函數(shù)奇偶性的六類經(jīng)典題型

奇偶性種類一：判斷奇偶性[例1]判斷以下函數(shù)奇偶性1）（且）2）3）4）5）解：（1）且∴奇函數(shù)（2），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴奇函數(shù)3），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱既奇又偶4）考慮特別情況考據(jù)：沒(méi)心義；∴非奇非偶5）且，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴為偶函數(shù)種類二：依照奇偶性求解析式1.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x)＝＋1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________.解析：∵f(x)為奇函數(shù)，x>0時(shí)，f(x)＝＋1，∴當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0時(shí)，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－12.求函數(shù)的解析式1）為R上奇函數(shù)，時(shí)，，解：時(shí)，∴∴2）為R上偶函數(shù)，時(shí)，解：時(shí)，∴種類三：依照奇偶性求參數(shù)1.若函數(shù)f(x)=xln（x+）為偶函數(shù)，則a=【解題指南】f(x)=xln（x+）為偶函數(shù)，即是奇函數(shù)，利用確定的值.【解析】由題知是奇函數(shù)，因此=，解得=1.答案：

1.2.函數(shù)

f(x)

＝為奇函數(shù)，則

a＝______.解析：由題意知，

g(x)

＝(x＋1)(x

＋a)為偶函數(shù)，∴a＝－1.答案：－13.已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇6a－1，a]，則a＋b＝( )A.

B．－1C．1

D．7解析：選A因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此6a－1＋a＝0，因此a＝.又f(x)為偶函數(shù)，因此3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，因此a＋b＝.4.若函數(shù)f(x)＝－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝______.（特別值法）解析：由題意知，函數(shù)f(x)＝－|x＋a|為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：0已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＋b＝________.（待定系數(shù)法）解析：當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，由題意得f(－x)＝－f(x)，因此x2－x＝－ax2－bx，從而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.答案：06.（1），為何值時(shí)，為奇函數(shù)；2）為何值時(shí)，為偶函數(shù)。答案：（1）（恒等定理）∴時(shí)，奇函數(shù)2）∴（恒等定理）∴∴7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（Ⅰ）求的值；（特別值法）（Ⅱ）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；解析：（Ⅰ）簡(jiǎn)解：取特別值法因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，因此=0，即又由f（1）=-f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知在上為減函數(shù)又因是奇函數(shù)，從而不等式：等價(jià)于，因?yàn)闇p函數(shù)，由上式推得：．即對(duì)所有有：，從而鑒識(shí)式種類四：范圍問(wèn)題1.已知

f(x)

是定義在

R上的奇函數(shù)，當(dāng)

x≥0時(shí)，f(x)

＝x2＋2x，若

f(2

－a2)＞f(a)

，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是

(

)A．(－∞，－1)∪

(2，＋∞)

B．(－1,2)C．(－2,1)解析：選C∵f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)圖象如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖象可知f(x)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)x＜0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)＞f(a)

f(x)，得

的大體2－a2＞a，解得－

2＜a＜1.2.定義在

R上的奇函數(shù)

y＝f(x)

在(0，＋∞)上遞加，且

f＝0，則滿足

f(x)>0

的x的會(huì)集為

________．解析：由奇函數(shù)遞加，且f＝0，

y＝f(x)

在(0，＋∞)上遞加，且

f＝0，得函數(shù)

y＝f(x)

在(－∞，0)上f(x)>0時(shí)，x>或－<x<0.即滿足f(x)>0的x的會(huì)集為.答案：3.已知函數(shù)

g(x)

是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)

x<0

時(shí)，g(x)

＝－ln(1

－x)，函數(shù)

f(x)

＝若

f(2－x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是A．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(1,2)

(

)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－2,1)解析：選

D

設(shè)x>0，則－

x<0.∵

x<0

時(shí)，g(x)

＝－ln(1

－x)，∴g(－x)＝－ln(1

＋x)．又∵

g(x)

是奇函數(shù)，∴

g(x)

＝ln(1

＋x)(x>0)

，∴

f(x)

＝其圖象以下列圖．由圖象知，函數(shù)

f(x)

在R上是增函數(shù)．∵

f(2

－x2)>f(x)

，∴

2－x2>x，即－

2<x<1.因此實(shí)數(shù)

x的取值范圍是

(－2,1)

．4.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則不等式f(x)＜－1的解集是__________．解析：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，∴f(x)＝∴f(x)＜－1或或0＜x＜或x＜－2.5.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2.若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為( )A.

B．2C.

D．解析：選

A.設(shè)

x＞0，則－x＜0，因此

f(x)

＝－f(

－x)＝－[(

－x)2

＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.因此在[1，3]上，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)max＝；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)min＝－2.因此m≥且n≤－2.故m－n≥.6.已知f(x)是定義在[－2,2]＝x2－2x＋m.若是關(guān)于任意的

上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝2x－1，又已知函數(shù)g(x)x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，那么實(shí)數(shù)

m的取值范圍是

____________．解析都存在

由題意知，當(dāng)x2∈[－2,2]

x∈[－2,2]，使得g(x2)

時(shí)，f(x)＝f(x1)

的值域?yàn)閇－3,3]．因?yàn)閷?duì)任意的，因此此時(shí)g(x2)的值域要包含[

x1∈－3,3]

[－2,2]，．又因?yàn)間(x)max＝g(－2)，g(x)min＝g(1)，因此g(1)≤－3且g(－2)≥3，解得－5≤m≤－2.種類五：奇偶性

+周期性則

1.f(x)是定義在f(6)的值等于(A．－B．－

R上的奇函數(shù)，滿足)．C.D．－

f(x

＋2)＝f(x)

，當(dāng)

x∈(0,1)

時(shí)，f(x)

＝2x－2，解析：f(6)＝－f(－6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)＝－(2log26－2－2)＝－＝，應(yīng)選C.2.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]時(shí)，f(x)＝4x，則f(2011)的值為_(kāi)_________．解析：f(4)＝0，f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8，f(2011)＝f(3)＝4－3＝1.種類六：求值1.已知函數(shù)f(x)是定義在(－2,2)上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝2x－1，則f的值為( )A．－2B．－C．2D.－1解析：當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，－x∈(0,2)，又∵當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在(－2,2)上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈(－2,0)時(shí)，f(x)1－.∵－2＜log2＜0，∴f(log2)＝1－＝－2.應(yīng)選A.答案：A2.已知f(x)為奇函數(shù)，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，則f(2)＝__________.解析：依照已知g(－2)＝f(－2)＋9，即

3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.答案：63.設(shè)f(x)

是定義在

R上的奇函數(shù)，當(dāng)

x<0

時(shí)，f(x)

＝x＋ex(e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

)，則

f(ln6)的值為

________．由

f(x)

是奇函數(shù)得

f(ln6)

＝－f(

－ln6)

＝－(－ln6)

－e－ln6

＝ln6

－.答案：

ln6

－4.已知函數(shù)存在最大值

M和最小值

N,

則M＋N的值為

__________．5.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的最大值是

M，最小值是

m，則________.解析：本題是一道自編題，學(xué)生不假考慮就會(huì)想到對(duì)求導(dǎo).事實(shí)上，理科學(xué)生，求導(dǎo)得，無(wú)法找到極值點(diǎn)，而文科學(xué)生不會(huì)對(duì)