直線與圓的位置關(guān)系(第四課時)　教學(xué)設(shè)計- 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章直線與圓的方程

課題2.5.1直線與圓的位置關(guān)系(第四課時)教材分析本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系。學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過直線與圓的位置關(guān)系，本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程、點到直線的距離公式、點與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，因此本節(jié)課是對已學(xué)內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標(biāo)系，把點和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。課程目標(biāo)利用直線和圓的位置關(guān)系解決一些簡單的最值問題B.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象：直線與圓的位置關(guān)系2.邏輯推理：利于直線與圓的位置關(guān)系解題3.數(shù)學(xué)運算：直線和圓的方程解決實際問題教學(xué)重難點重點：利用直線和圓的位置關(guān)系解決一些簡單的最值問題，能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題難點：利用直線和圓的位置關(guān)系解決一些簡單的最值問題，能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)環(huán)節(jié)時間安排教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖批注2min35min3min一、復(fù)習(xí)回顧，情景導(dǎo)入1.直線和圓的位置關(guān)系有哪些？答案：相交、相切、相離2.判斷直線和圓的位置關(guān)系的方法是什么？答案：幾何法，即畫出直線和圓的圖像，從圖形中判斷出直線和圓的位置關(guān)系.3.判斷直線和圓相切有哪些方法？答案：若給出圖形,可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷，若公共點只有一個，則相切;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計算量小,代數(shù)法可一同求出交點.解題時可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.4.求圓上一點到直線的最大值或最小值問題答案：先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再求出圓心到直線的距離d（1）當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離是d+r，最小距離是0；（2）當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離是2r，最小距離是0；（3）當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離是d+r，最小距離是d-r.二、探索新知探究一、求最值的計算方法有哪些？答案：最值的計算方法有兩類（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：建立函數(shù)表達式，利用函數(shù)求最值.思考：1.已知兩個定點A,B,圓上一個動點C，求S?答案：此類題可轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線的距離的最值問題，再利用三角形的面積公式得到所求2.恒過定點的直線被圓截得的弦長中，求最短的弦長，怎么求？答案：恒過定點的直線被圓截得的弦長中最短的弦長是與過定點和圓心的直線垂直的直線與圓截得的弦長最短3.解決實際問題的方法有哪些？答案：比較綜合法和坐標(biāo)法4.用坐標(biāo)法解決幾何問題時，步驟是什么？答案：用坐標(biāo)法解決幾何問題時，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論.這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.三、學(xué)以致用題型一、已知兩個定點A,B,圓上一個動點C，求S?例1.已知點，若點C是圓上的動點，則面積的最小值為()A．3 B．2 C． D．【詳解】由題意，易知直線的方程為，且,∵圓可化為，∴圓心為，半徑為1，又∵圓心到直線的距離，∵的面積最小時，點C到直線的距離最短，該最短距離即圓心到直線的距離減去圓的半徑，故面積的最小值為.故選：D.變式訓(xùn)練：直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的最大值為（） B． C． D．【詳解】由直線分別與軸，軸交于兩點，可得，，所以，由可化為，所以圓心為，半徑，因為點在圓上，所以點到直線的最大距離為圓心到的距離加上半徑，即，所以面積的最大值為.故選：B變式訓(xùn)練：直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（） B．C． D．【詳解】解：直線分別與軸，軸交于，兩點，令，得，令，得，，，點到直線的距離為的高，圓的圓心為，半徑為，∴圓心到直線的距離為：所以點到直線的距離的最大值為，最小值為則面積為，最大值為，最小值為，所以面積的取值范圍為.題型二、恒過定點的直線被圓截得的弦長中，求最短的弦長例2.直線被圓C：所截得的最短弦長為______．【詳解】由題意，圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，可得截得弦長為，當(dāng)時，弦長取得最小值，最小值為.故答案為：.變式訓(xùn)練：直線被圓截得的弦長最小值是___________.【詳解】因為直線經(jīng)過定點，定點在圓內(nèi)，所以圓心到直線的最大距離為，所以，所求弦長的最小值為故答案為：題型三、利用直線和圓的位置關(guān)系解決實際問題例3.如圖，一座圓弧形拱橋，當(dāng)水面在如圖所示的位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，求水面的寬度.【詳解】如圖所示，以圓弧形拱橋的頂點為原點，以過圓弧形拱橋的頂點的水平切線為x軸，以過圓弧形拱橋的頂點的豎直直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知可得A(6，－2)，設(shè)圓的半徑長為r，則C(0，－r)，即圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2.將點A的坐標(biāo)代入上述方程可得r＝10，所以圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100，當(dāng)水面下降1米后，水面弦的端點為A′，B′，可設(shè)A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面寬度|A′B′|＝米.變式訓(xùn)練：某風(fēng)暴中心位于某海礁處，距離風(fēng)暴中心正西方向的處有一艘輪船，正以北偏東（為銳角）角方向航行，速度.已知距離風(fēng)暴中心以內(nèi)的水域受其影響.（1）若輪船不被風(fēng)暴影響，求角的正切值的最大值？（2）若輪船航行方向為北偏東，求輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)多少時間？【詳解】（1）設(shè)圓為以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的圓，由題意，要使輪船不被風(fēng)暴影響，當(dāng)航行路線正好與圓相切時，角最大，由，，∴，.（2）航行路線所在直線方程為，圓心到直線的距離為，∴該直線與圓相交的弦長為150，即輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)時間為.變式訓(xùn)練：截止2021年9月13日08時，第14號臺風(fēng)位于距離浙江省象山縣正東方向約160公里的位置，中心附近最大風(fēng)力14級，中心最低氣壓950百帕.預(yù)計，臺風(fēng)燦都將以每小時20公里的速度向北偏西方向移動，臺風(fēng)影響范圍為100公里.那么，象山縣是否會受到臺風(fēng)的影響?如果受到影響，幾時會受到影響，持續(xù)多長時間?【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，以象山縣為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程為，，設(shè)臺風(fēng)移動的直線與圓交于、兩點，過點作于點，則為的中點，則圓心到直線的距離，所以象山縣會受到影響.且，所以受影響的時間為小時，，所以在小時后，即從時開始受到影響，受影響時間為個小時.小結(jié)今天學(xué)習(xí)了什么？五、作業(yè)課本95頁練習(xí)1.2.3學(xué)生思考，獨立完成，給出答案師生共同完成整理筆記師生共同完成學(xué)生獨立完成師生共同完成學(xué)生獨立完成師生共同完成學(xué)生獨立完成學(xué)生小結(jié)復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容為本節(jié)課服務(wù)引導(dǎo)學(xué)生思考，總結(jié)，從而自然引出方法，得到結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，數(shù)形結(jié)合能力通過例題，進一步鞏固已知兩個定點A,B,圓上一個動點C，求S?ABC的最小值通過練習(xí)讓學(xué)生熟練已知兩個定點A,B,圓上一個動點C，求S?ABC的最小值通過例題讓學(xué)生理解恒過定點的直線被圓截得的弦長中，求最短的弦長的方法通過練習(xí)讓學(xué)生理解恒過定點的直線被圓截得的弦長中，求最短的弦