2023高考真題知識總結方法總結題型突破：26 三角形中三線兩圓的計算問題(學生版)

專題26三角形中三線兩圓的計算問題【高考真題】2022年沒考查【知識總結】一．中線中線定理：一條中線兩側所對邊的平方和等于底邊平方的一半與該邊中線平方的2倍．即：如圖，在中，為中點，則．證明在中，，在中，．．另外已知兩邊及其夾角也可表述為：．證明由，，．二．角平分線角平分線定理：如圖，在中，是的平分線，則．證法1在中，，在中，，．證法2該結論可以由兩三角形面積之比得證，即．三．高高的性質：分別為邊上的高，則求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度．四．外接圓過三角形三個頂點的圓叫三角形的外接圓．其圓心叫做三角形的外心．外接圓半徑的計算：R＝eq\f(a,2sinA)＝eq\f(b,2sinB)＝eq\f(c,2sinC)．外接圓半徑與三角形面積的關系：S△ABC＝eq\f(abc,4R)＝(R為△ABC外接圓半徑)．五．內切圓與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內切圓．其圓心叫做三角形的內心．內切圓半徑與三角形面積的關系：S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為△ABC內切圓半徑)，并可由此計算r．【題型突破】1．(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝eq\f(2π,3)．(1)求B的大小；(2)在三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求BC邊上的中線的長度．①c＝eq\r(2)b；②周長為4＋2eq\r(3)；③面積為S△ABC＝eq\f(3\r(3),4)．2．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA)．(1)求角C；(2)若c＝2eq\r(10)，D為BC的中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度．條件①：△ABC的面積S＝4且B>A，條件②：cosB＝eq\f(2\r(5),5)．3．已知函數f(x)＝sin2x－cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝eq\f(1,7)，求△ABC中線AD的長．4．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc．(1)求角A的大??；(2)若a＝eq\r(3)，求BC邊上的中線AM的最大值．5．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc．(1)求角A的大??；(2)若a＝eq\r(3)，求BC邊上的中線AM的最大值．6．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0．(1)求A；(2)若AD為BC邊上的中線，cosB＝eq\f(1,7)，AD＝eq\f(\r(129),2)，求△ABC的面積．7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC邊上的中線AM的長為eq\r(7)．(1)求角A和角B的大??；(2)求△ABC的面積．8．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinC＋asinA＝bsinB＋csinC．(1)求A；(2)設D是線段BC的中點，若c＝2，AD＝eq\r(13)，求a．9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n．(1)求角B的大??；(2)設BC的中點為D，且AD＝eq\r(3)，求a＋2c的最大值及此時△ABC的面積．10．(2015·全國Ⅱ)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長．11．如圖，在平面四邊形ABCD中，AC與BD為其對角線，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－eq\f(3,5)．(1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的長；(2)若∠CBD＝45°，求CD的長．12．已知f(x)＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))cosx－3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))．(1)求f(x)的最大值、最小值；(2)CD為△ABC的內角平分線，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，CD＝2eq\r(2)，求C．13．已知函數f(x)＝eq\r(3)sin(2018π－x)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))－cos2x＋1．(1)求函數f(x)的遞增區(qū)間；(2)若△ABC的角A，B，C所對的邊為a，b，c，角A的平分線交BC于D，f(A)＝eq\f(3,2)，AD＝eq\r(2)BD＝2，求cosC．14．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7)．(1)求∠A；(2)求AC邊上的高．15．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝eq\r(6)，B＝eq\f(5π,6)，求sinA；(2)若λ＝4，AB邊上的高為eq\f(\r(3)c,6)，求C．16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2a＋b)cosC＋ccosB＝0．(1)求角C；(2)若△ABC的面積S＝8eq\r(3)，其外接圓的半徑R＝eq\f(4\r(21),3)，求△ABC的周長．17．已知△ABC內接于半徑為R的圓，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．(1)求A；(2)若AD是BC邊上的中線，AD＝eq\f(\r(19),2)，求△ABC的面積．18．已知△ABC的內角A，B，C滿足：eq\f(sinA－sinB＋sinC,sinC)＝eq\f(sinB,sinA＋sinB－sinC)．(1)求角A；(2)若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值．19．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且a，b，c成等比數列．(1)