的中點,求