小學教育概統課件

小學教育概統課件小學教育概統課件小學教育概統課件§4.1.1數學期望的定義例：某自動化車床一天內加工的零件中，出現次品的數量X是一個隨機變量。由多日統計，得X分布律如下:問車床平均一天出幾個次品？解：設車床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值為2小學教育概統課件小學教育概統課件小學教育概統課件§4.1.11§4.1.1數學期望的定義例：某自動化車床一天內加工的零件中，出現次品的數量X是一個隨機變量。由多日統計，得X分布律如下:X012340.150.270.440.100.04問車床平均一天出幾個次品？解：設車床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值為2§4.1.1數學期望的定義例：某自動化車床一天內加工的零件數學期望的定義若級數不絕對收斂，我們稱X的數學期望不存在。定義4.1設離散型隨機變量X的概率分布為P{X=xk}=pk,k=1,2,…,如果級數

絕對收斂，則稱此級數為X的數學期望（也稱期望或均值），記為3數學期望的定義若級數不絕對收斂泊松分布的期望例4.3設X，則E(X)=.4泊松分布的期望例4.3設X，則E(X)=連續(xù)型隨機變量的數學期望定義4.2設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為f(x),如果廣義積分則稱此積分為隨機變量X的數學期望,記為絕對收斂，5連續(xù)型隨機變量的數學期望定義4.2設連續(xù)型隨機變量X的密度例4.4Γ分布的數學期望X的密度函數:解:6例4.4Γ分布的數學期望X的密度函數:解:6例：隨機變量不存在的例子設隨機變量X服從Cauchy分布，其密度函數為：這表明積分不絕對收斂,因而EX不存在.7例：隨機變量不存在的例子設隨機變量X服從Cauchy分布，其§4.1.2隨機變量函數的期望定理4.1

設X為隨機變量，Y=g(X)是X的連續(xù)函數或單調函數，則(1)若離散型隨機變量X～P{X=xk}=pk,k=1,2,…，且級數絕對收斂，則8§4.1.2隨機變量函數的期望定理4.1設X為隨機變量，XPg(x)Px1x2…xnp1p2…png(x1)g(x2)…g(xn)p1p2…pn…………9XPg(x)Px1x2…xnp1p2…png(2)若連續(xù)型隨機變量X～f(x)，如果廣義積分絕對收斂，則§4.1.2隨機變量函數的期望10(2)若連續(xù)型隨機變量X～f(x)，如果廣義絕對收斂，則§4例4.6某車站開往甲地的班車每小時10分,40分發(fā)車,一乘客因不知車站發(fā)車的時間,在每小時的任意時刻都隨機到達車站,求乘客的平均等待時間.解：設乘客到達車站的時間為X,等車時間為Y,則X~U[0,60],且11例4.6某車站開往甲地的班車每小時10分,40分解：設乘客于是,乘客的平均等待時間E(Y)為:例4.612于是,乘客的平均等待時間E(Y)為:例4.612定理4.2

設(X,Y)為二維隨機變量，Z=g(X,Y)是(X,Y)的連續(xù)函數.二維隨機變量函數的期望(1)設離散型隨機變量(X,Y)的概率分布為P{X=xiY=yj)}=pij,i,j=1,2,…,絕對收斂,則如果級數13定理4.2設(X,Y)為二維隨機變量，Z=g(X,Y)是(2)若連續(xù)型隨機變量(X,Y)～f(x,y)，如果廣義積分絕對收斂，則二維隨機變量函數的期望14(2)若連續(xù)型隨機變量(X,Y)～f(x,y)，如果廣義積分例4.7兩元件并聯構成系統，由元件壽命X及Y獨立同分布于e(0.5),求系統的平均壽命.解：寫出(X,Y)的聯合密度函數令Z表示系統壽命,則15例4.7兩元件并聯構成系統，由元件壽命X及Y獨立同分布于e(例4.716例4.716§4.1.3數學期望的性質證:設X有密度f(x)，則17§4.1.3數學期望的性質證:設X有密度f(x)，則17證§4.1.3數學期望的性質18證§4.1.3數學期望的性質18(4)設Xi(i=1,2,…,n)是n個隨機變量，Ci(i=1,2,…,n)是n個常數，則---線性性質(5)若X及Y獨立，則E(XY)=E(X).E(Y)(獨立時，乘積的期望等于期望的乘積)§4.1.3數學期望的性質19(4)設Xi(i=1,2,…,n)是n個隨機變量，Ci(例4.8設隨機變量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X及Y獨立，求E(XY).20例4.8設隨機變量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X及例4.9設XBn,p,則EX=np解：設X表示n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數，則而故21例4.9設XBn,p,則EX=np解：設§4.2方差4.2.1方差的定義及計算定義4.3

設X是隨機變量，若E(X-EX)2存在，稱為X的方差，記為

D(X)=E(X-EX)2（或Var(X)），稱為標準差。(方差本質是隨機變量函數的期望)度量隨機變量及均值的偏離程度22§4.2方差4.2.1方差的定義及計算定義4.3設方差的計算式(實數)23方差的計算式(實數)23例4.11例4.1224例4.11例4.1224§4.2.2方差的性質(常數的方差等于0)（1）（2）a,b為常數，（3）若X及Y獨立，25§4.2.2方差的性質(常數的方差等于0)（1）（2）a,例4.13例4.14隨機變量且X，Y，Z相互獨立，26例4.13例4.14隨機變量且X，Y，Z相互獨立，26(4)設隨機變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨立，ci(i=1,2,…,n)是n個常數，則(5)D(X)=0

存在常數C，使得P{X=C}=1，且C=EX.§4.2.2方差的性質27(4)設隨機變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨立，ci§4.2.3變異系數，矩定義4.4若隨機變量X的期望、方差均存在，且，則變異系數為定義4.5若隨機變量X對非負整數k有下列期望存在，X的k階原點矩X的k階中心矩28§4.2.3變異系數，矩定義4.4若隨機變量X的期望、例4.15隨機變量求X的變異系數，k階原點矩及3階中心矩。29例4.15隨機變量隨機變量的標準化設隨機變量X的數學期望E(X)，方差D(X)均存在，且D(X)>0，定義一個新的隨機變量則EX*=0，DX*=1，稱X*是隨機變量X的標準化隨機變量。30隨機變量的標準化設隨機變量X的數學期望E(X)，方差D(X)定義4.6：對二維隨機變量(X,Y)，Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為X及Y的協方差。§4.3.1協方差Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).協方差的計算式為：特別地，Cov(X,X)=DX.31定義4.6：對二維隨機變量(X,Y)，Cov(X,Y)=E協方差的性質(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,a)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(6)若X及Y獨立，則Cov(X,Y)=0.32協方差的性質(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)二維向量的數字特征對二維隨機變量(X,Y),稱向量為(X,Y)的協方差陣。（可推廣到n維）稱矩陣為(X,Y)的數學期望(均值向量).33二維向量的數字特征對二維隨機變量(X,Y),稱向量為(X,Y例4.16(X,Y)有二維分布律X\Y012011/61/121/61/121/31/6求(X,Y)的數學期望和協方差矩陣.解：(1)先求X,Y的邊緣分布律;34例4.16(X,Y)有二維分布律X\Y01例4.16(2)計算X,Y的期望和方差,得：(3)為計算Cov(X,Y)，須計算二維隨機變量函數Z=XY的期望：(4)余下的代入公式計算，見P123.35例4.16(2)計算X,Y的期望和方差,得：(3)為計算例4.17隨機變量且X,Y獨立,求D(3X-2Y+Z).解：本題主要利用協方差的性質,D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ+2Cov(3X-2Y,Z)D(3X-2Y)=?=D(3X)+D(2Y)2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z)Cov(3X-2Y,Z)=?36例4.17隨機變量且X,Y獨立,求D(3X-2Y+Z).解：標準化隨機變量的協方差常數§4.3.2相關系數37標準化隨機變量的協方差常數§4.3.2相關系數37定義4.4

若隨機變量X，Y的期望和方差均存在，且DX>0,DY>0，則稱為X及Y的相關系數。38定義4.4若隨機變量X，Y的期望和方差均存在，且DX>相關系數的性質定理4.4(1)R(X,Y)=R(Y,X)(2)|R(X,Y)|≤1(3)|R(X,Y)|=1的充要條件為：存在常數a,b,且a≠0,使得P(Y=aX+b)=1.特別地，若a>0,可得R(X,Y)=1,稱為正線性相關；反之,稱為負線性相關。39相關系數的性質定理4.4(1)R(X,Y)=R(Y,X關于t的一元二次方程f(t)對任意t都有證明：(2)|R(X,Y)|≤140關于t的一元二次方程f(t)對任意t都有證明：(2)|獨立及不相關X,Y獨立時，可以推出Cov(X,Y)=0,因而可以推出R(X,Y)=0,即不相關；反之不一定成立，即：X,Y不相關不能說明X,Y獨立。例4.19

設X~U(-1,1),Y=X2,則X,Y不相關.解:41獨立及不相關X,Y獨立時，可以推出Cov(X,Y)=0,例例4.20設二維隨機變量(X,Y)在G上均勻分布，其中

求X,Y的期望及方差；證明：X與Y不相關，不獨立。解：寫出(X,Y)的聯合密度函數x+y=1x-y=142例4.20設二維隨機變量(X,Y)在G上均勻分布，求X,Y例4.20分別求出X,Y的邊緣密度函數同理:從而:同理:x+y=1x-y=143例4.20分別求出X,Y的邊緣密度函數同理:從而:同理:x+x+y=1x-y=1可見，X,Y不相關。但是在G中，例4.20可見，X,Y不獨立。44x+y=1x-y=1可見，X,Y不相關。但是在G中，例4.2ThankYou世界觸手可及攜手共進，齊創(chuàng)精品工程ThankYou世界觸手可及攜手共進，齊創(chuàng)精品工程45小學教育概統課件小學教育概統課件小學教育概統課件§4.1.1數學期望的定義例：某自動化車床一天內加工的零件中，出現次品的數量X是一個隨機變量。由多日統計，得X分布律如下:問車床平均一天出幾個次品？解：設車床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值為2小學教育概統課件小學教育概統課件小學教育概統課件§4.1.146§4.1.1數學期望的定義例：某自動化車床一天內加工的零件中，出現次品的數量X是一個隨機變量。由多日統計，得X分布律如下:X012340.150.270.440.100.04問車床平均一天出幾個次品？解：設車床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值為47§4.1.1數學期望的定義例：某自動化車床一天內加工的零件數學期望的定義若級數不絕對收斂，我們稱X的數學期望不存在。定義4.1設離散型隨機變量X的概率分布為P{X=xk}=pk,k=1,2,…,如果級數

絕對收斂，則稱此級數為X的數學期望（也稱期望或均值），記為48數學期望的定義若級數不絕對收斂泊松分布的期望例4.3設X，則E(X)=.49泊松分布的期望例4.3設X，則E(X)=連續(xù)型隨機變量的數學期望定義4.2設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為f(x),如果廣義積分則稱此積分為隨機變量X的數學期望,記為絕對收斂，50連續(xù)型隨機變量的數學期望定義4.2設連續(xù)型隨機變量X的密度例4.4Γ分布的數學期望X的密度函數:解:51例4.4Γ分布的數學期望X的密度函數:解:6例：隨機變量不存在的例子設隨機變量X服從Cauchy分布，其密度函數為：這表明積分不絕對收斂,因而EX不存在.52例：隨機變量不存在的例子設隨機變量X服從Cauchy分布，其§4.1.2隨機變量函數的期望定理4.1

設X為隨機變量，Y=g(X)是X的連續(xù)函數或單調函數，則(1)若離散型隨機變量X～P{X=xk}=pk,k=1,2,…，且級數絕對收斂，則53§4.1.2隨機變量函數的期望定理4.1設X為隨機變量，XPg(x)Px1x2…xnp1p2…png(x1)g(x2)…g(xn)p1p2…pn…………54XPg(x)Px1x2…xnp1p2…png(2)若連續(xù)型隨機變量X～f(x)，如果廣義積分絕對收斂，則§4.1.2隨機變量函數的期望55(2)若連續(xù)型隨機變量X～f(x)，如果廣義絕對收斂，則§4例4.6某車站開往甲地的班車每小時10分,40分發(fā)車,一乘客因不知車站發(fā)車的時間,在每小時的任意時刻都隨機到達車站,求乘客的平均等待時間.解：設乘客到達車站的時間為X,等車時間為Y,則X~U[0,60],且56例4.6某車站開往甲地的班車每小時10分,40分解：設乘客于是,乘客的平均等待時間E(Y)為:例4.657于是,乘客的平均等待時間E(Y)為:例4.612定理4.2

設(X,Y)為二維隨機變量，Z=g(X,Y)是(X,Y)的連續(xù)函數.二維隨機變量函數的期望(1)設離散型隨機變量(X,Y)的概率分布為P{X=xiY=yj)}=pij,i,j=1,2,…,絕對收斂,則如果級數58定理4.2設(X,Y)為二維隨機變量，Z=g(X,Y)是(2)若連續(xù)型隨機變量(X,Y)～f(x,y)，如果廣義積分絕對收斂，則二維隨機變量函數的期望59(2)若連續(xù)型隨機變量(X,Y)～f(x,y)，如果廣義積分例4.7兩元件并聯構成系統，由元件壽命X及Y獨立同分布于e(0.5),求系統的平均壽命.解：寫出(X,Y)的聯合密度函數令Z表示系統壽命,則60例4.7兩元件并聯構成系統，由元件壽命X及Y獨立同分布于e(例4.761例4.716§4.1.3數學期望的性質證:設X有密度f(x)，則62§4.1.3數學期望的性質證:設X有密度f(x)，則17證§4.1.3數學期望的性質63證§4.1.3數學期望的性質18(4)設Xi(i=1,2,…,n)是n個隨機變量，Ci(i=1,2,…,n)是n個常數，則---線性性質(5)若X及Y獨立，則E(XY)=E(X).E(Y)(獨立時，乘積的期望等于期望的乘積)§4.1.3數學期望的性質64(4)設Xi(i=1,2,…,n)是n個隨機變量，Ci(例4.8設隨機變量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X及Y獨立，求E(XY).65例4.8設隨機變量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X及例4.9設XBn,p,則EX=np解：設X表示n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數，則而故66例4.9設XBn,p,則EX=np解：設§4.2方差4.2.1方差的定義及計算定義4.3

設X是隨機變量，若E(X-EX)2存在，稱為X的方差，記為

D(X)=E(X-EX)2（或Var(X)），稱為標準差。(方差本質是隨機變量函數的期望)度量隨機變量及均值的偏離程度67§4.2方差4.2.1方差的定義及計算定義4.3設方差的計算式(實數)68方差的計算式(實數)23例4.11例4.1269例4.11例4.1224§4.2.2方差的性質(常數的方差等于0)（1）（2）a,b為常數，（3）若X及Y獨立，70§4.2.2方差的性質(常數的方差等于0)（1）（2）a,例4.13例4.14隨機變量且X，Y，Z相互獨立，71例4.13例4.14隨機變量且X，Y，Z相互獨立，26(4)設隨機變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨立，ci(i=1,2,…,n)是n個常數，則(5)D(X)=0

存在常數C，使得P{X=C}=1，且C=EX.§4.2.2方差的性質72(4)設隨機變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨立，ci§4.2.3變異系數，矩定義4.4若隨機變量X的期望、方差均存在，且，則變異系數為定義4.5若隨機變量X對非負整數k有下列期望存在，X的k階原點矩X的k階中心矩73§4.2.3變異系數，矩定義4.4若隨機變量X的期望、例4.15隨機變量求X的變異系數，k階原點矩及3階中心矩。74例4.15隨機變量隨機變量的標準化設隨機變量X的數學期望E(X)，方差D(X)均存在，且D(X)>0，定義一個新的隨機變量則EX*=0，DX*=1，稱X*是隨機變量X的標準化隨機變量。75隨機變量的標準化設隨機變量X的數學期望E(X)，方差D(X)定義4.6：對二維隨機變量(X,Y)，Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為X及Y的協方差。§4.3.1協方差Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).協方差的計算式為：特別地，Cov(X,X)=DX.76定義4.6：對二維隨機變量(X,Y)，Cov(X,Y)=E協方差的性質(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,a)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(6)若X及Y獨立，則Cov(X,Y)=0.77協方差的性質(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)二維向量的數字特征對二維隨機變量(X,Y),稱向量為(X,Y)的協方差陣。（可推廣到n維）稱矩陣為(X,Y)的數學期望(均值向量).78二維向量的數字特征對二維隨機變量(X,Y),稱向量為(X,Y例4.16(X,Y)有二維分布律X\Y012011/61/121/61/121/31/6求(X,Y)的數學期望和協方差矩陣.解：(1)先求X,Y的邊緣分布律;79例4.16(X,Y)有二維分布律X\Y01例4.16(2)計算X,Y的期望和方差,得：(3)為計算Cov(X,Y)，須計算二維隨機變量函數Z=XY的期望：(4)余下的代入公式計算，見P123.80例4.16(2)計算X,Y的期望和方差,得：(3)為計算例4.17隨機變量且X,Y獨立,求D(3X-2Y+Z).解：本題主要利用協方差的性質,D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ+2Cov(3X-2Y,