對策與決策模型第八章對策與決策模型

第八章對策與決策模型浙江大學城市學院第八章對策與決策模型對策與決策是人們生活和工作中經常會遇到的擇優(yōu)活動。人們在處理一個問題時，往往會面臨幾種情況，同時又存在幾種可行方案可供選擇，要求根據(jù)自己的行動目的選定一種方案，以期獲得最佳的結果。有時，人們面臨的問題具有競爭性質，如商業(yè)上的競爭、體育中的比賽和軍事行動、政治派別的斗爭等等。這時競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問題當作對策問題來求解?！?.1對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結果。先考察幾個實際例子。

例8.1

（田忌賽馬）

田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個等級的馬各一匹進行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。

例8.2

（石頭—剪子—布）這是一個大多數(shù)人小時候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時不得分，見下表。表8.1石頭剪子布石頭01－1剪子－101布1－10例8.3

（囚犯的困惑）警察同時逮捕了兩人并分開關押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認，這兩個人都知道：如果他們雙方都不供認，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個月；如果雙方都供認偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認另一方不供認，則供認方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：表8.2嫌疑犯B供認不供認嫌疑犯A供認不供認（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯A、B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔心對方供認并希望受到最輕的懲罰，最保險的辦法自然是承認制造了偽幣。一、對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭）。局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結局的策略，在例8.3中，局中人是A、B兩名疑犯，警方不是局中人。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。從這些簡單實例中可以看出對策現(xiàn)象中包含的幾個基本要素。（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。對策問題中，對應于每一局中人存在著一個策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個策略，否則該局中人可從此對策問題中刪去，因為對他來講，不存在選擇策略的余地。應當注意的是，所謂策略是指在整個競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。例如下棋中的某步只能看和一個完整策略的組成部分，而不能看成一個完整的策略。當然，有時可將它看成一個多階段對策中的子對策。策略集合可以是有限集也可以是無限集。策略集為有限集時稱為有限對策，否則稱為無限對策。

記局中人i的策略集合為Si。當對策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個策略后，各方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個純局勢（簡稱局勢）。

例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A選擇策略i而B選策略j，則（i,j）就構成此對策的一個純局勢。顯然，SA與SB一共可構成m×n個純局勢，它們構成表8.3。對策問題的全體純局勢構成的集合S稱為此對策問題的局勢集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對策的結果用矢量表示，稱之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)F為定義在局勢集合S上的矢值函數(shù)，對于S中的每一純局勢S，F(xiàn)（S）指出了每一局中人在此對策結果下應贏得（或支付）的值。綜上所述，一個對策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I={1,…,k}，對每一i∈I，有一策略集合Si，當I中每一局中人i選定策略后得一個局勢s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)為在局勢s下局中人i的贏得（或支付）。本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結果可以推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。例如，表8.2就給出了例8.3的局勢集合和贏得函數(shù)。二、零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當純局勢確定后，A之所得恰為B之所失，或者A之所失恰為B之所得，即雙方所得之和總為零。在零和對策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若A有m種策略，B有n種策略，贏得矩陣

表示若A選取策略i而B選取策略j，則A之所得為aij（當aij<0時為支付）。在有些兩人對對策的贏得表表中，A之所所得并非明顯顯為B之所失失，但雙方贏贏得數(shù)之和為為一常數(shù)。例例如在表8.4中，無論論A、B怎樣樣選取策略，，雙方贏得總總和均為10，此時，若若將各人贏得得數(shù)減去兩人人的平均贏得得數(shù)，即可將將贏得表化為為零和贏得表表。表8.4中的對策在在轉化為零和和對策后，具具有贏得矩陣陣表8.4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)給定一個兩人人對策只需給給出局中人A、B的策略略集合SA、SB及表示雙方贏贏得值的贏得得矩陣R。綜上所述，，當遇到零和和對策或可轉轉化為零和對對策的問題時時，R可用通常意義義下的矩陣表表示，否則R的元素為一兩兩維矢量。故兩人對策G又可稱為矩陣陣對策并可簡簡記成G={SA,SB,R}例8.4

給定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

從R中可以看出，若A希望獲得最大贏利30，需采取策略1，但此時若B采取策略4，A非但得不到30，反而會失去22。為了穩(wěn)妥，雙方都應考慮到對方有使自己損失最大的動機，在最壞的可能中爭取最好的結果。局中人A采取策略1、2、3時，最壞的贏得結果分別為min{12,－－6,30,－22}=－－22min{14,2,18,10}=2min{－－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能為max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，無論B采取什么策略，A的贏得均不會少于2.B采取各方案的最大損失為max{12,14,－6}=14，max{－6,2,0}=2，max{30,18,－10}=30和max{－22,10,16}=16。當B采取策略2時，其損失不會超過2。注意到在贏得矩陣中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時，只要對方不改變策略，任一局中人都不可能通過變換策略來增大贏得或減小損失，稱這樣的局勢為對策的一個穩(wěn)定點或穩(wěn)定解，（注：也被稱為鞍點）定義8.1

對于兩人對策G={SA,SB,R}，若有，則稱G具有穩(wěn)定解，并稱VG為對策G的值。若純局勢（）使得，則稱（）為對策G的鞍點或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（）相對應的元素稱為贏得矩陣的鞍點，與分別稱為局中人A與B的最優(yōu)策略。對（8.1））式中的贏得得矩陣，容易易發(fā)現(xiàn)不存在在具有上述性性質的鞍點。。給定一個對對策G，如何判斷它它是否具有鞍鞍點呢？為了了回答這一問問題，先引入入下面的極大大極小原理。。定理8.1

設G={SA,SB,R}，記，則必有μ+ν≤0證明:，易見μ為A的最小贏得，，ν為B的最小贏得，，由于G是零和對策，，故μ+ν≤0必成立。。定理8.2零和對策G具有穩(wěn)定解的充要要條件為μ+ν=0。。證明：（充分性）由μ和ν的定義可知，存在一行（例如p行）μ為p行中的最小元素且存在一列（例如q列），－ν為q列中的最大元素。故有apq≥μ且apq≤－ν又因μ+ν=0，所以μ=－ν，從而得出apq=μ，apq為贏得矩陣的鞍點，（p,q）為G的穩(wěn)定解。

（必要性）若G具有穩(wěn)定解（p,q），則apq為贏得矩陣的鞍點。故有

從而可得μ+ν≥0，但但根據(jù)定理8.1，μ+ν≤0必成成立，故必有有μ+ν=0。上述定理給出出了對策問題題有穩(wěn)定解（（簡稱為解））的充要條件件。當對策問問題有解時，，其解可以不唯唯一。例如，若則易見，（2,2），（2,4），（4,2），（4,4）均為此對策問題的解。一般又可以證明。定理8.3對對策問題題的解具有下下列性質：（1）無差別性。若（,）與（,）同為對策G的解，則必有。（2）可交換性。若（,j1）、（,j2）均為對策G的解，則（,j2）和（,j1）也必為G的解。

定理8.3的的證明非常容容易，作為習習題留給讀者者自己去完成成。具有穩(wěn)定解的零和對策問題是一類特別簡單的對策問題，它所對應的贏得矩陣存在鞍點，任一局中人都不可能通過自己單方面的努力來改進結果。然而，在實際遇到的零和對策中更典型的是μ+ν≠0的情況。由于贏得矩陣中不存在鞍點，至少存在一名局中人，在他單方面改變策略的情況下，有可能改善自己的收益。例如，考察（8.1）中的贏得矩陣R。若雙方都采取保守的maxmin原則，將會出現(xiàn)純局勢（

4,1）或（4,3）。但如果局中人A適當改換策略，他可以增加收入。例如，如果B采用策略1，而A改換策略1，則A可收益3。但此時若B改換策略

2，又會使A輸?shù)?，……。此時，在只使用純策略的范圍內，對策問題無解。這類決策如果只進行一次，局中人除了碰運氣以外別無辦法。但如果這類決策要反復進行多次，則局中人固定采用一種策略顯然是不明智的，因為一旦對手看出你會采用什么策略，他將會選用對自己最為有利的策略。這時，局中人均應根據(jù)某種概率來選用各種策略，即采用混合策略的辦法，使自己的期望收益盡可能大。

設A方用概率xi選用策略i，B方用概率yj選用策略j，，且雙方每次選用什么策略是隨機的，不能讓對方看出規(guī)律，記X=(x1,…,xm)T，Y=(y1,…,yn)T，則A的期望贏得為為E(X,Y)=XTRY其中，R為A方的贏得矩陣陣。記SA:策略α1,…,αmSB:策略β1,…,βn概率x1,…,xm概率y1,…,yn分別稱SA與SB為A方和B方的混合策略略。對于需要使用用混合策略的的對策問題，，也有具有穩(wěn)穩(wěn)定解的對策策問題的類似似結果。定義8.2若存在m維概率向量和n維概率向量，使得對一切m維概率向量X和n維概率向量y有則稱（,）為混合策略對策問題的鞍點。定理8.4（VonNeumann）任意混合策略對策問題必存在鞍點，即必存在概率向量和，使得：（證明從略）。使用純策略的的對策問題（（具有穩(wěn)定解解的對策問題題）可以看成成使用混合策策略的對策問題的特殊情情況，相當于于以概率1選選取其中某一一策略，以概概率0選取其其余策略。對于雙方均只只有兩種策略略的對策問題題（即2×2對策），可可按幾何方法法求解。借助幾何方法法也可以解m×2或2×n的使用混合策策略的對策問問題。但當m>2且n>2時，采用用幾何方法求求解就變得相相當麻煩，此時通常采用用線性規(guī)劃方法求解。A方選擇混合策略的目的是使得其中ej為只有第j個分量為1而其余分量均為零的向量，Ej

=XTRej。記，由于，在yk=1，yj=0（j≠k）時達到最大值u，

故應為線性規(guī)劃問題

minu

,j=1,2,…,n(即Ej≤Ek)xi≥0,i=1,2,…,mS.t的解。同理，應為線性規(guī)劃maxν

,i=1,2,…,myj≥0,i=1,2,…,nS.t的解。由線性規(guī)劃知知識，（8.2）與（8.3）互為為對偶線性規(guī)規(guī)劃，它們具具有相同的最最優(yōu)目標函數(shù)數(shù)值。關于線線性規(guī)劃對偶偶理論，有興興趣的讀者可可以參閱有關關書籍，例如如魯恩伯杰的的“線性與非非線性規(guī)劃引引論”。為了尋找例8.5中A方方的最優(yōu)混合合策略，求解解線性規(guī)劃minux1+x2≤ux1+0.58x2≤ux1+x2=1x1,x2≥0可得最優(yōu)混合合策略x1=0.7,x2=0.3。類類似求解線性性規(guī)劃maxυy1+y2≤υy1+0.58y2≥υy1+y2=1y1,y2≥0可得B方最優(yōu)優(yōu)混合策略：：y1=0.7,y2=0.3。三、非零和對對策除了零和對策策外，還存在在著另一類對對策問題，局局中人獲利之之和并非常數(shù)數(shù)。例8.4現(xiàn)有一對策問問題，雙方獲獲利情況見表表8.5。表8.5B方A方1231234（8,2）（3,4）（1,6）（4,2）（0,9）（9,0）（6,2）（4,6）（7,3）（2,7）（8,1）（5,1）假如A、B雙雙方仍采取穩(wěn)穩(wěn)妥的辦法，，A發(fā)現(xiàn)如采采取策略4，，則至少可獲獲利4，而B發(fā)現(xiàn)如采取取策略1，則則至少可獲利利2。因而，，這種求穩(wěn)妥妥的想法將導導至出現(xiàn)局勢勢（4，2））。容易看出，從從整體上看，，結果并不是是最好的，因因為雙方的總總獲利有可能能達到10。。不難看出，，依靠單方面面的努力不一一定能收到良良好的效果。?？磥恚瑢@這一對策問題題，雙方最好好還是握手言言和，相互配配合，先取得得總體上的最最大獲利，然然后再按某一一雙方均認為為較為合理的的方式來分享享這一已經獲獲得的最大獲獲利。例8.4說明明，總獲利數(shù)數(shù)并非常數(shù)的的對策問題（（即不能轉化化為零和對策策的問題），，是一類存在在著合作基礎礎的對策問題題。當然，這這里還存在著著一個留待解解決而又十分分關鍵的問題題：如何分享享總獲利，如如果不能達到到一個雙方（（或各方）都都能接受的““公平”的分分配原則，則則合作仍然不不能實現(xiàn)。怎怎樣建立一個個“公平”的的分配原則是是一個較為困困難的問題，，將在第九章章中介紹。最后，我們來來考察幾個對對策問題的實實例。例8.6（戰(zhàn)例分析））1944年年8月，美軍軍第一軍和英英軍占領法國國諾曼第不久久，立即從海海防前線穿過過海峽，向Avranches進軍軍。美軍第一一軍和英軍的的行動直接威威脅到德軍第第九軍。美軍軍第三軍也開開到了Avranches的南部，，雙方軍隊所所處的地理位位置如圖8.2所示。美軍方面的指指揮官是Bradley將軍，德軍軍指揮官是VonKluge將軍軍。VonKluge將軍軍面臨的問題題是或者向西西進攻，加強強他的西部防防線，切斷美美軍援助；或或者撤退到東東部，占據(jù)塞塞那河流域的的有利地形，，并能得到德德軍第十五軍軍的援助。Bradley將軍的問問題是如何調調動他的后備備軍，后備軍軍駐扎在海峽峽南部。Bradley將軍有三種種可供選擇的的策略：他可可以命令后備備軍原地待命命，當海峽形形勢危急時支支援第一軍或或出擊東部敵敵人，以減輕輕第一軍的壓壓力。雙方應如何決決策，使自己己能有較大的的機會贏得戰(zhàn)戰(zhàn)爭的勝利呢呢？由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復進行的對策問題，看來最大的可能是美軍采取策略3而德軍采取策略2，即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤。事實上，當時雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實行，雙方勝負還難以料定。但正當?shù)萝姷诰跑妱傞_始東撤時，突然接到了希特勒的命令要他們向西進攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結局，走上必然滅亡的道路。VonKluge將軍指揮的德軍向西進攻，開始時德軍占領了海峽，但隨之即被美軍包圍遭到了全軍復滅，VonKluge本人在失敗后自殺。

§8.2決決策問題人們在處理問問題時，常常常會面臨幾種種可能出現(xiàn)的的自然情況，，同時又存在在著幾種可供供選擇的行動動方案。此時時，需要決策策者根據(jù)已知信息息作決策，即即選擇出最佳佳的行動方案案，這樣的問問題稱為決策策問題。面臨的幾種種自然情況叫叫做自然狀態(tài)或簡簡稱狀態(tài)。狀態(tài)是客觀存在的的，是不可控控因素?？晒┕┻x擇的行動動方案叫做策略，這是可控因因素，選擇哪哪一方案由決決策者決定。。例8.8在開采石油時時，會遇到是是否在某處鉆鉆井的問題。。盡管勘探隊隊已作了大量量調研分析，，但由于地下下結構極為復復雜，仍無法法準確預測開開采的結果，，決策者可以以決定鉆井，，也可以決定定不鉆井。設設根據(jù)經驗和和勘探資料，，決策者已掌掌握一定的信信息并列出表表8.7。表8.7000不鉆井（2）

4020－30鉆井（1）

P(3)=0.3

P(2)=0.5

P(1)=0.2

（億元）高產油井（3）

一般（2）

無油（1）

自然狀態(tài)概率

收益方案問：決策者應應如何作出決決策？解：由題意可以看出，決策問題應包含三方面信息：狀態(tài)集合Q={1,…,n}、策略集合A={1,…,m}及收益R={aij}，其中aij表示如果決策者選取策略i而出現(xiàn)的狀態(tài)為j，則決策者的收益值為aij（當aij為負值時表示損失值）。決策問題按自自然狀態(tài)的不不同情況，常常被分為三種種類型：確定定型、風險型型（或隨機型型）和不確定定型。確定型決策是是只存在一種可可能自然狀態(tài)態(tài)的決策問題題。這種決策問問題的結構較較為簡單，決決策者只需比比較各種方案案，確定哪一一方案最優(yōu)即即可。值得一一提的是策略略集也可以是是無限集，例例如，線性規(guī)規(guī)劃就可行看看成一個策略略集是限集的的確定型決策策，問題要求求決策者從可可行解集合（（策略集）中中挑選出最優(yōu)優(yōu)解。確定型型決策的求解解并非全是簡簡單的，但由由于這些問題題一般均有其其自己的專門門算法，本節(jié)節(jié)不準備再作作介紹。在本本節(jié)中，我們們主要討論風風險型與不確確定型決策，，并介紹它們們的求解方法法。一、風險型決決策問題在風險型決策策問題中存在在著兩種以上上可能出現(xiàn)的的自然狀態(tài)。。決策者不知知道究竟會出出現(xiàn)哪一種狀狀態(tài)，但知道各種狀狀態(tài)出現(xiàn)的概概率有多大。例如，例8.8就是一一個風險型決決策問題。對于風險型決策問題，最常用的決策方法是期望值法，即根據(jù)各方案的期望收益或期望損失來評估各方案的優(yōu)劣并據(jù)此作出決策。如對例1，分別求出方案1（鉆井）和2（不鉆井）的期望收益值：E（1）=0.2×（－30）+0.5×20+0.3×40=16（萬元）E（2）=0由于E（1）＞E（2），選取1作為最佳策略。對于較為復雜雜的決策問題題，尤其是需需要作多階段段決策的問題題，常采用較較直觀的決策策樹方法，但但從本質上講講，決策樹方法仍然是一種期期望值法。例8.9某工程按正常常速度施工時時，若無壞天天氣影響可確確保在30天天內按期完工工。但根據(jù)天天氣預報，15天后天氣氣肯定變壞。。有40%的的可能會出現(xiàn)現(xiàn)陰雨天氣而而不影響工期期，在50%的可能會遇遇到小風暴而而使工期推遲遲15天，另另有10%的的可能會遇到到大風暴而使使工期推遲20天。對于于可能出現(xiàn)的的情況，考慮慮兩種方案：：（1）提前緊緊急加班，在在15天內完完成工程，實實施此方案需需增加開支18000元元。（2）先按正正常速度施工工，15天后后根據(jù)實際出出現(xiàn)的天氣狀狀況再作決策策。如遇到陰雨天天氣，則維持持正常速度，，不必支付額額外費用。如遇到小風暴暴，有兩個備備選方案：（（i）維持正正常速度施工工，支付工程程延期損失費費20000元。（ii）采取應急急措施。實施施此應急措施施有三種可能能結果：有50%可能減減少誤工期1天，支付應應急費用和延延期損失費共共24000元；有30%可能減少少誤工期2天天，支付應急急費用和延期期損失費共18000元元；有20%可能減少誤誤工期3天，，支付應急費費用和延期損損失費共12000元。。如遇大風暴，，也有兩個方方案可供選擇擇：（i）維維持正常速度度施工，支付付工程延期損損失費50000元。（（ii）采取取應急措施。。實施此應急急措施也有三三種可能結果果：有70%可能減少誤誤工期2天，，支付應急費費及誤工費共共54000元；有20%可能減少少誤工期3天天，支付應急急費及誤工費費共46000元；有10%可能減減少誤工期4天，支付應應急費和誤工工費共38000元。根據(jù)上述情況況，試作出最最佳決策使支支付的額外費費用最少。解：由于未來來的天氣狀態(tài)態(tài)未知，但各各種天氣狀況況出現(xiàn)的概率率已知，本例例是一個風險險型決策問題題，所謂的額額外費用應理理解為期望值值。本例要求作多多次決策，工工程初期應決決定是按正常常速度施工還還是提前緊急急加班。如按按正常速度施施工，則15天后還需根根據(jù)天氣狀況況再作一次決決策，以決定定是否采取應應急措施，故故本例為多階階段（兩階段段）決策問題題。為便于分分析和決策，，采用決策樹樹方法。根據(jù)題意，作作決策樹如圖圖8.6圖8.6中，，□表示決策策點，從它分分出的分枝稱稱為方案分枝枝，分枝的數(shù)數(shù)目就是方案案的個數(shù)?！稹鸨硎緳C會節(jié)節(jié)點，從它分分出的分枝稱稱為概率分枝枝，一條概率率分枝對應一一條自然狀態(tài)態(tài)并標有相應應的發(fā)生概率率?！鞣Q為未未梢節(jié)點，右右邊的數(shù)字表表示相應的收收益值或損失失值。在決策樹上由由右向左計算算各機會節(jié)點點處的期望值值，并將結果果標在節(jié)點旁旁。遇到決策策點則比較各各方案分枝的的效益期望值值以決定方案案的優(yōu)劣，并并且用雙線劃劃去淘汰掉的的方案分枝，，在決策點旁旁標上最佳方方案的效益期期望值，計算算步驟如下：：（1）在機會會節(jié)點E、F處計算它們們的效益期望望值E(E)=0.5×（－24000））＋0.3××（－18000）＋0.2×（－－12000）=－19800E(F)=0.7×（－54000））＋0.2××（－46000）＋0.1×（－－38000）=－50800（2）在第一一級決策點C、D處進行行比較，在C點處劃去正正常速度分枝枝，在D處劃劃去應急分枝枝。（3）計算第第二級機會節(jié)節(jié)點B處的效效益期望值E(B)=0.4×0＋0.5×（－－19800）＋0.1×（－50000）=－14900并將－14900標在B點旁。（4）在第二二級決策點A處進行方案案比較，劃去去提前緊急加加班，將－14900標標在A點旁。。結論最佳佳決策為前15天按正常常速度施工，，15天后按按實際出現(xiàn)的的天氣狀況再再作決定。如如出現(xiàn)陰雨天天氣，仍維持持正常速度施施工；如出現(xiàn)現(xiàn)小風暴，則則采取應急措措施；如出現(xiàn)現(xiàn)大風暴，也也按正常速度度施工，整個個方案總損失失的期望值為為－14900元。根據(jù)期望值大大小決策是隨隨機型決策問問題最常用的的辦法之一。。實際應用時時應根據(jù)具體體情況作出分分析，選取期期望收益最大大或期望損失失最小的方案案。二、不確定型型決策問題只知道有幾種種可能自然狀狀態(tài)發(fā)生，但但各種自然狀狀態(tài)發(fā)生的概概率未知的決決策問題稱為為不確定型決決策問題，由由于概率未知知，期望值方方法不能用于于這類決策問問題。下面結結合一個例子子，介紹幾種種處理這類問問題的方法。。例8.10設設存在在五種可能的的自然狀態(tài)，，其發(fā)生的概概率未知。有有四種可供選選擇的行動方方案，相應的的收益值見表表8.7表8.866653415964387543266544154321自然狀態(tài)方案（1）樂觀法法（maxmax原則則）采用樂觀法時，決策者意在追求最大可能收益。他先計算每一方案的最大收益值，再比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例8.10中，maxa1j=6，maxa2j=8，maxa3j=9，maxa4j=6，而max{6，8，9，6}=9，采取方案3。（2）悲觀法法（maxmin原則則）采用悲觀法時，決策者意在安全保險。他先求每一方案的最小收益,再比較找出其中的最大者，并采取這一使最小收益值最大化的方案。對于例8.10，mina1j=4，mina2j=3，mina3j=1，mina4j=3。因為max{4,3，1，3}=4,采取方案1。（3）樂觀系系數(shù)法（Hurwicz決策準則））樂觀系數(shù)法采采用折中的辦辦法，引入一一個參數(shù)t，0≤t≤1，稱t為樂觀系數(shù)。。作決策時，決策者先適當選取一個t的值；再對各方案1求出；最后再作比較，找出使最大的方案。在例8.10中，若取t=0.5，采用樂觀系數(shù)法決策，將選取方案2。易見，t=1對應樂觀法，而t=0則對應于悲觀法。（4）等可能能法（Laplace準準則）由于不能估計各狀態(tài)出現(xiàn)的概率，決策者認為它們相差不會過大。此時，決策者采用將各狀態(tài)的概率取成相同值的辦法把問題轉化為風險型，并借用風險型問題的期望值法來決策。對于例8.10，如取各狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為0.2，用期望值法決策，將選取策略2。不難難看看出出，，對對于于不不確確定定型型決決策策問問題題，，不不論論采采用用什什么么方方法法決決策策，，最最終終采采用用的的策策略略都都不不能能稱稱為為最最佳佳策策略略。。事事實實上上，，采采取取什什么么方方法法決決策策與與決決策策者者的的心心理理狀狀態(tài)態(tài)有有關關。。而而且且，，即即使使對對同同一一決決策策者者，，在在處處理理不不同同決決策策問問題題時時也也可可能能采采取取不不同同的的方方法法。。例例如如，，在在決決定定購購買買幾幾元元錢錢一一張張的的對對獎獎券券時時，，決決策策者者也也許許會會采采用用樂樂觀觀法法。。因因為為幾幾元元錢錢的的損損失失對對他他來來講講是是無無所所謂謂的的事事，，小小額額獎獎金金他他也也許許看看不不上上眼眼，，要要中中就就來來個個大大獎獎。。但但是是，，在在決決策策購購買買何何種種股股票票時時，，因因為為關關系系重重大大，，也也許許他他為為了了保保險險又又會會采采取取悲悲觀觀法法。。同同而而，，不不確確定定型型問問題題的的決決策策充充其其量量只只能能算算是是在在決決策策者者某某種種心心理理狀狀態(tài)態(tài)下下的的選選優(yōu)優(yōu)。。要作出較較符合實實際情況況的決策策，還需需決策者者多作些些調查研研究，以以便對未未來自然然狀態(tài)的的出現(xiàn)作作出較符符合客觀觀實際的的預測，，才能收收到較好好的效果果?！?.3層層次分析析法建模模層次分析析法是對對一些較為復雜雜、較為為模糊的問題作作出決策策的簡易易方法，，它特別別適用于于那些難于完全全定量分分析的問題。。社會的的發(fā)展導導致了社社會結構構、經濟濟體系及及人們之之間相互互關系的的日益復復雜，人人們希望望能在錯錯綜復雜雜的情況況下，利利用各種種信息，，通過理理智的、、科學的的分析，，作出最最佳決策策。例如如，生產產者面對對消費者者的各種種喜好或或競爭對對手的策策略要作作出最佳佳決策；；消費者者面對琳琳瑯滿目目的商品品要根據(jù)據(jù)它們的的性能質質量的好好壞、價價格的高高低、外外形的美美觀程度度等選擇擇自己最最為滿意意的商品品；畢業(yè)業(yè)生要根根據(jù)自己己的專業(yè)業(yè)特長、、社會的的需求情情況、福福利待遇遇的好壞壞等挑選選最為合合意的工工作；科科研單位位要根據(jù)據(jù)項目的的科學意意義和實實用價值值的大小小、項目目的可行行性、項項目的資資助情況況及周期期長短等等選擇最最合適的的研究課課題………。當我我們面對對這類決決策問題題時，容容易發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，影響響我們作作決策的的因素很很多，其其中某些因因素存存在定定量指指標，，可以以給以以度量量，但但也有有些因因素不不存在在定量量指標標，只只能定定性地地比較較它們們的強強弱。在處處理這這類比比較復復雜而而又比比較模模糊的的問題題時，，如何何盡可能能克服服因主主觀臆臆斷而而造成成的片片面性性，較較系統(tǒng)統(tǒng)、全全面地地比較較分析析并作作出較較為明明智的的決策策呢？Saaty.T.L等人人在70年年代提提出了了一種種以定性與與定量量相結結合，，系統(tǒng)統(tǒng)化、、層次次化分析問問題的的方法法，稱稱為層次分分析法法（AnalyticHiearchyProcess，，簡稱稱AHP））。層層次分分析法法將人人們的的思維維過程程層次次化，，逐層層比較較其間間的相相關因因素并并逐層層檢驗驗比較較結果果是否否合理理，從從而為為分析析決策策提供供了較較具說說服力力的定定量依依據(jù)，，層次次分析析法的的提出出不僅僅為處處理這這類問問題提提供了了一種種實用用的決決策方方法，，而且且也提提供了了一個個在處處理機機理比比較模模糊的的問題題時，，如何何通過過科學學分析析，在在系統(tǒng)統(tǒng)全面面分析析機理理及因因果關關系的的基礎礎上建建立數(shù)數(shù)學模模型的的范例例。一、層層次分分析的的基本本步驟驟層次分分析過過程可可分為為四個個基本本步驟驟：（（1））建立立層次次結構構模型型；（（2））構造造出各各層次次中的的所有有判斷斷矩陣陣；（（3））層次次單排排序及及一致致性檢檢驗；；（4）層層次總總排序序及一一致性性檢驗驗。下面通通過一一個簡簡單的的實例例來說說明各各步驟驟中所所做的的工作作。例8.13某工廠廠有一一筆企企業(yè)留留成利利潤要要由廠廠領導導決定定如何何使用用?？煽晒┻x選擇的的方案案有：：給職職工發(fā)發(fā)獎金金、擴擴建企企業(yè)的的福利利設施施（改改善企企業(yè)環(huán)環(huán)境、、改善善食堂堂等））和引引進新新技術術新設設備。。工廠廠領導導希望望知道道按怎怎樣的的比例例來使使用這這筆資資金較較為合合理。。步1建建立層層次結結構模模型在用層層次分分析法法研究究問題題時，，首先先要根根據(jù)問問題的的因果果關系系并將將這些些關系系分解成成若干干個層層次。較簡簡單的的問題題通常常可分分解為為目標層層（最最高層層）、準則層層（中中間層層）和方案措措施層層（最最低層層）。與其他他決策策問題題一樣樣，研研究分分析者者不一一定是是決策策者，，不應應自作作主張張地作作出決決策。。對于于本例例，如如果分分析者者自行行決定定分配配比例例，廠廠領導導必定定會詢詢問為為什么么要按按此比比例分分配，，符合合決策策者要要求的的決策策來自自于對對決策策者意意圖的的真實實了解解。經經過雙雙方溝溝通，，分析析者了了解到到如下下信息息：決決策者者的目目的是是合理理利用用企業(yè)業(yè)的留留成利利潤，，而利利潤的的利用用是否否合理理，決決策者者的主主要標標準為為：（（1））是否否有利利于調調動企企業(yè)職職工的的積極極性，，（2）是是否有有利于于提高高企業(yè)業(yè)的生生產能能力，，（3）是是否有有利于于改善善職工工的工工作、、生活活環(huán)境境。分分析者者可以以提出出自己己的看看法，，但標標準的的最終終確定定將由由決策策者決決定。。根據(jù)決決策者者的意意圖，，可以以建立立起本本問題題的層層次結結構模模型如如圖8.7所示示。合理利用企業(yè)利潤調動職工積極性C1提高企業(yè)技術水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴建福利事業(yè)P2引進新設備P3目標層O準則層C措施層P圖中的的連線線反映映了因因素間間存在在的關關聯(lián)關關系，，哪些些因素素存在在關聯(lián)聯(lián)關系系也應應由決決策者者決定定。對于因果關關系較為復復雜的問題題也可以引引進更多的的層次。例例如，在選選購電冰箱箱時，如以以質量、外外觀、價格格、品牌及及信譽等為為準則，也也許在衡量量質量優(yōu)劣劣時又可分分出若干個個不同的子子準則，如如制冷性能能、結霜情情況、耗電電量大小等等等。建立層次結結構模型是是進行層次次分析的基基礎，它將將思維過程程結構化、、層次化，，為進一步步分析研究究創(chuàng)造了條條件。步2構構造判斷矩矩陣層次結構反反映了因素素之間的關關系，例如如圖10.7中目標標層利潤利利用是否合合理可由準準則層中的的各準則反反映出來。。但準則層層中的各準準則在目標標衡量中所所占的比重重并不一定定相同，在在決策者的的心目中，，它們各占占有一定的的比例。在確定影響響某因素的的諸因子在在該因素中中所占的比比重時，遇遇到的主要要困難是這些比重常常常不易定定量化。雖然你必必須讓決策策者根據(jù)經經驗提供這這些數(shù)據(jù)，，但假如你你提出“調調動職工積積極性在判判斷利潤利利用是否合合理中占百百分之幾的的比例”之之類的問題題，不僅會會讓人感到到難以精確確回答，而而且還會使使人感到你你書生氣十十足，不能能勝任這一一工作。此此外，當影影響某因素素的因子較較多時，直直接考慮各各因子對該該因素有多多大程度的的影響時，，常常會因因考慮不周周全、顧此此失彼而使使決策者提提出與他實實際認為的的重要性程程度不相一一致的數(shù)據(jù)據(jù)，甚至有有可能提出出一組隱含含矛盾的數(shù)數(shù)據(jù)。為看清這一一點，可作作如下設想想：將一塊塊重為1千千克的石塊塊砸成n小塊，你可可以精確稱稱出它們的的質量，設設為w1,…,wn?，F(xiàn)在，請請人估計這這n小塊的重量量占總重量量的比例（（不能讓他他知道各小小石塊的重重量），此此人不僅很很難給出精精確的比值值，而且完完全可能因因顧此失彼彼而提供彼彼此矛盾的的數(shù)據(jù)。設現(xiàn)在要比較n個因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應為。定義8.4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。關于如何確確定aij的值，Saaty等等建議引用用數(shù)字1~9及其其倒數(shù)作為標度。。他們認為為，人們在在成對比較較差別時，，用5種判判斷級較為為合適。即即使用相等等、較強、、強、很強強、絕對地地強表示差差別程度，，aij相應地取1,3,5,7和9。在成對對事物的差差別介于兩兩者之間難難以定奪時時，aij可分別取值值2、4、、6、8。。從心理學觀觀點來看，，分級太多多會超越人人們的判斷斷能力，既既增加了作作判斷的難難度，又容容易因此而而提供虛假假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用用實驗方法法比較了在在各種不同同標度下人人們判斷結結果的正確確性，實驗驗結果也表表明，采用用1~9標標度最為合合適。如果在構造造成對比較較判斷矩陣陣時，確實實感到僅用用1~9及及其倒數(shù)還還不夠理想想時，可以以根據(jù)情況況再采用因因子分解聚聚類的方法法，先比較較類，再比比較每一類類中的元素素。步3層層次單單排序及及一致性性檢驗上述構造造成對比比較判斷斷矩陣的的辦法雖雖能減少少其他因因素的干干擾影響響，較客客觀地反反映出一一對因子子影響力力的差別別。但綜綜合全部部比較結結果時，，其中難難免包含含一定程程度的非非一致性性。如果果比較結結果是前前后完全全一致的的，則矩矩陣A的的元素還還應當滿滿足：

i、j、k=1,2,…,n

定義8.5滿滿足（（8.5）關系系式的正正互反矩矩陣稱為為一致矩矩陣。如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構造出的成對比較判斷矩陣應當是一個一致矩陣。但構造成對比較判斷矩陣A共計要作次比較（設有n個因素要兩兩比較），保證A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結果嚴格滿足一致性，在n較大時幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時采用了1~9標度，已經接受了一定程度的誤差，就不應再要求最終判斷矩陣的嚴格一致性。如何檢驗構造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質的基礎上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗方法。定理8.7正互反矩矩陣A的的最大特特征根λλmax必為正實實數(shù)，其其對應特特征向量量的所有有分量均均為正實實數(shù)。A的其余余特征根根的模均均嚴格小小于λmax。（證明明從略））現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質，回復到將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結果完全一致，則構造出來的一致矩陣為容易看出出，一致致矩陣A具有以以下性質質：根據(jù)定理理8.9，我們們可以由由λmax是否等于于n來檢驗判判斷矩陣陣A是否否為一致致矩陣。。由于特特征根連連續(xù)地依依賴于aij，故λmax比n大得越多多，A的的非一致致性程度度也就越越為嚴重重，λmax對應的標標準化特特征向量量也就越越不能真真實地反反映出X={x1,…,xn}在對因因素Z的的影響中中所占的的比重。。因此，，對決策策者提供供的判斷斷矩陣有有必要作作一次一一致性檢檢驗，以以決定是是否能接接受它。。為確定多多大程度度的非一一致性是是可以允允忍的，，Saaty等等人采用用了如下下辦法：：（1）求出，稱CI為A的一致性指標。容易看出出，當且且僅當A為一致致矩陣時時，CI=0。。CI的值越大大，A的的非一致致性越嚴嚴重。利用線性性代數(shù)知知識可以以證明，，A的n個特征根根之和等等于其對對角線元元素之和和（即n）故CI事實上是是A的除除λmax以外其余余n－1個特特征根的的平均值值的絕對對值。若若A是一一致矩陣陣，其余余n－1個特特征根均均為零，，故CI=0；否否則，CI>0，其其值隨A非一致致性程度度的加重重而連續(xù)續(xù)地增大大。當CI略大于零零時（對對應地，，λmax稍大于n），A具具有較為為滿意的的一致性性；否則則，A的的一致性性就較差差。（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴重程度，但仍未能指明該非一致性是否應當被認為是可以允許的。事實上，我們還需要一個度量標準。為此，Saaty等人又研究了他們認為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機抽取的數(shù)字構造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機機一致性性指標。對n=1,……,11,，Saaty給出出了RI的值，如如表8.10所所示。表8.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（3）將將CI與RI作比較，，定義稱CR隨機一致性比率。經大量實例比較，Saaty認為，在CR<0.10時可以認為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應當重新調整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應先求出A的最大特征根λmax及λmax對應的特征向量W=（w1,…,wn）T，進行標準化，使得。再對A作一致性檢驗：計算，查表得到對應于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時，W的分量才可用作層次單排序的權重?，F(xiàn)對本節(jié)節(jié)例8.13（（即合理理利用利利潤問題題的例子子）進行行層次單單排序。。為求出C1、C2、C3在目標層層A中所所占的權權值，構構造O－C層的成對對比較矩矩陣，設設構造出出的成對對比較判判斷知陣陣A=311153C1C2C3C1C2C30于是經計計算，A的最大大特征根根λmax=3.038，，CI=0.019，，查表得得RI=0.58，，故CR=0