數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計(jì)軟件

第一章線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通、財(cái)貿(mào)工作等各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，必須提高經(jīng)濟(jì)效運(yùn)籌學(xué)有規(guī)劃論、排隊(duì)論、對(duì)策論等許多分支。線性規(guī)劃是其中的一個(gè)重要分支。早在20世紀(jì)30年代末就有人從等問題開始研究它。它在運(yùn)籌學(xué)中是研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用較廣、比較成一個(gè)分支。它研究的問主（一）問地調(diào)運(yùn)到各個(gè)銷地，調(diào)運(yùn)方案可以很多，應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，才能使總的運(yùn)費(fèi)或（二）（三）（四）（五）（包括運(yùn)費(fèi)、加工費(fèi)）（六）nn（一）問1A1A223271-1。問應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，才使總運(yùn)費(fèi)最低？1-銷地（工地（萬塊磚）銷量（萬塊解xijAiBj磚的數(shù)量（單位：萬塊（i=12j=1，2，31-1-AiB1B2B3AiBjA1A2Bjx11x12x13xx

x11x21約束條件

x13x23xx

0(i

jx11,x12,x13,x21,x22,x23的值，使其滿足約束條件，并使運(yùn)價(jià)函數(shù)s50x1160x1270x1360x21110x22mA1，A2，……，Amn個(gè)銷地1-…（噸…………銷量（噸…n

表中：aiAi的產(chǎn)量（i=1，2，…，mbjBj的銷量（j=1，2，…，n（i=12m； 解假定產(chǎn)銷平衡（即aibjxijAiBj jj=1，2，…，n；xx11x12 x1nxm1xm2xmn x x 0i1, ,m;j1, ,s=c11x11+c12x12+…+cmnxmn（Σ,, xijai(i1,j (產(chǎn)地Ai發(fā)到各銷地的發(fā)量總和等于Ai的產(chǎn)量,xijbj(j, (各產(chǎn)地發(fā)到銷地Bj的發(fā)量總和等于Bj的銷量,,m;j1, ,xij0i1,

scijj1

的值最?。傔\(yùn)費(fèi)最少 如果沒有產(chǎn)銷平衡這一限制，當(dāng)產(chǎn)大于銷時(shí)（即aibi ,, xijai(i1,j (產(chǎn)地Ai發(fā)到各銷地的發(fā)量總和不超過Ai的產(chǎn)量,xijbj(j, (各產(chǎn)地發(fā)到銷地Bj的發(fā)量總和等于Bj的銷量,,m;j1, ,xij0i1,

scijj1

的值最?。傔\(yùn)費(fèi)最少（二）公斤）1-4所示，問應(yīng)如何合理安排種植計(jì)劃，才能使總產(chǎn)量最多（ 假定即aibi,即計(jì)劃播種總面積等于土地面積 1- n

表中：aiAi的播種面積（i=1，2，…，mbjBj的畝數(shù)（j=1，2，…，ncijBjAi解xijBjAi的畝數(shù)（i=1，2，…，mj=12，…，n；件 ,j,

(在各地塊上種植作物Ai的總畝數(shù)等于Ai的計(jì)劃播種數(shù),xij,

(j1, (在土地Bj上種植各種作物的總畝數(shù)等于Bj的面積,,m;j1, ,xij0i1,

scijj1

的值最大（總產(chǎn)量最多（2題-希問題，bi噸（i=1，2，…，nk噸原料可1n個(gè)地區(qū)所產(chǎn)原料的總數(shù)恰好能生產(chǎn)各地區(qū)所需該產(chǎn)品 aikbiAidi Ai設(shè)廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量最多為ei噸，最少為fi噸（i=1，2，…，n。從Ai解（i，j=1，2，…，n，其（i，j2，…，n（i=1，2，…，n1-…數(shù)費(fèi)……………xij、yij、zi（i，j=1，2，…，n）,xijai(i,j (從Ai運(yùn)往各地原料總數(shù)以及Ai的留用數(shù)等于Ai的原料產(chǎn)量,,

(j1,

(從各地運(yùn)往Aj的原料總數(shù)以及Aj的留用數(shù)等于在Aj設(shè)廠所需原料數(shù),yijzi(i,j (由Ai運(yùn)往各地的成品總數(shù)以及Ai的留用數(shù)等于Ai的產(chǎn)品數(shù),yijbj(j, , ,fiziei(i1, (在Ai生產(chǎn)的成品數(shù)必須在fi至ei之間x0,y0,z 并且使目標(biāo)函數(shù)scij(xijyijdizi的值最?。ㄉa(chǎn)總費(fèi)用最少（三）

j

nB1，B2，…，BnnA1，A2，…，An去做，每人只做AiBjcij(ij=1,2,…,n)。(ij1,2,…,n)xij(i,j=1,2,…,n)的,, xij (j1, ,xij ,j ,xij0或 (i,j, 并且使目標(biāo)函數(shù)scijxiji1j分派問題是問題的特例。因?yàn)樽兞縳ij只取0和1，所以又稱它為0-（四）A1，A2，…，AmB1，B2，…，Bnn個(gè)不同零件構(gòu)成的機(jī)器。如果每架機(jī)器需要各種零件的數(shù)目成比例λ1:λ2:…:λn；AiBj的效率（每日生產(chǎn)零件數(shù)）cij。問應(yīng)如何分配機(jī)床負(fù)荷，解設(shè)xij為機(jī)床Ai生產(chǎn)零件Bj的時(shí)（單位日（i=1,2,…,m; j=1,2,…,n,, j (機(jī)床Ai生產(chǎn)各種零件時(shí)間總和應(yīng)等::cinxin1:2m: ci1xi1:ci2xi2約束條件

cincini1mn

ci1 ci2xi

(各機(jī)床一天生產(chǎn)各種零件總數(shù)，應(yīng)成已定比例,m;j1, ,m;j1, m (生產(chǎn)零件時(shí)間不能為負(fù)數(shù)mci1并且使目標(biāo)函數(shù)s 的值最大。特別地，當(dāng)λ1:λ2::λn=1:1:1（即每架機(jī)器需要各種零件數(shù)目求一組變量xij(i=1,2,…,m；j=1,2,…，n)的值，使它滿足約束條j

ci1xi1 ci2xi2 cin,m;j,m;j1, ,

xij0(i1,mm并且使目標(biāo)函數(shù)sci1xi1mA1，A2，…，AmnB1，B2，…Bn。1-單 品……………… 求一組變量xj(j=1,2,…,n)的值，使它滿足約束條件c

,a(i,j

ij (生產(chǎn)各種產(chǎn)品所需原料Ai,x 0(j,xn n并且使目標(biāo)函數(shù)sbjxj的值最大（總利潤(rùn)最多j1-8所示。問在這個(gè)生產(chǎn)周期，怎樣安排各機(jī)床的生產(chǎn)任務(wù)，才能既完成加1-加 每 1-加 每 …………… 設(shè)xij為機(jī)床Ai在一生產(chǎn)周期加工零件Bj的個(gè)（i=1,2,…mj=1,2,…，nxij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n),cijxijai(i,j (機(jī)床Ai加工各零件總機(jī)時(shí)過Ai能工作機(jī)時(shí),xijbj(j, (各機(jī)床加工零件Bj的總數(shù)不能少于Bj需要數(shù),,m;j1, ,xij0整數(shù)(i1 并且使目標(biāo)函數(shù)sdijxij的值最?。庸た偝杀咀钌賘1（五）1-9所示。問應(yīng)怎樣安排下料方式，使得既能滿足需1-…………… 設(shè)用Bj種方式下料的原材料數(shù)xj，則這一問題的數(shù)學(xué)模型為,cijxjai(i,j約束條件 (所下的Ai零件總數(shù)不能少于ai,x 0整數(shù)j,xn n并且使目標(biāo)函數(shù)sxj的值最?。ㄋ迷牧狭可賘（六）設(shè)用n種原料B1，B2，…Bn制成具有m種成分A1，A2，…Am的產(chǎn)品，其a1a2,…am。各種原料的單價(jià)、各種原料所含1-10所示。問應(yīng)如何配料，才使產(chǎn)品成本最低。1-一單位 量 …………解（j=1,2,…,nxj(j=1,2,…,n)的值，使它滿足c

,a(i,j

ij ,x 0(j,x nn

sbjxjj1

的值最?。óa(chǎn)品成本最低x1,x2,xn x

xax

bb11ax

12 1nxa

bbb21

22

2n 約束條件ax x xb或bbm1

m2

mn

(j1,2,,并使目標(biāo)函數(shù)sc1x1c2x2cnxn達(dá)到最小（或最大。如果約束條件中第k

ak1x1ak2x2aknxnbk，則人為xnk0，使之成為ak1x1ak2x2aknxnxnkbk如果約束條件中第r

ar1x1ar2x2arnxnbrxnr0，使之成為ar1x1ar2x2arnxnxnrbr通過這種方法，使所有的約束條件都變成等式。xnk,xnr為松弛變量如果問題是使目標(biāo)函數(shù)sc1x1c2x2cnxn標(biāo)函數(shù)ssc1x1c2x2cn

xjxj

minsc1x1c2x2cna11x1a12x2a1nxnaa

a22

a2n

a am1

am2

(j1,2,,

a1n

x1

a1ja

b

x

a記A

2n

，b2

x2

，P

2j

b

x a

mn

m

n

minsAxx

Pj(1jnAjxj（1，其次如果x0x0 x0滿足約束條件即有Ax0b,x00則稱

如果可行解（向量）x00，或x0的非量對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量線性關(guān)，則稱x0為基礎(chǔ)可行解有兩個(gè)煤廠A、B，每月分別進(jìn)煤60噸、100噸。它們擔(dān)負(fù)供應(yīng)三個(gè)居民區(qū)用煤任45噸、75噸、40噸。A10A1，A2，A3B1B25070個(gè)；各機(jī)床必須加元/個(gè)）如表1-11所示。問如何分配這三臺(tái)機(jī)床加工這兩種零件的任務(wù)，才使總的加工費(fèi) A1，A2，A3，把這種原料經(jīng)過加工，制成成品，再運(yùn)往銷地。假設(shè)用4噸原料可制成1噸成品。A1年產(chǎn)307萬噸。產(chǎn)地A2年產(chǎn)原料26萬噸，同時(shí)需要成品13萬噸A3年產(chǎn)24萬噸，不需成品。A1與A2150公里，A1A3100公里，A2A3200公里。又知原料運(yùn)費(fèi)為0.3萬元/萬噸公里，成品運(yùn)費(fèi)為0.25萬元/萬噸公里。且知在A1開設(shè)加工費(fèi)為0.55萬元/A20.4萬元/A30.3萬元/A2設(shè)廠規(guī)模過年產(chǎn)成品5萬噸，A1和A3可以不限制。問應(yīng)在何地設(shè)廠，生產(chǎn)多少成品，才能使生產(chǎn)費(fèi)用（包括原料運(yùn)費(fèi)、成品運(yùn)費(fèi)、加工費(fèi)等）1-12610元。木器廠在現(xiàn)有木料（單位：立方米木料（單位：立方米1-13所示。問應(yīng)如何組織生產(chǎn)，使總產(chǎn)量最大。 3020203025102015棵樹澆水。問應(yīng)怎樣安排才能使植樹（包括挖坑、栽樹、澆水）某鋼廠兩個(gè)煉鋼爐同時(shí)各用法煉鋼。第一種煉法每爐用a小時(shí)；第二種用b小時(shí)（包括清爐時(shí)間。假定這兩種煉法每爐出鋼都是k公斤，而煉1公斤鋼的平均費(fèi)第一法為m元，第二法為n元。若要求在c小時(shí)內(nèi)煉鋼公斤數(shù)不少于d，問應(yīng)怎樣分配兩種煉法的任務(wù)，才使費(fèi)用最少。50098789810000根，7820000根。問怎樣截法，才使所用的原材料最17—1250062001-月（元/件（元/件設(shè)有n種飼料，各含m種營養(yǎng)成分。每只雞每天需要各營養(yǎng)成分的數(shù)量、各種飼成分?jǐn)?shù) 飼………………nn種作物。每塊土地只種一種作物且每種作物只在一塊土地上1-16所示。問應(yīng)如何制訂種植計(jì)劃，才使總產(chǎn)值最多。各種作物的產(chǎn) 土……………第二章單純形方法（1 在理論研究部分，為討論方便，不妨設(shè)BAm列組成，即令xx,x,,x

x , ,,x

cc,c,,c

,

,,

xxBcc，c

xNxxBxB的mxNxN的nm個(gè)B,NxBx x NAxbBxBNxN

BNxB1bB1NBNBB BB

1

NB將sNB

與cB1Axc

兩邊相加，并應(yīng)用（4） scB1b(cB1A

cB1N

xB

由（3）

N xNxNBNB1NcNBNxB

xB B

x

xN

xN 滿足條件約束Axb。稱（6）為對(duì)應(yīng)B的基礎(chǔ)解，但它不一定是可行B（xB1bB

程是不斷調(diào)整基B，使解（6）成為最優(yōu)解。稱使解（6）為最優(yōu)解的基B為最（5）B解（6）對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為scB

當(dāng)cB1Ac0時(shí)，適當(dāng)取x0可使(cB1Ac)x0, scB1b(cB1Ac)xc （6）B當(dāng)cB1Ac0x0B scB1b(cB1Ac)xc B若解（6）xB1b0BB鑒于cB1Ac在最優(yōu)解判別中的重要作用，稱之為檢驗(yàn)數(shù)或判別數(shù)。B (4)式看出，cB1Nc。 xB1b cB1Acscx

s(cB1Ac)x

BAx

B1AxB

B1Acs cB

B1

B1bs看成是一個(gè)變量，則（8）式是一個(gè)關(guān)于n1個(gè)變量sx1x2,xn（2，實(shí)質(zhì)上是求線性方程組（8）s取最小值的解。方程組（8）

B1A

c

(m1)s的系數(shù)始終為1，其余方程中s的系數(shù)始終為0。因此，在解方程組的過程

b0nc cB1A

bT(B)

1n

B1

(m1)

bmn由方程組（8）知，單純形表（10）sb01x1b01x1b0nxnb 11b

b12

b1n

b21x1b22x2b2nxn bm1x1bm2x2bmnxn

xj0(j1,2,,B1AB1B,NB1B,B1NE,B1N（10例 設(shè)有線性規(guī)劃問minsx12x22x1x2x3

x 0(i1,2,3x解minsx12x2x32x1

x2

x3

x4

0x4x x本例中，A 1 1,b4,c

2,

0,xx,x,x,

0 6

BB表(10)可知，構(gòu)造單純形表實(shí)際上是要計(jì)算cBB

cB1A

B1bB1A確定基BP,P 1（當(dāng)然也可以選取BP,P

2或2101 101

BPP 1A的m220 20 的列向量組成BB為非奇異矩陣即可。并由此得到B1

1xx,x，

x,

，

c

c

2,0

計(jì)算目標(biāo)值

s

B1b1

14

b,

,,bcB1A

12

0,5,0,

B1b

146

26

1

1

0100 2 100

11

2-1s-0-0-61200-0-1-B，使之最終滿足B由一個(gè)可行基開始求解線性規(guī)劃問B為可行BPkNPjxj1,xjb0j成（sxj,把b1jb2jbmj中的某一個(gè)bkj變成1,其余m0（從其余m1xjBxB1b0B例 2-2s9(b020(b0324(b106(b120(b13-2(b159(b203(b220(b233(b251(b264(b300(b31-4(b321(b330(b341(b354(b36x1 解由表2-2

BPPP

x90

4

x2，x5x6x6x2x5x2擇檢驗(yàn)數(shù)為正數(shù)的任一非基變量為入基變量。x1x3x42-2為x1

2x5x62 2

3x5x6

2 2

x5x6x3僅存在于(12)x3為出基變量，只能在第x3x2x3x5x6成為非基變量。由于該方程中“入x2的系數(shù)b3240x210，x3為出基變量。x2的系數(shù)b12,b22,b32均非正數(shù)，則無法進(jìn)行換基xxxxx1

1

3x1x 3 3 再將第一個(gè)方程乘以16 x1

43

1x2

3924303 63x為出基變量。xb1024b2096b3 6b3 使以第一個(gè)方程為基礎(chǔ)消去第二個(gè)方程中的x2時(shí)，右端的常數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)2-3。計(jì)算過程是以表2-2中的元素 為基礎(chǔ)，先將b所在的行乘以1，使

1，再將b22所在的行乘以-9s6x1所4x3所在的行。這就把b221，x2中的其他元素變成了0x4x2（重新標(biāo)注基變量，便完成2-3。b22x2x4x16，x23，x316，x4x5x6目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為s342-3s-34(b000(b020(b03-3(b04-6(b05-3(b066(b100(b120(b13-2(b14-8(b15-3(b163(b201(b220(b231(b 1(b251(b26316(b300(b310(b321(b334(b3435(b35(b363①在換基迭代中，必須選擇檢驗(yàn)數(shù)b0j0xj為入基變量。如果②如果第kxj的系數(shù)bkj0，第kx

0bk

bi

bk0是相應(yīng)的兩列元素的比值

bi0(b0xb b③選b 項(xiàng)，以b所在的行分別乘以

加到b所在的行，將bb b

bb0；將b

1，使b1

④如果各檢驗(yàn)數(shù)b0j⑤如果檢驗(yàn)數(shù)b0jj1,2,n)中有正數(shù)b0lb0l所在列的其他元素b1jb2jbmj中亦有正數(shù)，則重復(fù)步驟①～④，⑥如果檢驗(yàn)數(shù)b0jj1,2,n)中有正數(shù)b0lb0l所在列的其他元素b1jb2j,bmj產(chǎn)生第一個(gè)可行基的方M)mina11x1a12x2a1nxnaxaxax21

22

2n ax x xm1

m2

mn 并假定bj0j12m，如果某個(gè)bk0乘以-1即可。現(xiàn)引進(jìn)輔助問)min c2

cn x

xax 11

12

1n

a21x1a22x2a2nxn ymam1x1am2x2amnxnxj0(1jn);yi0(1iy1y2,ym是為了尋找第一個(gè)可行基人為添加的，稱為人工變量。對(duì)

cn

0 a

b

1n

1A

bb2c

amn

A的前m1Em1BBE，則s,y1,y2,,ym0b

1 cB,

bb,

A

cB

bcBbb2 cB1AccA

cn

1n

am

a2n amn

0,0,,0

mm

ai1

mm

ai2,

mm

aina于是得到初始單純形表T(B)

cB1A

B1

0

ai

ain

0 0 1 0

am

cn a1n a2n amn

(y1,y2,,ym)(b1,b2,,bm注意到bj0j12m，即基礎(chǔ)解(s

,x,,

)(0000) B為輔助問題的可行基，稱由于y10y20,ym0，從而minzy1y2ym0，即目標(biāo)函若minzy1y2ym0y1y2ym0時(shí)不能滿足若minzy1y2ym0，即y1y2ym0，且y1y2,ymy1y2，,ym已無任何作用，輔助若minzy1y2ym0y1y2ym0，但仍有某yjyjx1x2,,xn(系數(shù)全為零)，yjARA)m引起的；yjxkyj0xkxkyj對(duì)換，進(jìn)行換基迭y1y2，ym全部成為非基變量，變成情況(2),第三章對(duì)偶線性規(guī)劃問題mna11

a12

c2

a1nxnaa

a22

a2n

a am1

am2

j

n,()20,,Ⅱmaxa11y1a21y2am1ym yay 12

22

m2 ay y 1n 2n

mn yi0(i1,2,,yy1,y2,,ymmnAxxmaxyAy

定理1如果線性規(guī)劃問題(Ⅰ)的第k個(gè)約束條件是等式，那么它的對(duì)偶規(guī)劃(Ⅱ)中的第kyk第l個(gè)約束條件是等式，那么它的對(duì)偶規(guī)劃(Ⅰ)中的第lxl證 略如果線性規(guī)劃問題(Ⅰ)的第kak1x1ak2x2aknxn

ak1x1ak2x2aknxn如果線性規(guī)劃問題(Ⅰ)的第kak1x1ak2x2aknxn則其對(duì)偶規(guī)劃(Ⅱ)中的第kyk由于minsmaxs，maxgmin(g)例 求線性規(guī)mins2x13x22x14x2x33x7x5x

9x

解”約束，得到mins2x13x22x14x2x3 3x7x5x 5x6x

maxg5y18y272y13y25y3 7y6y

y1y29y3y,y30；y2”約束，得到max(s)2x13x22x14x2x33x7x5x

9x3ming5y18y272y13y25y34747

6

y1y29y3y,y30；y2或

5y18y272y13y25y3 7y6y

y1y29y3 y,y30；y2對(duì)比(16)式與(17)y1y3y2的系數(shù)均相差一個(gè)符號(hào)。表面看來(16)與(17)y2無非負(fù)限制故其本質(zhì)是一樣的只是在兩者的最優(yōu)解中，y2的取值互為相反數(shù)定理2x,y

sg證 由規(guī)劃問題(14)知Axb，由規(guī)劃問題(15)知cyA，于是scxyA)xyAx)ybg，即sg定理 若x*,y*分別為互為對(duì)偶線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)的可行解,并cx*y*bx*,y*證明由定理2x，則cxy*bcx*x*為問y*為問題(Ⅱ)的最優(yōu)解。定理4 證 用反證法。設(shè)(Ⅰ)有可行解為x0,但無最優(yōu)解，即cx0無下界y02cx0y0b，這與cx0無下界矛定理5若互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)都有可行解,則其都有最證明用反證法。設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)都有可行解。如果(Ⅰ)（或(Ⅱ)）沒有最優(yōu)解,則由定理4必得(Ⅱ)（或(Ⅰ)）無可行解,與假設(shè)所以若(Ⅰ)(Ⅱ)定理6若互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)中任意一個(gè)有最優(yōu)解,則證明我們稱對(duì)偶問題的最優(yōu)解為原問題約束條件的價(jià)格。具體說來，如y*y*,y*,y*y*為原問題(Ⅰ)的第k 束條件的價(jià)格如果對(duì)偶問題(Ⅰ)的最優(yōu)解為x*(x*,x*,x*)則稱x*原問題(Ⅱ)的第l個(gè)約束條件的價(jià)格

6,b1 s*cx*g*y*b(y*,y*,y*)b2y*by*by* m 1 2 m bm當(dāng)原問題(Ⅰ)的第一個(gè)約束條件右端常數(shù)b1增加一個(gè)單位，即b1變成b11原問題的最優(yōu)解（也是對(duì)偶問題的最優(yōu)解）b1

m 2 bm

即最優(yōu)解增加了y*個(gè)單位。其他y*也有類似的含意 y*（1km）表示原問題(Ⅰ)的第k個(gè)約束條件右端常數(shù)b 附錄 銷地（居民區(qū)）5648銷量

x11x12x13

x11x21 x13x23

xx

(i

jmins10x115x12本題看似一個(gè)生產(chǎn)組織問題，實(shí)際應(yīng)化為問題處理。1,2；jx11x12xx

x31x32

x12x22x32

xijx

(i

jmins0.4x110.3x120.3x210.5x220.2x31這是一個(gè)布局問題。影響生產(chǎn)費(fèi)用的關(guān)鍵因素是各地點(diǎn)Ai原料到Aj的數(shù)量xij為Ai運(yùn)原料到Aj的數(shù)量（萬噸）（i j11,2， j11,32,Aj的原料總數(shù)（Aj自產(chǎn)）AjAi（Ai自留）AiAj的產(chǎn)品總數(shù)（Aj自產(chǎn)）Aj的y11y21y31yy

y23y33z2xij0,x

0,zj

(imins0.3(150x120.55z17256立方；各種產(chǎn)品的數(shù)量不能為復(fù)數(shù)等兩個(gè)方面。設(shè)x1x2，則約束條件為：0.18x10.09x20.08x10.28x2x0,x maxs6x1AixijBjAi的時(shí)間（單位：日（i j1,2,3，考慮一天中的生產(chǎn)安排，則有約束條x x13x2330x15x18x

x

(i jmaxs30x1115x12 maxs20x2140x22x11x12x13x21x22x11x12x13xx

xij0且為整數(shù)（i或maxs30x1220x22

maxs20x11maxs25x13x21x22分別為第二鋼爐使用第一、二種方法煉鋼的時(shí)間（小時(shí)c小時(shí)和總煉鋼量不小于d公斤兩個(gè)方面。約束條件為x11x12xx

x22k(

x)k( x)

xij

(i,j規(guī)劃目標(biāo)是使費(fèi)用最低，minsmk( x)nk(x x 698厘米毛A154321078厘米毛A2012356Bjxj5x14x23x32x4

x 3 2x3xx 3

x (jx66minsxx1x2公斤谷類飼料混合一天的飼料。約束條件為x1x24xx x x77

x10,x2這是一個(gè)庫存管理問題。設(shè)x7～x12分別表示7～12月份的進(jìn)貨量y7～y12分別7～12500。例如：7月初的進(jìn)6500，即有200x7500；77月的售貨8500，即200x7y7x8500x7(xiyi)xi1

(kxi,yi0(i規(guī)劃目標(biāo)是使銷售利潤(rùn)（總銷售額減總進(jìn)貨額）6200件產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)為a元∕件。目標(biāo)函數(shù)為maxs29y724y826y928y1022y1125(200a28x724x825x927x1023x1123x12maxs29y724y826y928y1022y1125(28x724x825x927x1023x1123x12n種飼料各投入多少單位進(jìn)行xjBj飼料進(jìn)行配合