數(shù)學模型與數(shù)學建模

關(guān)于數(shù)學模型與數(shù)學建模第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日21.什么是數(shù)學模型？數(shù)學模型數(shù)學模型第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日3自然離不開數(shù)學1、圓形蜘蛛網(wǎng)是一個簡單漂亮的數(shù)學創(chuàng)造2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工時”巴黎科學院院士、瑞士數(shù)學家克尼格

3、在礦物結(jié)構(gòu)中，可以找到許多更為奇妙的空間圖形第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日4問題/應用來自數(shù)學的貢獻核磁共振成像技術(shù)(MRI)計算機輔助成像(CAT)積分幾何空中交通管制控制論期權(quán)定價Black-Scholes期權(quán)模型和MonteCarlo模擬全局勘察、信號處理、圖象處理、數(shù)據(jù)采掘應急用儲備物資的管理運籌學、最優(yōu)化理論復雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性邏輯、計算機科學、組合學機密和完整性數(shù)論、密碼學/組合學大氣和海洋的建模小波、統(tǒng)計學、數(shù)值分析敏捷制造、自動制造、可視化、機器人過程質(zhì)量控制中的幾何學、控制論設(shè)計和訓練模擬、建模、離散數(shù)學人類基因組分析數(shù)據(jù)采掘、模式識別、算法合理的藥物設(shè)計數(shù)據(jù)采掘、組合學、統(tǒng)計學Seiberg-Witten方程(弦論)幾何學宇宙數(shù)據(jù)的解釋數(shù)據(jù)采掘、建模、奇點理論復合材料的設(shè)計系統(tǒng)控制論、計算、偏微分方程地震的分析和預測過程控制中的統(tǒng)計學動力系統(tǒng)/湍流建模社會離不開數(shù)學第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日5

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學作為語言工具?！麛?shù)學家

華羅庚任何應用問題，一旦建立起了數(shù)學的模型，就會立即顯現(xiàn)出解決問題的清晰途徑和通向勝利的一線曙光。馬克思教導我們：一門學科只有成功地運用數(shù)學時，才算達到了完善的地步！第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日6玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型我們常見的模型第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日7玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型我們常見的模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日8玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物，集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日9模型物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型物理模型思維模型符號模型數(shù)學模型模型的分類第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日10

“1”是最簡單的數(shù)學模型。

那些我們所熟知的數(shù)學模型

設(shè)水池的總?cè)萘繛?。兩臺抽水機同時工作所需要時間為

例

兩臺不同功率的抽水機向一個大水池中注水。如果第一臺抽水機單獨工作，4小時可以將水池注滿；如果第二臺抽水機單獨工作，6小時可以將水池注滿?，F(xiàn)在由兩臺抽水機同時工作，需要多長時間注滿水池？（小時）

第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日11弧度制是對角大小的另一種度量方式，弧度制的基本原理與平面相似形有關(guān)。1扇形相似于扇形

因此，可以用扇形弧長與半徑之比來確定圓心角。

比如，當扇形的弧長與半徑之比為時，對應的圓心角是直角；時，對應的圓心角是平角（扇形剛好是半圓）.

當扇形的弧長與半徑之比為弧度制的主要特點是只用數(shù)就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量綱（名數(shù)）。引入角的弧度制實際上是數(shù)學建模的過程，這種數(shù)學模型恰是關(guān)于幾何圖形的數(shù)學模型。第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日12方程是表現(xiàn)等量關(guān)系的數(shù)學模型

那些我們所熟知的數(shù)學模型例一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬馱倆，馬仔倆馱一塊。問大馬、小馬、馬仔各幾何。解設(shè)大馬，小馬，馬仔分別為匹，應有分別消去和可得這是一個不完全方程組的求整數(shù)解問題——丟番圖問題。第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日13“點”、“面”、“線”——抽象化的數(shù)學模型那些我們所熟知的數(shù)學模型1726年，瑞士數(shù)學家歐拉（1701－1783）受聘于沙俄科學院，后來出任數(shù)學部主任。1736年秋天，歐拉收到來自東普魯士首都哥尼斯堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學的學生在來信中向他請教的是下面一個問題。布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個小島，七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚前后，學生們?nèi)齼蓛傻厣⒉接谛u上與河岸邊。

有人突發(fā)奇想，能不能在一個晚上走遍這七座橋而每座橋又都只通過一次呢？哥尼斯堡七橋問題第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日14店主橋鐵匠橋木橋綠橋“饞嘴”吉布萊茨橋高橋蜜橋內(nèi)福夫島普雷蓋爾河新河道舊河道哥尼斯堡是條頓騎士在1380年建立的，作為日耳曼勢力最東端的前哨達四百年之久。第二次世界大戰(zhàn)以后，他被更名為加里寧格勒，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間，加里寧格勒現(xiàn)仍屬俄羅斯。第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日15CDBA作為一筆畫過程，應該只有一個起點和一個終點，并且起點和終點應該是奇節(jié)點，而其它點都是通過點，并只能是偶節(jié)點．歐拉在草紙上勾畫出示意圖。在他看來，問題是否有可行的方案，與島、半島的大小無關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的長度無關(guān)。因而不妨將半島、兩側(cè)河岸和小島都縮為一點，將各個小橋代之以線?，F(xiàn)在的問題是，能否用一只鉛筆從“結(jié)點”A、B、C、D之中的某一點開始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而不出現(xiàn)線路重復呢？類似這樣的問題，后來被統(tǒng)稱為“一筆畫”問題。圖中四個節(jié)點A、B、C、D都是奇節(jié)點。所以，這是一個不可行的一筆畫問題。第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日16什么是數(shù)學模型、數(shù)學建模一般地說，數(shù)學模型可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學模型數(shù)學建模建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日17數(shù)學模型的分類分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型模型等建模中所用的數(shù)學方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟模型、基因模型等第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日182.如何數(shù)學建模？第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日19你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日20航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出必要的簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）；

驗證上述結(jié)果（用實際現(xiàn)象進行驗證）。第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日21幾個數(shù)學建模示例第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日22例1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，任何方向都不會出現(xiàn)間斷，即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日23

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來模型構(gòu)成第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日24用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日25模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日26

數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日27模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)抓本質(zhì)，在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學的語言、符號描述問題內(nèi)在規(guī)律發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具

數(shù)學建模的一般步驟第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日28模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用

數(shù)學建模的一般步驟第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日29例2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日30模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日31模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策D~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}D={(u

,v)u+v=1,2}適當?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效解決此類問題的方法。第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日32數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日33思考與練習第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日

交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)——亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。

馬路的寬度D是容易測得的，問題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應當將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內(nèi)駛過的路程，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間t1早有測算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來（留作習題）。黃燈究竟應當亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計算出L應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，即T至少應當達到（L+D）/v。

DL第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日練習

我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應如何追趕潛水艇。顯然，這是一個對策問題，較為復雜。僅討論以下簡單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追趕方案的設(shè)計）設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為r=r(θ)，見圖1。BAA1drdsdθθ圖1第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日363.為什么數(shù)學建模？第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日37隨著科學技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學模型這個詞匯越來越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動中。例如：電氣工程師必須建立一個用于控制生產(chǎn)過程的數(shù)學模型，通過它的精確設(shè)計和計算來實現(xiàn)有效的過程控制；氣象工作者為得到準確的天氣預報，需要依賴于根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風速等資料建立的數(shù)學模型；生理醫(yī)學家通過構(gòu)建藥物濃度在人體內(nèi)隨時間和空間變化的數(shù)學模型，可以分析藥物的療效，有效地指導臨床用藥；城市規(guī)劃者需要建立一個包括人口、經(jīng)濟、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學模型，為領(lǐng)導