2018-2019學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)選修1-2同步學(xué)案：第一章 1.1 回歸分析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1回歸分析1.1回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會建立線性回歸模型分析兩個變量間的相關(guān)關(guān)系.2。掌握建立線性回歸模型的步驟．知識點(diǎn)線性回歸方程思考(1）什么叫回歸分析？(2）回歸分析中，利用線性回歸方程求出的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎?答案（1）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種方法．（2）不一定是真實(shí)值，利用線性回歸方程求的值，在很多時候是個預(yù)報值，例如,人的體重與身高存在一定的線性關(guān)系，但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響，如飲食、是否喜歡運(yùn)動等．梳理（1)平均值的符號表示假設(shè)樣本點(diǎn)為（x1,y1)，（x2，y2),…,（xn,yn），在統(tǒng)計上，用eq\x\to(x)表示一組數(shù)據(jù)x1,x2,…，xn的平均值，即eq\x\to(x）＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn，n)＝eq\f（1，n）eq\i\su(i＝1,n，x)i；用eq\x\to(y）表示一組數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均值，即eq\x\to(y）＝eq\f（y1＋y2＋…＋yn,n）＝eq\f(1，n)eq\i\su(i＝1,n，y)i.(2）參數(shù)a,b的求法b＝eq\f（lxy,lxx）＝eq\f（\i\su(i＝1，n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to（y),\i\su（i＝1,n，)xi－\x\to(x)2）＝eq\f（\i\su（i＝1,n,x）iyi－n\x\to（x)\x\to（y)，\i\su（i＝1，n，x)\o\al（2,i)－n\x\to（x)2）,a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x).（3)樣本點(diǎn)的中心（eq\x\to（x)，eq\x\to(y)），回歸直線過樣本點(diǎn)的中心．1．現(xiàn)實(shí)生活中的兩個變量要么是函數(shù)關(guān)系，要么是相關(guān)關(guān)系．(×)2．散點(diǎn)圖能準(zhǔn)確判定兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系．(×)3．回歸直線不一定過樣本中的點(diǎn)，但一定過樣本點(diǎn)的中心．(√)類型一概念的理解和判斷例1有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示;③通過回歸方程y＝bx＋a可以估計觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗．其中正確命題的個數(shù)是(）A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案C解析①反映的正是最小二乘法思想，正確;②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，正確;③反映的是回歸方程y＝bx＋a的作用,正確;④不正確，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1下列變量關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（）①學(xué)生的學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系;②某家庭的收入與支出之間的關(guān)系；③學(xué)生的身高與視力之間的關(guān)系;④球的體積與半徑之間的關(guān)系．A．①② B．①③C．②③ D．②④考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案A解析對①,學(xué)習(xí)時間影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，但是學(xué)生學(xué)習(xí)的刻苦程度、學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、教師的授課水平等其他因素也影響學(xué)生的成績,因此學(xué)生的學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績之間具有相關(guān)關(guān)系；對②,家庭收入影響支出，但支出除受收入影響外，還受其他因素影響，故它們是相關(guān)關(guān)系；對③，身高與視力之間互不影響,沒有任何關(guān)系；對④,球的體積由半徑?jīng)Q定,是一種確定性關(guān)系，故它們是函數(shù)關(guān)系．類型二回歸分析eq\x(命題角度1求線性回歸方程）例2某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a;(3）試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（相關(guān)公式:b＝\f(\i\su(i＝1,n，x)iyi－n\x\to（x)\x\to(y），\i\su（i＝1，n，x)\o\al(2,i)－n\x\to(x）2），a＝\x\to（y)－b\x\to(x)））考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)如圖：（2)eq\i\su（i＝1,4，x）iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x）＝eq\f（6＋8＋10＋12，4）＝9，eq\x\to（y)＝eq\f（2＋3＋5＋6,4）＝4,eq\i\su（i＝1，4,x）eq\o\al(2，i)＝62＋82＋102＋122＝344,b＝eq\f(158－4×9×4，344－4×92）＝eq\f(14，20）＝0.7，a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x)＝4－0。7×9＝－2。3，故線性回歸方程為y＝0.7x－2.3。(3）由(2）中線性回歸方程可知，當(dāng)x＝9時,y＝0。7×9－2.3＝4,預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4。反思與感悟(1）求線性回歸方程的基本步驟①列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系．②計算：eq\x\to（x)，eq\x\to（y)，eq\i\su（i＝1,n，x)eq\o\al（2，i)，eq\i\su（i＝1，n，y）eq\o\al(2,i），eq\i\su（i＝1，n，x）iyi.③代入公式求出y＝bx＋a中參數(shù)b,a的值．④寫出線性回歸方程并對實(shí)際問題作出估計．（2）需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無意義．跟蹤訓(xùn)練2已知某地區(qū)4～10歲女孩各自的平均身高數(shù)據(jù)如下：年齡x/歲45678910身高y/cm100106112116121124130求y對x的線性回歸方程．(保留兩位小數(shù)）考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解制表i1234567xi45678910yi100106112116121124130xiyi40053067281296811161300eq\x\to（x）＝7,eq\x\to（y）＝eq\f(809，7），eq\i\su（i＝1，7,x）eq\o\al（2，i）＝371,eq\i\su(i＝1，7,x）iyi＝5798b＝eq\f（\i\su（i＝1,7，x)iyi－7\x\to(x）\x\to（y),\i\su(i＝1，7，x）\o\al(2，i)－7\x\to(x）2）＝eq\f(5798－7×7×\f(809,7)，371－7×72）≈4.82，a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x）＝eq\f（809,7)－4.82×7≈81.83.所以線性回歸方程為y＝81.83＋4.82x.eq\x(命題角度2線性回歸分析與回歸模型構(gòu)建）例3某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù)）（元）與日銷售量y（臺)之間有如下關(guān)系:x35404550y56412811(1)畫出散點(diǎn)圖,并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)求日銷售量y對銷售單價x的線性回歸方程；(3）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)（2）寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并預(yù)測當(dāng)銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線方程的應(yīng)用解（1）散點(diǎn)圖如圖所示,從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關(guān)．(2)因為eq\x\to(x）＝eq\f(1,4）×(35＋40＋45＋50)＝42.5，eq\x\to(y）＝eq\f（1,4)×（56＋41＋28＋11)＝34.eq\i\su(i＝1,4，x）iyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5410.eq\i\su（i＝1，4，x）eq\o\al(2，i)＝352＋402＋452＋502＝7350.所以b＝eq\f(\i\su（i＝1,4，x)iyi－4\x\to（x）\x\to（y）,\i\su（i＝1，4,x)\o\al（2，i)－4\x\to（x)2)＝eq\f(5410－4×42。5×34,7350－4×42。52）＝eq\f(－370，125)≈－3.a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）＝34－(－3）×42.5＝161。5。所以線性回歸方程為y＝161.5－3x。(3)依題意，有P＝（161.5－3x)（x－30）＝－3x2＋251.5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（251.5,6）)）2＋eq\f（251。52，12)－4845。所以當(dāng)x＝eq\f（251。5，6)≈42時,P有最大值,約為426元．即預(yù)測當(dāng)銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤．反思與感悟解答線性回歸題目的關(guān)鍵是首先通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求線性回歸方程的公式求解線性回歸方程，在此基礎(chǔ)上，借助線性回歸方程對實(shí)際問題進(jìn)行分析．跟蹤訓(xùn)練3一臺機(jī)器由于使用時間較長，生產(chǎn)的零件有一些會缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時生產(chǎn)缺損零件數(shù)y（件）11985（1)作出散點(diǎn)圖;（2)如果y與x線性相關(guān),求出線性回歸方程；（3)若在實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個，那么，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍？考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線方程的應(yīng)用解(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖．(2)設(shè)線性回歸方程為：y＝bx＋a，并列表如下:i1234xi1614128yi11985xiyi1761269640eq\x\to(x）＝12。5，eq\x\to（y）＝8.25,eq\i\su(i＝1，4，x)eq\o\al（2,i)＝660，eq\i\su(i＝1,4,x）iyi＝438，所以b＝eq\f（438－4×12。5×8。25,660－4×12.52）≈0.73，a＝8。25－0.73×12。5＝－0。875，所以y＝0。73x－0。875.（3）令0。73x－0.875≤10，解得x〈14.9≈15，故機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒內(nèi).1．某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負(fù)相關(guān)，則其線性回歸方程可能是(）A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案A解析因為y與x負(fù)相關(guān)，所以排除B，D，又因為C項中x>0時,y<0不合題意，所以C錯．2．如圖四個散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是()A．①②B．①③C．②③D．③④考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案B解析由圖易知①③兩個圖中樣本點(diǎn)在一條直線附近,因此適合用線性回歸模型．3．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù),則y關(guān)于x的回歸直線必過點(diǎn)（）x1234y1357A。(2,3) B．（1.5,4）C．（2。5,4） D．(2.5，5)考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用答案C解析回歸直線必過樣本點(diǎn)中心(eq\x\to（x),eq\x\to(y))，即(2。5，4）．4．面對競爭日益激烈的消費(fèi)市場,眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷售市場，以降低生產(chǎn)成本．某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量x(單位:千箱)與單位成本y（單位:元）的資料進(jìn)行線性回歸分析,結(jié)果如下：eq\x\to（x)＝eq\f（7,2)，eq\x\to(y）＝71，eq\i\su（i＝1,6，x)eq\o\al(2,i）＝79，eq\i\su(i＝1,6，x）iyi＝1481，則銷量每增加1000箱,單位成本下降________元．考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案1.8182解析由題意知，b＝eq\f(1481－6×\f(7,2)×71,79－6×\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(7,2)))2）≈－1.8182，a＝71－(－1.8182）×eq\f(7,2)≈77。36,∴y關(guān)與x的線性回歸方程為y＝－1。8182x＋77。36,即銷量每增加1千箱,單位成本下降1。8182元．5．已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計算：eq\x\to（x)，eq\x\to（y），x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，xeq\o\al(2，1)＋xeq\o\al（2，2）＋xeq\o\al(2,3）＋xeq\o\al(2,4）；（2)已知變量x與y線性相關(guān),求出線性回歸方程．考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解（1）eq\x\to（x）＝eq\f（0＋1＋2＋3,4）＝1。5，eq\x\to（y）＝eq\f(1＋3＋5＋7,4）＝4，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，xeq\o\al（2，1)＋xeq\o\al(2,2）＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al（2,4)＝02＋12＋22＋32＝14。(2)b＝eq\f（34－4×1。5×4，14－4×1。52）＝2，a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x)＝4－2×1。5＝1，故線性回歸方程為y＝2x＋1.回歸分析的步驟(1)確定研究對象，明確哪個變量是自變量,哪個變量是因變量．（2）畫出確定好的因變量關(guān)于自變量的散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等）．（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝bx＋a）．(4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)．一、選擇題1．對變量x，y由觀測數(shù)據(jù)(xi，yi）(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖（1)；對變量u，v由觀測數(shù)據(jù)(ui，vi）（i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖（2），由這兩個散點(diǎn)圖可以判斷（）A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案C解析由題圖(1）可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢，x與y負(fù)相關(guān)；由題圖（2）可知,各點(diǎn)整體呈遞增趨勢,u與v正相關(guān)．2．某醫(yī)學(xué)科研所對人體脂肪含量與年齡這兩個變量研究得到一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，運(yùn)用Excel軟件計算得y＝0.577x－0.448(x為人的年齡，y為人體脂肪含量)．對年齡為37歲的人來說,下面說法正確的是(）A．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量為20。90%B．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量約為21。01%C．年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90％D．年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為31.5％考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案C解析當(dāng)x＝37時，y＝0.577×37－0.448＝20。901≈20。90，由此估計，年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90％。3．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是（)A．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案A解析由正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義知A正確．4．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：x（月份）12345y（萬盒)55668若x,y線性相關(guān)，線性回歸方程為y＝0。7x＋a,估計該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量約為（)A．8.0萬盒B．8.1萬盒C．8.9萬盒D．8。6萬盒考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案B5．工人月工資y(單位：元)關(guān)于勞動生產(chǎn)率x(單位:千元）的回歸方程為y＝650＋80x，下列說法中正確的個數(shù)是（）①勞動生產(chǎn)率為1000元時,工資約為730元；②勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高80元;③勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高730元；④當(dāng)月工資為810元時，勞動生產(chǎn)率約為2000元．A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案C解析代入方程計算可判斷①②④正確．6．某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y,而要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)取了8對觀測值，計算得eq\i\su(i＝1,8，x)i＝52，eq\i\su(i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su（i＝1,8，x）eq\o\al（2,i）＝478，eq\i\su（i＝1，8,x）iyi＝1849，則y與x的線性回歸方程是（）A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11。47＋2。62xC．y＝2.62＋11。47x D．y＝11。47－2。62x考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程答案A解析由題中數(shù)據(jù)，得eq\x\to(x)＝6。5,eq\x\to（y）＝28.5,∴b＝eq\f（\i\su(i＝1，8，x）iyi－8\x\to(x）\x\to（y），\i\su(i＝1,8，x）\o\al(2,i)－8\x\to（x)2)＝eq\f(1849－8×6.5×28。5，478－8×6。52)＝eq\f（367,140)≈2。62，a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）≈28.5－2.62×6。5＝11.47，∴y對x的線性回歸方程是y＝2.62x＋11。47，故選A.7．為研究變量x和y的線性相關(guān)性，甲、乙二人分別作了研究,利用線性回歸方法得到回歸直線l1和l2，兩人計算知eq\x\to（x)相同，eq\x\to（y)也相同，下列正確的是（)A．l1與l2一定重合B．l1與l2一定平行C．l1與l2相交于點(diǎn)（eq\x\to(x），eq\x\to(y）)D．無法判斷l(xiāng)1和l2是否相交考點(diǎn)回歸直線方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用答案C解析因為兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是eq\x\to(x）,對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是eq\x\to（y)，所以兩組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心都是（eq\x\to(x）,eq\x\to（y）)，因為回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，所以l1和l2都過(eq\x\to（x），eq\x\to(y))．二、填空題8．某校小賣部為了了解奶茶銷售量y（杯）與氣溫x(℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某4天賣出的奶茶杯數(shù)與當(dāng)天的氣溫，得到下表中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法建立了線性回歸方程y＝－2x＋60,則樣本數(shù)據(jù)中污損的數(shù)據(jù)y0應(yīng)為________。氣溫x（℃)－1131018杯數(shù)yy0343824考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案64解析由表中數(shù)據(jù)易知eq\x\to（x)＝10，代入y＝－2x＋60中，得y＝40。由eq\f（y0＋34＋38＋24，4）＝40，得y0＝64.9．調(diào)查某移動公司的三名推銷員，其工作年限與年推銷金額的數(shù)據(jù)如下表所示。推銷員編號123工作年限x(年)3510年推銷金額y（萬元)234由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y＝bx＋a中的b＝eq\f（7,26）。若該公司第四名推銷員的工作年限為6年，則估計他的年推銷金額約為________萬元．考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案3解析eq\x\to(x)＝6,eq\x\to(y）＝3，由回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)中心可知，該推銷員年推銷金額約為3萬元．10．某人對一地區(qū)人均工資x(千元）與該地區(qū)人均消費(fèi)y(千元)進(jìn)行統(tǒng)計調(diào)查,發(fā)現(xiàn)y與x有相關(guān)關(guān)系，并得到線性回歸方程y＝0.66x＋1.562.若該地區(qū)的人均消費(fèi)水平為7。675千元，則估計該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為________．（精確到0.1％）考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案82.9％解析當(dāng)y＝7。675時，x≈9.262，所以該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為eq\f（7。675，9.262)×100%≈82。9%。11．某數(shù)學(xué)老師身高為176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm，170cm和182cm。因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為________cm.考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案183。5解析記從爺爺起向下各代依次為1，2，3,4，5，用變量x表示,其中5代表孫子．各代人的身高為變量y，則有x1234y173170176182計算知eq\x\to(x）＝2。5，eq\x\to(y)＝175.25。由回歸系數(shù)公式得b＝3.3，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x）＝175.25－3。3×2.5＝167，∴線性回歸方程為y＝3。3x＋167，當(dāng)x＝5時,y＝3.3×5＋167＝183。5，故預(yù)測其孫子的身高為183。5cm.三、解答題12．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\i\su(i＝1,10，x)i＝80,eq\i\su(i＝1，10，y)i＝20，eq\i\su（i＝1，10，x）iyi＝184,eq\i\su（i＝1，10,x）eq\o\al（2，i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a;（2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．附：b＝eq\f（\i\su(i＝1,n，x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y)，\i\su(i＝1，n，x)\o\al(2,i)－n\x\to（x)2）,a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x).考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用解（1)由題意，n＝10,eq\i\su(i＝1,10,x）i＝80,eq\i\su(i＝1,10，y）i＝20，∴eq\x\to(x)＝eq\f（80,10)＝8，eq\x\to（y)＝eq\f(20，10)＝2.又eq\i\su(i＝1,10，x）eq\o\al（2，i）－10eq\x\to（x)2＝720－10×82＝80，eq\i\su(i＝1，10,x）iyi－10eq\x\to(x）eq\x\to（y）＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(\i\su(i＝1，10，x）iyi－10\x\to(x）\x\to（y),\i\su(i＝1,10,x）\o\al(2，i)－10\x\to（x)2）＝eq\f(24，80）＝0。3，a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x)＝2－0.3×8＝－0.4，故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4。（2）由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3＞0），故x與y之間是正相關(guān)．（3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄約為y＝0。3×7－0。4＝1。7（千元)．13．隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y（千億元）567810(1）求y關(guān)于t的回歸方程y＝bt＋a；（2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2019年（t＝10)的人民幣儲蓄存款．附:回歸方程y＝bt＋a中,b＝eq\f（\i\su（i＝1,n，t）iyi－n\x\to（t）\x\to（y），\i\su(i＝1，n，t)\o\al(2,i）－n\x\to（t）2),a＝eq\x\to(y）－beq