金屬自由電子理論課件

第一節(jié)自由電子氣的能量狀態(tài)4.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解4.1.2波矢空間和能態(tài)密度4.1.3自由電子氣的費(fèi)米能量本節(jié)主要內(nèi)容：第一節(jié)4.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解4.14.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解(1)金屬中的價(jià)電子彼此之間無(wú)相互作用；§4.1自由電子氣的能量狀態(tài)1.模型(索末菲)自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：自由的、無(wú)相互作用的

、遵從泡利原理的電子氣。(2)金屬內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)為恒定勢(shì)場(chǎng)(價(jià)電子各自在勢(shì)能等于平均勢(shì)能的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng))；(3)價(jià)電子速度服從費(fèi)米—狄拉克分布。4.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解(1)金屬中的價(jià)為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，又設(shè)勢(shì)阱的深度是無(wú)限的。粒子勢(shì)能為2.薛定諤方程及其解每個(gè)電子都可以建立一個(gè)獨(dú)立的薛定諤方程：E---電子的能量----電子的波函數(shù)(是電子位矢的函數(shù))為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，又設(shè)勢(shì)阱的深度是常用邊界條件駐波邊界條件周期性邊界條件波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來(lái)，而是離開(kāi)金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來(lái)。常用邊界條件駐波邊界條件周期性邊界條件波函數(shù)為行波，波矢，為電子的德布羅意波長(zhǎng)。電子的動(dòng)量：電子的速度：由正交歸一化條件：由周期性邊界條件：(其中為整數(shù))波矢，為電子的德布羅意波長(zhǎng)。電子的動(dòng)量：電子的速度：由正交歸4.1.2波矢空間和能態(tài)密度1.波矢空間以波矢的三個(gè)分量為坐標(biāo)軸的空間稱(chēng)為波矢空間或空間。金屬中自由電子波矢：(1)在波矢空間每個(gè)(波矢)狀態(tài)代表點(diǎn)占有的體積為：(2)波矢空間狀態(tài)密度(單位體積中的狀態(tài)代表點(diǎn)數(shù)):(3)體積元中的(波矢)狀態(tài)數(shù)為:(4)體積元中的電子狀態(tài)數(shù)為:4.1.2波矢空間和能態(tài)密度1.波矢空間以波矢2.能態(tài)密度(1)定義:(2)計(jì)算:波矢密度兩個(gè)等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)兩等能面間的電子狀態(tài)數(shù)能態(tài)密度

兩等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)：2.能態(tài)密度(1)定義:(2)計(jì)算:波矢密度兩個(gè)等能面間的波考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，kykx能態(tài)密度:考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，kykx能例1：求金屬自由電子氣的能態(tài)密度金屬中自由電子的能量法1.例1：求金屬自由電子氣的能態(tài)密度金屬中自由電子的能量法1.E法2.金屬中自由電子的能量E法2.金屬中自由電子的能量kykx其中kykx其中在半徑為k的球體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為：自由電子氣的能態(tài)密度：法3.其中在k空間自由電子的等能面是半徑的球面，在半徑為k的球體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為：自由電子氣的能態(tài)密度：法4.1.3自由電子氣的費(fèi)米能量在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是1.費(fèi)米能量

EF---費(fèi)米能級(jí)(等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì))，它的意義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。它是溫度T和晶體自由電子總數(shù)N的函數(shù)。2.圖象4.1.3自由電子氣的費(fèi)米能量在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)隨著T的增加，f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任何情況下，此能量范圍約在EF附近kBT范圍內(nèi)。隨著T的增加，f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任3.費(fèi)米面E=EF的等能面稱(chēng)為費(fèi)米面。(a)T=0k在絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米面以?xún)?nèi)的狀態(tài)都被電子占據(jù)，球外沒(méi)有電子。費(fèi)米能級(jí)(b)

T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，此時(shí)費(fèi)米面以?xún)?nèi)能量離EF約kBT范圍的能級(jí)上的電子被激發(fā)到EF之上約kBT范圍的能級(jí)。EF3.費(fèi)米面E=EF的等能面稱(chēng)為費(fèi)米面。(a)T=0k4.求EF的表達(dá)式分兩種情況討論：E~E+dE間的電子狀態(tài)數(shù)：E~E+dE間的電子數(shù)：系統(tǒng)總的電子數(shù)：(1)在T=0K時(shí)，上式變成：將自由電子密度N(E)=CE1/2代入得：其中4.求EF的表達(dá)式分兩種情況討論：E~E+dE間的電子狀態(tài)數(shù)令n=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，則有自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量由下式計(jì)算金屬中一般n~1028m-3，電子質(zhì)量m=9×10-31kg，幾個(gè)電子伏。由上式可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。令n=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，則有自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)(分步積分得來(lái))(2)=0則上式化簡(jiǎn)為(分步積分得來(lái))(2)=0則上式化簡(jiǎn)為因此一方面，另一方面，將g(E)在EF附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：函數(shù)的特點(diǎn)具有類(lèi)似于函數(shù)的性質(zhì)，僅在EF附近kBT的范圍內(nèi)才有顯著的值，且是E－EF的偶函數(shù)。只考慮到二次方項(xiàng)，略去三次方以上的高次項(xiàng)，可得到因此一方面，另一方面，將g(E)在EF附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：很顯然，I0等于１，由于為(E-EF)的偶函數(shù)，因此I1=0。令(E-EF)/kBT=，則很顯然，I0等于１，由于為(E-EF)的偶函數(shù)，因此得：得：得:=1=0由于系統(tǒng)的電子數(shù)得:=1=0由于系統(tǒng)的電子數(shù)利用kBT<<EF，最后得當(dāng)溫度升高時(shí)，EF比小。利用kBT<<EF，最后得當(dāng)溫度升高時(shí)，EF比小。E~E+dE間的電子數(shù)：E~E+dE間電子的能量:電子的總能量：每個(gè)電子的平均能量：1.每個(gè)電子的平均能量§4.2電子氣熱容量4.2.1電子氣的摩爾熱容量E~E+dE間的電子數(shù)：E~E+dE間電子的能量:電子的總能=0=0金屬自由電子理論課件2.每個(gè)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)2.每個(gè)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)---電子氣的費(fèi)米溫度，約為104--105K。3.電子氣的摩爾熱容量為

N0為每摩爾的原子數(shù),Z為每個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)，電子熱容系數(shù)。N0kB=R，R=8.31441J/mol·K為氣體常量。---電子氣的費(fèi)米溫度，約為104--105K。3.電子氣的1.在常溫下晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容量的貢獻(xiàn)的量級(jí)為J/mol·k2而電子比熱的量級(jí)為mJ/mol·k2。電子比熱與晶格振動(dòng)比熱相比很小，如何解釋呢?電子熱容量可以直接提供費(fèi)米面附近能態(tài)密度的信息。這是因?yàn)楸M管金屬中有大量的自由電子，但只有費(fèi)米面附近kBT范圍的電子才能受熱激發(fā)而躍遷至較高的能級(jí)。所以電子的熱容量很小。4.2.2電子氣摩爾熱容量的討論1.在常溫下晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容量的貢獻(xiàn)的量級(jí)為J/2.電子氣能態(tài)密度很多金屬的基本性質(zhì)主要取決于能量在EF附近的電子，從k空間看，也就是在費(fèi)米面Ｅ＝ＥF附近的電子，因此研究費(fèi)米面附近的狀況具有重要意義。根據(jù)以上的分析知道電子的熱容量可以直接提供對(duì)費(fèi)米面附近能態(tài)密度的了解。2.電子氣能態(tài)密度很多金屬的基本性質(zhì)主要取決于能量在電子氣和晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容貢獻(xiàn)之比為：3.低溫時(shí)金屬比熱在溫度甚低時(shí)，兩者的大小變得可以相比，晶體的摩爾熱容量可以表示為：電子氣和晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容貢獻(xiàn)之比為：3.低溫時(shí)金屬比熱第三節(jié)

功函數(shù)和接觸電勢(shì)差本節(jié)主要內(nèi)容:4.3.1功函數(shù)4.3.2接觸電勢(shì)差第三節(jié)功函數(shù)和接觸電勢(shì)差本節(jié)主要內(nèi)容:4.3.1功函數(shù)

接觸電勢(shì):兩塊不同的金屬A和Ｂ相接觸，或用導(dǎo)線連接起來(lái)，兩塊金屬就會(huì)彼此帶電產(chǎn)生不同的電勢(shì)VA和VB，這稱(chēng)為接觸電勢(shì)。Ｂ+++------+++---VAVB接觸電勢(shì)差A(yù)+++接觸電勢(shì):兩塊不同的金屬A和Ｂ相接觸，或用導(dǎo)線連接金屬中電子的勢(shì)阱和脫出功ＥＦE0電子在深度為E0的勢(shì)阱內(nèi)，要使費(fèi)米面上的電子逃離金屬，至少使之獲得=E0－ＥＦ的能量，稱(chēng)為脫出功又稱(chēng)為功函數(shù)。脫出功越小，電子脫離金屬越容易?！?.3功函數(shù)和接觸電勢(shì)差4.3.1功函數(shù)1.功函數(shù)金屬中電子的勢(shì)阱和脫出功ＥＦE0電子在深度為E0的發(fā)射電流密度：2.里查孫－德西曼公式熱電子發(fā)射：電子從外界獲得熱能逸出金屬的現(xiàn)象稱(chēng)為熱電子發(fā)射。---里查孫－德西曼公式根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖，則得到一條直線。由此可確定金屬的脫出功。發(fā)射電流密度：2.里查孫－德西曼公式熱電子發(fā)射：電

電流密度：某點(diǎn)電流密度大小等于通過(guò)與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直的單位截面積的電流強(qiáng)度。電流強(qiáng)度：等于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體某一橫截面的電量。S經(jīng)典理論求電流密度。設(shè)金屬中電子運(yùn)動(dòng)速度的平均值為。單位體積內(nèi)自由電子數(shù)為n，電子電量為-e，可以證明電流密度：電流密度：某點(diǎn)電流密度大小等于通過(guò)與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直S電流密度選取橫截面為S，長(zhǎng)度為的小圓柱，t時(shí)間內(nèi)通過(guò)S截面的電量為：按照索末菲自由電子論如何求熱電子發(fā)射電流密度呢？

v為電子運(yùn)動(dòng)速度，為單位體積中速度在之間的電子數(shù)。S電流密度選取橫截面為S，長(zhǎng)度為的小圓柱，t時(shí)間內(nèi)通分布函數(shù)f(E)中電子狀態(tài)數(shù)中電子狀態(tài)數(shù)

中電子數(shù)可到達(dá)金屬表面的電子數(shù)電流密度可到達(dá)金屬表面的電子數(shù)分布函數(shù)f(E)中電子狀態(tài)數(shù)中電子狀態(tài)數(shù)由于發(fā)射電子的能量必須滿足：間的電子數(shù)(2)單位體積而>>kBT，(3)可到達(dá)金屬表面的電子數(shù)由于發(fā)射電子的能量必須滿足：間的電子數(shù)(2)單設(shè)ox軸垂直金屬表面，電子沿x方向離開(kāi)金屬，這就要求沿x方向的動(dòng)能必須大于E0，而vy，vz的數(shù)值是任意的，因此對(duì)vy，vz積分得：設(shè)ox軸垂直金屬表面，電子沿x方向離開(kāi)金屬，這就要求金屬自由電子理論課件---里查孫－德西曼公式---里查孫－德西曼公式4.3.2接觸電勢(shì)差０EFABEF０金屬的能級(jí)和功函數(shù)由圖可得電勢(shì)差和功函數(shù)的關(guān)系式：Ｂ+++------+++---VAVB接觸電勢(shì)差A(yù)+++4.3.2接觸電勢(shì)差０EFABEF０金屬的能級(jí)和功函上式說(shuō)明兩塊金屬的接觸電勢(shì)差來(lái)源于兩塊金屬的脫出功不同，而脫出功表示真空能級(jí)和金屬費(fèi)米能級(jí)之差，所以接觸電勢(shì)差來(lái)源于兩塊金屬的費(fèi)米能級(jí)不一樣高。理論推導(dǎo)上式。設(shè)兩塊金屬的溫度都是T，當(dāng)他們接觸時(shí)，每秒內(nèi)從金屬A和金屬B的單位表面積所溢出的電子數(shù)分別為：上式說(shuō)明兩塊金屬的接觸電勢(shì)差來(lái)源于兩塊金屬的脫若B>

A，則VA>0,VB<0，兩塊金屬中的電子分別具有附加的靜電勢(shì)-eVA和-eVＢ，這時(shí)兩塊金屬發(fā)射的電子數(shù)分別為：當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)，接觸電勢(shì)差：若B>A，則VA>0,VB<0，兩塊金屬中的金屬自由電子理論總結(jié)自由電子氣的能量狀態(tài)電子氣的熱容量功函數(shù)和接觸電勢(shì)差金屬自由電子理論自由電子氣的能量狀態(tài)電子氣的熱容量功函數(shù)和接

1.自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：是指自由的、無(wú)相互作用的、遵從泡利原理的電子氣。自由電子氣的能量狀態(tài)2.自由電子氣的能量3.能態(tài)密度一、自由電子氣的能量狀態(tài)1.自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：是指自自由電子氣的能態(tài)密度其中二、電子氣費(fèi)米能量1.分布函數(shù)在熱平衡時(shí)，能量為E的能級(jí)被電子占據(jù)的概率。

EF---費(fèi)米能級(jí)(等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì))，它是溫度T和晶體自由電子總數(shù)N的函數(shù)。自由電子氣的能態(tài)密度其中二、電子氣費(fèi)米能量1.分布函數(shù)在熱2.費(fèi)米能量3.費(fèi)米面：E=EF的等能面稱(chēng)為費(fèi)米面。2.費(fèi)米能量3.費(fèi)米面：E=EF的等能面稱(chēng)為費(fèi)米面。

T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，此時(shí)費(fèi)米面以?xún)?nèi)能量離EF約kBT范圍的能級(jí)上的電子被激發(fā)到EF之上約kBT范圍的能級(jí)。在絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米面以?xún)?nèi)的狀態(tài)都被電子占據(jù)，球外沒(méi)有電子。電子氣的熱容量T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)電子在深度為E0的勢(shì)阱內(nèi)，要使費(fèi)米面上的電子逃離金屬，至少使之獲得=E0－ＥＦ的能量，稱(chēng)為脫出功又稱(chēng)功函數(shù)。功函數(shù)和接觸電勢(shì)差1.功函數(shù)：2.里查遜—德西曼公式3.接觸電勢(shì)兩塊不同的金屬A和Ｂ相接觸，或用導(dǎo)線連接起來(lái)，兩塊金屬就會(huì)彼此帶電產(chǎn)生不同的電勢(shì)VA和VB，稱(chēng)為接觸電勢(shì)。電子在深度為E0的勢(shì)阱內(nèi)，要使費(fèi)米面上的電子逃離金屬第一節(jié)自由電子氣的能量狀態(tài)4.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解4.1.2波矢空間和能態(tài)密度4.1.3自由電子氣的費(fèi)米能量本節(jié)主要內(nèi)容：第一節(jié)4.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解4.14.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解(1)金屬中的價(jià)電子彼此之間無(wú)相互作用；§4.1自由電子氣的能量狀態(tài)1.模型(索末菲)自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：自由的、無(wú)相互作用的

、遵從泡利原理的電子氣。(2)金屬內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)為恒定勢(shì)場(chǎng)(價(jià)電子各自在勢(shì)能等于平均勢(shì)能的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng))；(3)價(jià)電子速度服從費(fèi)米—狄拉克分布。4.1.1金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解(1)金屬中的價(jià)為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，又設(shè)勢(shì)阱的深度是無(wú)限的。粒子勢(shì)能為2.薛定諤方程及其解每個(gè)電子都可以建立一個(gè)獨(dú)立的薛定諤方程：E---電子的能量----電子的波函數(shù)(是電子位矢的函數(shù))為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，又設(shè)勢(shì)阱的深度是常用邊界條件駐波邊界條件周期性邊界條件波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來(lái)，而是離開(kāi)金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來(lái)。常用邊界條件駐波邊界條件周期性邊界條件波函數(shù)為行波，波矢，為電子的德布羅意波長(zhǎng)。電子的動(dòng)量：電子的速度：由正交歸一化條件：由周期性邊界條件：(其中為整數(shù))波矢，為電子的德布羅意波長(zhǎng)。電子的動(dòng)量：電子的速度：由正交歸4.1.2波矢空間和能態(tài)密度1.波矢空間以波矢的三個(gè)分量為坐標(biāo)軸的空間稱(chēng)為波矢空間或空間。金屬中自由電子波矢：(1)在波矢空間每個(gè)(波矢)狀態(tài)代表點(diǎn)占有的體積為：(2)波矢空間狀態(tài)密度(單位體積中的狀態(tài)代表點(diǎn)數(shù)):(3)體積元中的(波矢)狀態(tài)數(shù)為:(4)體積元中的電子狀態(tài)數(shù)為:4.1.2波矢空間和能態(tài)密度1.波矢空間以波矢2.能態(tài)密度(1)定義:(2)計(jì)算:波矢密度兩個(gè)等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)兩等能面間的電子狀態(tài)數(shù)能態(tài)密度

兩等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)：2.能態(tài)密度(1)定義:(2)計(jì)算:波矢密度兩個(gè)等能面間的波考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，kykx能態(tài)密度:考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，kykx能例1：求金屬自由電子氣的能態(tài)密度金屬中自由電子的能量法1.例1：求金屬自由電子氣的能態(tài)密度金屬中自由電子的能量法1.E法2.金屬中自由電子的能量E法2.金屬中自由電子的能量kykx其中kykx其中在半徑為k的球體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為：自由電子氣的能態(tài)密度：法3.其中在k空間自由電子的等能面是半徑的球面，在半徑為k的球體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為：自由電子氣的能態(tài)密度：法4.1.3自由電子氣的費(fèi)米能量在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是1.費(fèi)米能量

EF---費(fèi)米能級(jí)(等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì))，它的意義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。它是溫度T和晶體自由電子總數(shù)N的函數(shù)。2.圖象4.1.3自由電子氣的費(fèi)米能量在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)隨著T的增加，f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任何情況下，此能量范圍約在EF附近kBT范圍內(nèi)。隨著T的增加，f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任3.費(fèi)米面E=EF的等能面稱(chēng)為費(fèi)米面。(a)T=0k在絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米面以?xún)?nèi)的狀態(tài)都被電子占據(jù)，球外沒(méi)有電子。費(fèi)米能級(jí)(b)

T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，此時(shí)費(fèi)米面以?xún)?nèi)能量離EF約kBT范圍的能級(jí)上的電子被激發(fā)到EF之上約kBT范圍的能級(jí)。EF3.費(fèi)米面E=EF的等能面稱(chēng)為費(fèi)米面。(a)T=0k4.求EF的表達(dá)式分兩種情況討論：E~E+dE間的電子狀態(tài)數(shù)：E~E+dE間的電子數(shù)：系統(tǒng)總的電子數(shù)：(1)在T=0K時(shí)，上式變成：將自由電子密度N(E)=CE1/2代入得：其中4.求EF的表達(dá)式分兩種情況討論：E~E+dE間的電子狀態(tài)數(shù)令n=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，則有自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量由下式計(jì)算金屬中一般n~1028m-3，電子質(zhì)量m=9×10-31kg，幾個(gè)電子伏。由上式可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。令n=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，則有自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)(分步積分得來(lái))(2)=0則上式化簡(jiǎn)為(分步積分得來(lái))(2)=0則上式化簡(jiǎn)為因此一方面，另一方面，將g(E)在EF附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：函數(shù)的特點(diǎn)具有類(lèi)似于函數(shù)的性質(zhì)，僅在EF附近kBT的范圍內(nèi)才有顯著的值，且是E－EF的偶函數(shù)。只考慮到二次方項(xiàng)，略去三次方以上的高次項(xiàng)，可得到因此一方面，另一方面，將g(E)在EF附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：很顯然，I0等于１，由于為(E-EF)的偶函數(shù)，因此I1=0。令(E-EF)/kBT=，則很顯然，I0等于１，由于為(E-EF)的偶函數(shù)，因此得：得：得:=1=0由于系統(tǒng)的電子數(shù)得:=1=0由于系統(tǒng)的電子數(shù)利用kBT<<EF，最后得當(dāng)溫度升高時(shí)，EF比小。利用kBT<<EF，最后得當(dāng)溫度升高時(shí)，EF比小。E~E+dE間的電子數(shù)：E~E+dE間電子的能量:電子的總能量：每個(gè)電子的平均能量：1.每個(gè)電子的平均能量§4.2電子氣熱容量4.2.1電子氣的摩爾熱容量E~E+dE間的電子數(shù)：E~E+dE間電子的能量:電子的總能=0=0金屬自由電子理論課件2.每個(gè)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)2.每個(gè)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)---電子氣的費(fèi)米溫度，約為104--105K。3.電子氣的摩爾熱容量為

N0為每摩爾的原子數(shù),Z為每個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)，電子熱容系數(shù)。N0kB=R，R=8.31441J/mol·K為氣體常量。---電子氣的費(fèi)米溫度，約為104--105K。3.電子氣的1.在常溫下晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容量的貢獻(xiàn)的量級(jí)為J/mol·k2而電子比熱的量級(jí)為mJ/mol·k2。電子比熱與晶格振動(dòng)比熱相比很小，如何解釋呢?電子熱容量可以直接提供費(fèi)米面附近能態(tài)密度的信息。這是因?yàn)楸M管金屬中有大量的自由電子，但只有費(fèi)米面附近kBT范圍的電子才能受熱激發(fā)而躍遷至較高的能級(jí)。所以電子的熱容量很小。4.2.2電子氣摩爾熱容量的討論1.在常溫下晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容量的貢獻(xiàn)的量級(jí)為J/2.電子氣能態(tài)密度很多金屬的基本性質(zhì)主要取決于能量在EF附近的電子，從k空間看，也就是在費(fèi)米面Ｅ＝ＥF附近的電子，因此研究費(fèi)米面附近的狀況具有重要意義。根據(jù)以上的分析知道電子的熱容量可以直接提供對(duì)費(fèi)米面附近能態(tài)密度的了解。2.電子氣能態(tài)密度很多金屬的基本性質(zhì)主要取決于能量在電子氣和晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容貢獻(xiàn)之比為：3.低溫時(shí)金屬比熱在溫度甚低時(shí)，兩者的大小變得可以相比，晶體的摩爾熱容量可以表示為：電子氣和晶格振動(dòng)對(duì)摩爾熱容貢獻(xiàn)之比為：3.低溫時(shí)金屬比熱第三節(jié)

功函數(shù)和接觸電勢(shì)差本節(jié)主要內(nèi)容:4.3.1功函數(shù)4.3.2接觸電勢(shì)差第三節(jié)功函數(shù)和接觸電勢(shì)差本節(jié)主要內(nèi)容:4.3.1功函數(shù)

接觸電勢(shì):兩塊不同的金屬A和Ｂ相接觸，或用導(dǎo)線連接起來(lái)，兩塊金屬就會(huì)彼此帶電產(chǎn)生不同的電勢(shì)VA和VB，這稱(chēng)為接觸電勢(shì)。Ｂ+++------+++---VAVB接觸電勢(shì)差A(yù)+++接觸電勢(shì):兩塊不同的金屬A和Ｂ相接觸，或用導(dǎo)線連接金屬中電子的勢(shì)阱和脫出功ＥＦE0電子在深度為E0的勢(shì)阱內(nèi)，要使費(fèi)米面上的電子逃離金屬，至少使之獲得=E0－ＥＦ的能量，稱(chēng)為脫出功又稱(chēng)為功函數(shù)。脫出功越小，電子脫離金屬越容易?！?.3功函數(shù)和接觸電勢(shì)差4.3.1功函數(shù)1.功函數(shù)金屬中電子的勢(shì)阱和脫出功ＥＦE0電子在深度為E0的發(fā)射電流密度：2.里查孫－德西曼公式熱電子發(fā)射：電子從外界獲得熱能逸出金屬的現(xiàn)象稱(chēng)為熱電子發(fā)射。---里查孫－德西曼公式根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖，則得到一條直線。由此可確定金屬的脫出功。發(fā)射電流密度：2.里查孫－德西曼公式熱電子發(fā)射：電

電流密度：某點(diǎn)電流密度大小等于通過(guò)與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直的單位截面積的電流強(qiáng)度。電流強(qiáng)度：等于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體某一橫截面的電量。S經(jīng)典理論求電流密度。設(shè)金屬中電子運(yùn)動(dòng)速度的平均值為。單位體積內(nèi)自由電子數(shù)為n，電子電量為-e，可以證明電流密度：電流密度：某點(diǎn)電流密度大小等于通過(guò)與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直S電流密度選取橫截面為S，長(zhǎng)度為的小圓柱，t時(shí)間內(nèi)通過(guò)S截面的電量為：按照索末菲自由電子論如何求熱電子發(fā)射電流密度呢？

v為電子運(yùn)動(dòng)速度，為單位體積中速度在之間的電子數(shù)。S電流密度選取橫截面為S，長(zhǎng)度為的小圓柱，t時(shí)間內(nèi)通分布函數(shù)f(E)中電子狀態(tài)數(shù)中電子狀態(tài)數(shù)

中電子數(shù)可到達(dá)金屬表面的電子數(shù)電流密度可到達(dá)金屬表面的電子數(shù)分布函數(shù)f(E)中電子狀態(tài)數(shù)中電子狀態(tài)數(shù)由于發(fā)射電子的能量必須滿足：間的電子數(shù)(2)單位體積而>>kBT，(3)可到達(dá)金屬表面的電子數(shù)由于發(fā)射電子的能量必須滿足：間的電子數(shù)(2)單設(shè)ox軸垂直金屬表面，電子沿x方向離開(kāi)金屬，這就要求沿x方向的動(dòng)能必須大于E0，而vy，vz的數(shù)值是任意的，因此對(duì)vy，vz積分得：設(shè)ox軸垂直金屬表面，電子沿x方向離開(kāi)金屬，這就要求金屬自由電子理論課件---里查孫－德西曼公式---里查孫－德西曼公式4.3.2接觸電勢(shì)差０EFABEF０金屬的能級(jí)和功函數(shù)由圖可得電勢(shì)差和功函數(shù)的關(guān)系式：Ｂ+++-----