中學(xué)階段方程總講

中學(xué)階段方程總講一次方程(組)復(fù)習(xí)等式基本性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，等式仍舊成立等式基本性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0），等式仍舊成立如果a=b,那么a±c=b±c如果a=b,那么ac=bc或（c≠0），什么叫方程？含有未知數(shù)的等式叫做方程。注意：

判斷一個(gè)式子是不是方程，要看兩點(diǎn)：一是等式；二是含有未知數(shù)。二者缺一不可。什么叫方程的解？使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.求方程的解的過(guò)程叫解方程。1.什么是一元一次方程？2.一元一次方程的一般式是什么？

只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是一次的整式方程，叫做一元一次方程.

ax+b=0(a≠0,a、b為常數(shù)）想一想2.若是一元一次方程，則。3.若方程是一元一次方程，則應(yīng)滿足。4.若是方程的解，則代數(shù)式。21a≠3練一練1.若關(guān)于的方程是一元一次方程，求這個(gè)方程的解.解：根據(jù)題意可知，∴即又∵∴∴當(dāng)m=－2時(shí)，原方程為解得，拓展思維3.解一元一次方程的一般步驟是什么？（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）系數(shù)化為1①不能漏乘不含分母的項(xiàng)。②分子是多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)添括號(hào)。①不要漏乘括號(hào)內(nèi)的任何項(xiàng)。②如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)變號(hào)。①?gòu)姆匠痰囊贿呉频搅硪贿呑⒁庾兲?hào)。①把方程一定化為ax=b(a≠0)的形式①方程兩邊除以未知數(shù)的系數(shù)。②系數(shù)只能做分母，注意不要顛倒。說(shuō)一說(shuō)解：動(dòng)手做一做(1)二元一次方程:含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫二元一次方程(2)二元一次方程的解:①適合一個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解.②任何一個(gè)二元一次方程的解都有無(wú)數(shù)多個(gè)解；1.寫出方程4x+3y=16的一個(gè)解

。(1)二元一次方程組:由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組方程組里各個(gè)方程的公共解。(2)二元一次方程組的解:下列是二元一次方程組的是（）+y=3x12x+y=0(A)3x-1=02y=5(B)x+y=73y+z=4(c)5x-y=-23y+x=4(D)2B1、已知是方程3x-3y=m和2x+y=n的公共解，則m2-3n=.-3一元二次方程的解法二元一次方程的解法解二元一次方程組的基本思想是什么？二元一次方程一元一次方程消元轉(zhuǎn)化消元的方法有哪些？代入消元法、加減消元法例1

解方程組：

說(shuō)明：要判斷結(jié)果是否正確，應(yīng)像解一元一次方程那樣進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)時(shí)，注意要把未知數(shù)的值代入方程組中的每一個(gè)方程，能使每一個(gè)方程都成立的一對(duì)數(shù)才是方程組的解。例2解方程組：(1)直接開平方法ax2=b(a≠0)(2)因式分解法1、提公因式法，平方差公式，完全平方公式2、十字相乘法(3)配方法當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1的時(shí)候，方程兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方(4)公式法當(dāng)b-4ac≥0時(shí)，x=一直接開平方法依據(jù)：平方根的意義，即如果x2=a,那么x=這種方法稱為直接開平方法。解題步驟：1，將一元二次方程常數(shù)項(xiàng)移到方程的一邊。2，利用平方根的意義，兩邊同時(shí)開平方。3，得到形如：x=的一元一次方程。4，寫出方程的解x1=?,x2=?1、（3x-2）2-49=02、（3x-4）2=（4x-3）2解：移項(xiàng)，得：（3x-2）2=49兩邊開平方，得：3x-2=±7

所以：x=所以x1=3，x2=-解：兩邊開平方，得：3x-4=±（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7x1=-1，x2=1例題講解二因式分解法1提公因式法=0（2）解：提公因式得：2平方差公式與完全平方公式形如

運(yùn)用平方差公式得：

形如的式子運(yùn)用完全平方公式得：或例題講解例1解下列方程（1）解：原方程變形為：直接開平方得：（2）解：原方程變形為：3十字相乘法1二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況：將一元二次方程常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分解成兩個(gè)數(shù)(式)p,q的乘積的形式，且p+q=一次項(xiàng)系數(shù)。步驟：2二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況：將二次項(xiàng)系數(shù)分成兩個(gè)數(shù)（式）a,b的乘積的形式，常數(shù)項(xiàng)分解成p,q的乘積的形式，且aq+bp=一次項(xiàng)系數(shù)。PQABPQ分解結(jié)果為（x+p）(x+q)=0分解結(jié)果為（ax+p）(bx+q)=011例題講解用十字相乘法解下列方程x2－３x－28=0(x－7)(x+4)=0x－7=0或x+4=0x1=7,x2=-4例題講解例2三配方法我們通過(guò)配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法平方根的意義:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.如果x2=a,那么x=用配方法解一元二次方程的方法的助手:用配方法解一元二次方程：

2x2-9x+8=01.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1;3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方;4.變形:方程左邊構(gòu)成平方式,右邊合并同類;5.開方:兩邊開平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.2.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;例題講解例1.用配方法解下列方程

x2+6x-7=0例題講解例2.用配方法解下列方程2x2+8x-5=0四公式法一般地,對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面這個(gè)式子稱為一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一元二次方程。2.b2-4ac≥0.例1用公式法解方程

2x2-9x+8=01.變形:化已知方程為一般形式;3.計(jì)算:b2-4ac的值;4.代入:把有關(guān)數(shù)值代入公式計(jì)算;5.定解:寫出原方程的根.2.確定系數(shù):用a,b,c寫出各項(xiàng)系數(shù);例題講解例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:∵a=2b=5c=-3∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=49∴

x===即x1=-3x2=例題講解例3：解：化簡(jiǎn)為一般式：這里a=1,b=,c=3.∵b2-4ac=()2-4×1×3=0,即：x1=x2=例題講解1、把方程化成一般形式。并寫出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值，將其與0比較。3、代入求根公式:用公式法解一元二次方程的一般步驟：4、寫出方程的解：x1=?,x2=?(a≠0,b2-4ac≥0)X=請(qǐng)你選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?、3x2-1=02、x（2x+3）=5（2x+3）3、x2-4x-2=04、2x2-5x+1=01、形如（x-k）2=h的方程可以用直接開平方法求解；2、千萬(wàn)記?。悍匠痰膬蛇呌邢嗤暮形粗獢?shù)的因式的時(shí)候不能兩邊都除以這個(gè)因式，因?yàn)檫@樣能把方程的一個(gè)跟丟失了。要利用因式分解法求解；3、當(dāng)方程的一次項(xiàng)系數(shù)是方程的二次項(xiàng)系數(shù)的兩倍的時(shí)候可以用配方法求解；4、當(dāng)我們不能利用上邊的方法求解的時(shí)候就就可以用公式法求解，公式法是萬(wàn)能的。練一練點(diǎn)評(píng)分式方程的解法分式方程像這樣，分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。以前學(xué)過(guò)的分母里不含有未知數(shù)的方程叫做整式方程。下列方程中，哪些是關(guān)于x的分式方程？哪些是整式方程.關(guān)于x的分式方程整式方程解得,下面我們一起研究下怎么樣來(lái)解分式方程：方程兩邊同乘以（20+v）（20-v），得在解分式方程的過(guò)程中體現(xiàn)了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（化歸思想）。探究檢驗(yàn)：將v=5代入分式方程，左邊=4=右邊，所以v=5是原分式方程的解。解分式方程：解：方程兩邊同乘(x-5)(x+5)，得x+5=10解得：x=5檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，(x-5)(x+5)=0，

所以x=5是增根?！嘣质椒匠虩o(wú)解。為什么會(huì)產(chǎn)生增根？增根產(chǎn)生的原因？對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中分母的值為零時(shí)無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根。產(chǎn)生的原因：想一想？具備什么條件的根才是分式方程的增根？解：去括號(hào)，得3x-9=2x移項(xiàng)，得3x-2x=9解得x=9解分式方程和解整式方程有什么區(qū)別？方程兩邊同乘以X(X-3)得：3X-9=2X解得X=9檢驗(yàn)：X=9時(shí)X(X-3)≠0

所以X=9是原方程的解想一想？解分式方程的步驟是什么？(1)3(X-3)=2X解分式方程的一般步驟1、在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程.（轉(zhuǎn)化思想）2、解這個(gè)整式方程.3、檢驗(yàn)4、寫出原方程的根.解分式方程的思路是：分式方程整式方程去分母一化二解三驗(yàn)四答為什么要檢驗(yàn)？增根解方程：得（x－1）+2（x+1）=4。所以原方程無(wú)解。解得x=1。檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，（x+1)(x－1)=0，所以x=1是增根。練習(xí)解：方程兩邊都乘以

解：方程兩邊同時(shí)乘以2(x+1)(x－1)，得12所以原方程的根是x=．化簡(jiǎn)，得3–2x2–2x=–2x2+212檢驗(yàn)：當(dāng)x=時(shí)，2(x+1)(x－1)≠0解方程：3–2x(x+1)=–2(x2–1)，解得x=.12解分式方程容易犯的錯(cuò)誤有：(1)去分母時(shí)，原方程的整式部分漏乘．(2)約去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí)，沒(méi)有注意添括號(hào)．(因分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用）(3)增根不舍掉，不寫答．例題：關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，求a的取值范圍．解：方程兩邊同乘x(x–1)，得x(x–a)–3(x–1)=x(x–1)化簡(jiǎn)得，x2–ax–3x+3=x2–x

(a+2)x=3解得，x=

又∵x＞0，且x≠1解得，a＞–2且a≠1∴a的取值范圍是a＞–2且a≠1例題：關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，求a的取值范圍．變式1：當(dāng)方程有增根x=1，求a的值．變式2：當(dāng)方程有增根，求a的值．變式3：當(dāng)方程無(wú)解，求a的值．變