第五講固體力學(xué)-線彈性問題有限元分析

第五講

固體力學(xué)-線彈性問題有限元分析元計(jì)算技術(shù)部線彈性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個(gè)重要分支，研究彈性物體在外力和其他外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力，它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)。廣泛應(yīng)用在建筑、機(jī)械、化工、航天等工程領(lǐng)域。本講將對(duì)該分支，從其物理模型，有限元弱形式推導(dǎo)，以及ELAB.1.0有限元分析、ELAB1.0有限元軟件公式庫(kù)實(shí)現(xiàn)等各個(gè)方面進(jìn)行介紹?；痉匠蘀LAB1.0模型向?qū)?shí)現(xiàn)有限元腳本文件分析線彈性問題的基本方程從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面考慮得到線彈性穩(wěn)態(tài)問題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程為：平衡方程：幾何方程：本構(gòu)方程：其中σxx、σyy、σzz表示直角坐標(biāo)系下三個(gè)方向的正應(yīng)力，εxx、εyy、εzz表示對(duì)應(yīng)的正應(yīng)變，σxy、σxz、σyz表示直角坐標(biāo)系下三個(gè)剪應(yīng)力，εxy、εxz、εyz表示對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變，u、v、w表示直角坐標(biāo)系下三個(gè)方向的位移，E表示楊氏模量，ν表示泊松比。邊界條件：第二類邊界條件：第三類邊界條件：第一類邊界條件:有限元分析運(yùn)用迦遼金有限元法求位移，由上面的平衡方程可得：其中σu、σv、σw表示三個(gè)方向的虛位移。對(duì)上式進(jìn)行分部積分化為弱形式可得：將本構(gòu)方程帶入到上面的弱形式，得到求解位移的最終弱形式表達(dá)式：對(duì)于彈性體的應(yīng)力，采用最小二乘法，由線彈性問題的本構(gòu)方程可以得到如下的弱形式：線彈性問題屬于固體力學(xué)中基礎(chǔ)的學(xué)科分支，在ELAB1.0有限元軟件中以公式庫(kù)的形式提供給大家，因此可以采用【公式庫(kù)-固體力學(xué)-線彈性】直接生成的方式生成程序代碼，下面通過一個(gè)算例用ELAB1.0公式庫(kù)來實(shí)現(xiàn)。工程背景三維工字形部件線彈性體，如下圖所示，底面為邊長(zhǎng)為8m的正方體，上下兩部分高度為2m，中間部分高度為10m。該部件的彈性模量為1.0e10N/m2，泊松比為0.3，地面邊界固定，上表面施加100N的均布力載荷，分析該部件的位移、應(yīng)力以及變形情況。幾何模型工程建模1、點(diǎn)擊“工程向?qū)А边M(jìn)入公式庫(kù)2、選擇“固體力學(xué)”研究領(lǐng)域3、選擇“坐標(biāo)系”固體力學(xué)--線彈性ELAB1.0軟件實(shí)現(xiàn)5、選擇“問題類型”4、選擇“單元類型”6、定義工程名和工程路徑，完成

工程設(shè)置定義材料參數(shù)點(diǎn)擊工具欄“參數(shù)設(shè)置”→“材料參數(shù)”，如下圖所示：材料參數(shù)對(duì)話框中設(shè)定相應(yīng)的材料參數(shù)，如下圖所示：a場(chǎng)材料參數(shù)b場(chǎng)材料參數(shù)幾何建模：點(diǎn)擊工具欄中“前處理”按鈕進(jìn)入GID，建立該工程的幾何模型。建立幾何模型的具體操作詳見《有限元分析基礎(chǔ)與應(yīng)用》相關(guān)章節(jié)。注：模型建立后，選擇Geometry——Edit——Collapse——models，選中所建模型，按鼠標(biāo)中鍵結(jié)束，將所有的體連為一體。保證沒有孤立的點(diǎn)、線或者面。前處理

注：進(jìn)入GID后要進(jìn)行ELAB1.0的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化data→problemtype→ELAB添加材料參數(shù)和邊界條件：

a場(chǎng)材料b場(chǎng)材料施加均布力地面固定邊界劃分網(wǎng)格：設(shè)置劃分網(wǎng)格的單元類型(要與工程建模中選擇的單元類型一致)，以及網(wǎng)格尺寸，劃分網(wǎng)格如下圖所示：求解計(jì)算點(diǎn)擊工具欄中“求解計(jì)算”按鈕，完成模型的求解計(jì)算。后處理

點(diǎn)擊工具欄中的“后處理”按鈕進(jìn)入GID，查看計(jì)算結(jié)果。

x向位移u

y向位移v

z向位移w

位移矢量

x向應(yīng)力dxxy向應(yīng)力dyy

z向應(yīng)力dzz變形圖（放大2.1392e6倍）有限元語言描述文件為生成該問題有限元計(jì)算的所有程序源代碼，針對(duì)之前的ELAB1.0有限元分析得到的微分方程弱形式，ELAB1.0軟件提供簡(jiǎn)潔的有限元語言描述文件，包括微分方程描述文件、多物理場(chǎng)描述文件以及求解命令流控制文件。針對(duì)該問題的有限元描述文件包括delxyz.fde(求解位移微分方程)，

delxyz.fbc(求解位移邊界條件)，

selxyz.fde(求解應(yīng)力微分方程)，

solid.mdi，

solid.gcn在delxyz.fde給出單元的待求未知量，涉及到的材料參數(shù)，單元的形函數(shù)表達(dá)式，剛度矩陣表達(dá)式和載荷表達(dá)式，以及為描述剛度矩陣和載荷向量而自定義的函數(shù)。以下給出微分方程描述文件中與微分方程弱形式對(duì)應(yīng)的部分(詳細(xì)的解析見《有限元分析基礎(chǔ)和應(yīng)用》中相關(guān)章節(jié))：微分方程描述文件delxyz.fde(求解位移微分方程)DISP

u

v

w

未知變量對(duì)應(yīng)微分方程弱形式中的變量(幾何方程中)uvw微分方程弱形式：未知變量：求解位移的微分方程描述文件MATEpepvfxfyfzroualpha材料參數(shù)行對(duì)應(yīng)微分方程弱形式中的變量Evfxfyfz材料參數(shù)：dist=+[ev_i;ev_j]*sm_i_j*fact+[ep_i;ep_i]*shear*fact單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)應(yīng)微分方程弱形式中的左端項(xiàng)單元?jiǎng)偠染仃嚕簂oad=+[u_i]*f_i*vol單元載荷向量對(duì)應(yīng)微分方程弱形式中的右端項(xiàng)的體積分項(xiàng)單元載荷向量：求解位移的邊界描述文件load=+[u]*fu+[v]*fv+[w]*fw單元載荷向量對(duì)應(yīng)微分方程弱形式中的右端項(xiàng)的邊界積分項(xiàng)求解命令流控制文件solid.gcn多物理場(chǎng)描述文件solid.mdi3dxyz#a03uvwfdedelxyzc2fbcdelxyzq2#b06dxxdyydzzdyzdxzdxyfdeselxyzc2#坐標(biāo)系(三維直角坐標(biāo)系)a場(chǎng)0個(gè)初值3個(gè)自由度a場(chǎng)方程描述文件+單元類型和積分方法a場(chǎng)邊界描述文件+單元類型和積分方法b場(chǎng)0個(gè)初值6個(gè)自由度b場(chǎng)方程描述文件