21數列的概念與簡單表示法

會計學121數列的概念與簡單表示法(1)人們在1740年發(fā)現了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現一次，那么從發(fā)現那次算起，這顆彗星出現的年份依次為(2)“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意思為：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完。如果將“一尺之棰”視為一份，那么每日剩下的部分依次為1、考察下面的問題1740，1823，1960，1989，2072，…問題創(chuàng)設第1頁/共29頁

古希臘畢達哥拉斯學派數學家曾研究過三角形數：1，3，6，10，···第2頁/共29頁

類似地，1，4，9，16，25，······被稱為正方形數。這些數有什么共同特點？第3頁/共29頁一、數列的概念：按一定次序排列的一列數叫做數列思考1：拿“1，2，3”這三個數來排，能排出幾個數列？例如：三角形數1，3，6，10，…

正方形數1，4，9，16，…1，2，32，1，33，1，21，3，22，3，13，2，1注意：每個數列中的數都有特定的順序，但不一定要有特殊的規(guī)律.第4頁/共29頁一、數列的概念：按一定次序排列的一列數叫做數列注：數列中的每一個數都叫做這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n項.我們常把數列的一般形式寫成

a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)簡記作{an}。例如：若用{an}來表示“2，1，3”這個數列，則a2=____；1思考2：能不能把數列“2，1，3”記為{2，1，3}？

不行，{2，1，3}是一個集合，集合中的元素是沒有順序的第5頁/共29頁一、數列的概念：按一定次序排列的一列數叫做數列注：數列中的每一個數都叫做這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n項.我們常把數列的一般形式寫成

a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)簡記作{an}。思考3：{an}與an的意思一樣嗎？{an}表示一個數列：a1，a2，a3，…，an，….an表示數列{an}中的第n項第6頁/共29頁各項都相等的數列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列二、數列的分類：1、以項數來分類：（1）有窮數列：（2）無窮數列：2、以各項的大小關系來分類：（1）遞增數列：

（2）遞減數列：

（3）常數列：（4）擺動數列：項數有限的數列項數無限的數列對任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0)對任意n∈N*，總有an+1<an(或an+1-an<0)從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列第7頁/共29頁思考：觀察下列數列的特點，用適當的數填空，并猜想這些數列的第n項an是什么？（1）1，

，9，16，25，

，49，…；（2）2，4，

，16，32，

，128，…；（3）1，-1，1，

，1，-1，

，-1，…；436864-11

第8頁/共29頁三、數列的通項公式：

如果數列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式，簡稱通項。例如：an=n2

就是數列1，4，9，16，…的一個通項公式注意：①通項公式的主要作用是“知序號可求項”

如：數列{n2}的第11項是_______②一些數列的通項公式不是唯一的；如：數列1，-1，1，-1，…

③不是每一個數列都能寫出它的通項公式。如：1，24，8，3，19121第9頁/共29頁例1、試寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：變題：4，6，8，10變題：-3，-1，1，3（1）2，4，6，8；（2）1，3，5，7；an=2nan=2n+2an=2n-1an=2n-5變題：5，55，555，5555（4）9，99，999，9999；

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拓展、試寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：練習：課本P31第1，4題

第11頁/共29頁小結觀察法求通項公式：（1)常見數列：正整數列；奇數列，偶數列，平方數列，三角形數列，（2)分數列：觀察分子、分母的特點。（3)指數數列：觀察底數、指數的特點。（4)各項符號一正一負：

第12頁/共29頁例1、已知數列{an}的通項公式是an=-n2+4n-1，（1）寫出這個數列的前4項；（2）你能判斷出這個數列哪一項最大嗎？為什么？注意：an=-n2+4n-1可看成以n為自變量的一個函數（2）∵an=-n2+4n-1=-(n-2)2+3∴當n=2時，an取到最大值3思考：上述數列的通項an=-n2+4n-1與函數f(x)=-x2+4x-1有什么不同？(3)-13是這個數列中的項嗎？第13頁/共29頁遞增數列：遞減數列：對任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0)對任意n∈N*，總有an+1<an(或an+1-an<0)例2、已知數列{an}的通項公式為an=n2+n，其中n∈N*，求證{an}是個遞增數列。證明：∵對任意n∈N*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2>0∴{an}是個遞增數列第14頁/共29頁四、數列與函數的關系：注意，在數列{an}中項：a1，a2，a3，…，an，….序號：1，2，3，…，n，…

從函數的觀點看，數列可以看成以正整數集N*

（或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函數an=f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值.第15頁/共29頁數列的其他表示方法：如：數列2，4，6，…，2n，…列表法，圖象法第16頁/共29頁例4、下圖中的三角形稱為謝賓斯基三角形，在下圖4個三角形中，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖象.（1）（2）（3）（4）

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第18頁/共29頁思考：如果一個數列{an}的首項a1=1，從第2項起每一項都等于它的前一項的2倍再加1，即

an=2an-1+1(n≥2)則該數列的第5項是什么？

已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任意一項an與前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做數列的遞推公式練習：試寫出數列1，3，6，10，…的一個遞推公式。第19頁/共29頁練習：寫出下列數列{an}的前5項（1）a1=5，an=an-1+3(n≥2)；（2）a1=2，an=2an-1(n≥2)；思考：你能否利用上面兩題的條件求出數列{an}的通項公式？（1）5，8，11，14，17（2）2，4，8，16，32第20頁/共29頁總結通項公式數列的概念表示方法分類列表圖象項數有窮數列無窮數列遞增數列遞減數列擺動數列常數列大小函數數列第21頁/共29頁檢測反饋1.根據數列的通項公式填表：n1…5……n33……153…3(3+4n)2169122基礎題組第22頁/共29頁2.下面對數列的理解有四種：①數列可以看成一個定義在上的函數；②數列的項數是無限的；③數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；④數列的通項公式是唯一的．其中說法正確的序號是（）A．①②③

B．②③④

C．①③

D．①②③④

C第23頁/共29頁3.在數列1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x應等于（）

A．11 B．12C．13 D．14C第24頁/共29頁提高題組4．已知數列的通項公式它的最小項是（）

A.第一項

B.第二項