隨機(jī)振動及試驗(yàn)技術(shù)(第一講)-概率、數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識

隨機(jī)振動及試驗(yàn)技術(shù)授課教師：艾延廷

動力與能源工程學(xué)院2023/1/111課程簡介第一篇

有關(guān)基本知識(6學(xué)時)

第1章緒論(2學(xué)時)

第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用(2學(xué)時)第3章隨機(jī)過程及其各域信息(2學(xué)時)第二篇

隨機(jī)振動的理論與應(yīng)用(12學(xué)時)

第4章隨機(jī)振動響應(yīng)各域信息的計(jì)算公式(3學(xué)時)

第5章單自由度線性系統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)振動(2學(xué)時)

第6章多自由度線性系統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)振動(3學(xué)時)

第7章彈性體的隨機(jī)振動(4學(xué)時)第三篇隨機(jī)振動實(shí)驗(yàn)技術(shù)(共18學(xué)時)

第8章數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(3學(xué)時)

第9章隨機(jī)振動統(tǒng)計(jì)參量的數(shù)字式分析(3學(xué)時)

第10章隨機(jī)振動實(shí)驗(yàn)與控制技術(shù)(4學(xué)時)

第11章機(jī)械阻抗的隨機(jī)振動測試技術(shù)(3學(xué)時)第12章模態(tài)參數(shù)的隨機(jī)振動測試法(5學(xué)時)2023/1/112課程簡介主要參考書1.白化同，郭繼忠譯.模態(tài)分析理論與試驗(yàn)，北京理工大學(xué)出版社，2001年6月2.ClarenceW.deSilva，VibrationFundamentalsandPractice，CRCPressLLC，20003.莊表中，梁以德，張右啟.機(jī)構(gòu)隨機(jī)振動.國防工業(yè)出版社,19954.胡志強(qiáng)等.隨機(jī)振動試驗(yàn)應(yīng)用技術(shù).中國計(jì)量出版社,19965.戴詩亮.隨機(jī)振動實(shí)驗(yàn)技術(shù).清華大學(xué)出版社,19846.郭虹,艾延廷,盛元生.數(shù)據(jù)采集與處理.航空工業(yè)出版社,19992023/1/113第1章緒論

1.1隨機(jī)振動的特征振動的概念及舉例按數(shù)學(xué)性質(zhì)分類確定性振動：力與運(yùn)動量之間的關(guān)系和運(yùn)動規(guī)律能用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示隨機(jī)振動：用概率、統(tǒng)計(jì)方法描述2023/1/114第1章緒論

1.2隨機(jī)振動的發(fā)展概況不確定性問題（如賭博、產(chǎn)品檢驗(yàn)）→概率論隨機(jī)變量及其推廣的隨機(jī)過程理論→描述布朗運(yùn)動、處理信號中的噪聲→隨機(jī)過程在結(jié)構(gòu)、機(jī)械及電子系統(tǒng)中的應(yīng)用→隨機(jī)振動：理論、隨機(jī)振動引起的破壞、環(huán)境測量、結(jié)構(gòu)在隨機(jī)載荷下的響應(yīng)、隨機(jī)振動模擬試驗(yàn)等?！鶦ooleg提出FFT→信號分析儀及分析軟件。2023/1/115第1章緒論

1.3振動問題的模型1.3.1系統(tǒng)的力學(xué)模型彈性：線性彈簧、非線性彈簧阻尼：線性阻尼、非線性阻尼質(zhì)量：離散系統(tǒng)、連續(xù)參數(shù)系統(tǒng)1.3.2激勵的數(shù)學(xué)模型激勵－系統(tǒng)的外來擾動激勵類型：力、壓力、位移、速度、加速度及其組合2023/1/116第1章緒論

1.3.3響應(yīng)的類型響應(yīng)－系統(tǒng)對外界激勵的響應(yīng)響應(yīng)類型：力、壓力、位移、速度、加速度及其組合確定性響應(yīng)與隨機(jī)性響應(yīng)1.3.4激勵、系統(tǒng)、響應(yīng)間的關(guān)系響應(yīng)“預(yù)測”。如地震對結(jié)構(gòu)物的影響，風(fēng)對電視臺天線鐵塔的安全度及疲勞壽命估計(jì)激勵“測量”－源信號恢復(fù)系統(tǒng)“識別”－識別和估價系統(tǒng)的動態(tài)特性2023/1/117第1章緒論

1.3.5機(jī)－電模擬彈性k 阻尼c質(zhì)量m

電容c 電阻R電感L

2023/1/118第1章緒論

1.4系統(tǒng)動態(tài)特性的表示法1.4.1頻率響應(yīng)函數(shù)振動微分方程：

（1.3）當(dāng)輸入為

（1.4）

輸出 （1.5）

將（1.3）、（1.4）代入（1.5）中，得：2023/1/119第1章緒論

式中

固有頻率＝k/m對于m個輸入，n個輸出的系統(tǒng)有2023/1/1110第1章緒論

第r個輸入對第j個輸出的頻率響應(yīng)函數(shù)。優(yōu)點(diǎn)：頻域內(nèi)物理概念十分清楚可以看出系統(tǒng)會發(fā)生幾階共振理論結(jié)果可用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證2023/1/1111第1章緒論

1.4.2脈沖響應(yīng)函數(shù)線性時不變系統(tǒng)的時域內(nèi)的特性：（1）若輸入為

則輸出為若輸入為

則輸出為2023/1/1112第1章緒論

說明：輸入對系統(tǒng)作用引起的結(jié)果與輸入的起始時刻無關(guān)，只與輸入的起始時刻到給定觀察時刻之間的時間間隔有關(guān)，體現(xiàn)系統(tǒng)的時不變特性。（2）疊加特性若輸入為則響應(yīng)y(t)=h(t)稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)2023/1/1113第1章緒論（3）任意形狀的激勵可用一系列直方圖逼近

激勵為：數(shù)量等于1的脈沖，響應(yīng)

數(shù)量等于的脈沖響應(yīng)為：

總響應(yīng)為：

2023/1/1114第1章緒論

2023/1/1115第1章緒論例1.1已知：圖1.10，求：系統(tǒng)頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)解：設(shè)沖擊波對鋼柱繞O點(diǎn)的力矩為M(t)，則設(shè)，則

2023/1/1116第1章緒論脈沖響應(yīng)函數(shù)式中：

2023/1/1117第1章緒論例1.2 已知：，圖1.11（p8）求：系統(tǒng)頻率響應(yīng)矩陣解：設(shè)小車無質(zhì)量，即設(shè)，則2023/1/1118第1章緒論代入上式得：同理求出：故系統(tǒng)的頻響應(yīng)矩陣為：2023/1/1119第1章緒論1.4.3階躍響應(yīng)函數(shù)此時系統(tǒng)的響應(yīng)為階躍響應(yīng)函數(shù)：因時故2023/1/1120第1章緒論又因時，故若令則有作業(yè)：1.11.32023/1/1121第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

2.1隨機(jī)變量及概率分布函數(shù)隨機(jī)事件：可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象．隨機(jī)變量：離散型－

連續(xù)型－分布函數(shù)（累積分布函數(shù)）顯然X落在與之間的概率：圖2.1(2.1)(2.3)(2.2)(2.4)2023/1/1122

2.2 一維概率密度及其類型2.2.1一維概率密度函數(shù)的定義

為非負(fù)值。（2.5）式的分子用(2.4)式表示

(2.5)(2.6)此為概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對圖2.1求導(dǎo)可得圖2.2。圖2.2第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2023/1/1123

從（2.6）式有：對(2.7)式積分，得若（2.8）式積分的上下限超于無窮大，則

隨機(jī)變量X落在區(qū)間內(nèi)的概率為：見圖2.2中陰影部分面積。(2.10)(2.7)(2.8)(2.9)第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2023/1/1124

2.2.2

正弦波的概率密度函數(shù)用概率密度函數(shù)描述確定性波形的原因有三：（1）特例（2）初相位是隨機(jī)的（3）t是隨機(jī)的(2.11)(2.12)(2.13)第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用圖3.32023/1/1125

因此，在一個周期T內(nèi)，X(t)落在x到x＋dx之間的時間為2dt，兩者之比為上式即為X(t)落在x到x＋dx的概率。又由于(2.14)比較(2.14)與(2.15)，所以得(2.15)(2.16)第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2023/1/1126

將（2.16）式用曲線表示在圖2.4(a)上。正弦波的概率分布：(2.17)圖2.4（a），（b）第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2023/1/1127

2.2.3

正弦波的概率密度函數(shù)(2.18)(2.19)第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用圖3.52023/1/1128

(2.21)推出二維概率密度：是點(diǎn)落在無限小區(qū)域內(nèi)的概率（圖2.6）第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2.3多維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)2.3.1二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)(2.20)X、Y同時滿足不等式X<x和Y<y的概率稱聯(lián)合分布函數(shù)，即2023/1/1129

點(diǎn)落在xy平面某個區(qū)域B內(nèi)的概率密為(2.23)分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系為：由（2.23）式得(2.22)(2.24)第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用圖2.62023/1/1130第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2023/1/1131

2.3.2獨(dú)立的隨機(jī)變量(2.25)

若隨機(jī)變量X和Y滿足不等式和的事件是相關(guān)的，則稱X和Y為不獨(dú)立的隨機(jī)變量．

對（2.25）式兩邊分別微分，得或(2.26)

兩獨(dú)立隨機(jī)變量一定是不相關(guān)的，兩不相關(guān)的隨機(jī)變量不一定獨(dú)立。

對于獨(dú)立的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為：第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2023/1/1132

2.3.3多維隨機(jī)變量(2.27)推廣到多維隨機(jī)變量，有(2.28)(2.29)例3.2X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2023/1/1133

求：（a）a的值；（b）y＝1時，0<x<1的概率；（c）X，Y是否統(tǒng)計(jì)無關(guān)；（d）X，Y為隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，求此點(diǎn)落在圖2.7所示面積為1的正方形OABC外的概率；（e）概率分布函數(shù)P(x,y)

解：(a)因?yàn)?/p>

,則圖2.7(b)第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用2023/1/1134第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

(c)因此p(x,y)=p(x)*p(y)，即X、Y為不相關(guān)的兩隨機(jī)變量。

(d)(e)（其它）=2023/1/1135第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征

(2.30)2.4.1隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征算術(shù)平均值：

有時：（X的某些值重復(fù)了次）

式中：方差：(2.31)用代表統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。(2.32)(2.33)2023/1/1136第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

稱為統(tǒng)計(jì)相關(guān)矩，或稱為協(xié)方差。類似于2.31式有(2.34)在給定的N次試驗(yàn)中，對于兩個隨機(jī)變量X和Y，可以取(2.35)2023/1/1137第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

(2.35)2.4.2隨機(jī)變量的概率特征對離散隨機(jī)變量所有可能之與其概率積的和。

同樣可以得到方差的表達(dá)式：(2.36)2023/1/1138第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為：(2.40)或?qū)懗桑?2.38)相關(guān)矩

相關(guān)矩：(2.39)

式中：Pjr－Y與X取值yj和xr的概率。（2.40）式寫成：

(2.41)2023/1/1139第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

對連續(xù)型隨機(jī)變量：相關(guān)矩

(2.42)由于，（2.42）式改寫成：(2.43)P(x)—分布質(zhì)量，總質(zhì)量

E[X]—P(x)之質(zhì)量中心的坐標(biāo)。（2.42）式稱為一階矩。

n階矩(2.44)2023/1/1140第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

零階矩：(2.45)二階矩：(2.46)中心化的n階矩定義：(2.47)2023/1/1141第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

或?qū)憺椋?2.48)方差＝均方根－均值平方：偏態(tài)—p(x)對稱性峰度—p(x)頂峰凸起程度

兩隨機(jī)變量之相關(guān)矩(相關(guān)程度)：(2.51)(2.49)(2.50)2023/1/1142第2章概率和統(tǒng)計(jì)在振動力學(xué)中的應(yīng)用

(2.52)因X、Y獨(dú)立無關(guān)，有故（2-51）式寫為：＝

結(jié)論：兩個獨(dú)立變量的相關(guān)矩一定為0。兩個隨機(jī)變量的方差和相關(guān)矩