中考數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí) 第五講 三角形 講義

必備拿分技巧–三角形A|近五年各模塊考查情況B|高頻考點(diǎn)分析三角形的知識(shí)點(diǎn)覆蓋考點(diǎn)一：直角三角形考點(diǎn)二：全等三角形考點(diǎn)三：相似三角形考點(diǎn)1直角三角形(一)“勾3股4弦5”型 (二)“1、1、”型 (三)“1、2、”型在RtΔABC中，∠C=90°

AB=3，AC=1.8，求BC.策略：總結(jié)歸納出解題模型來(lái)解答勾股定理中的計(jì)算問(wèn)題，可以提高計(jì)算的速度，還可以利用三角函數(shù)的定義來(lái)求出特殊角的三角函數(shù)值，對(duì)于等腰三角形需要背得它的性質(zhì)與判定，結(jié)合分類討論的思想來(lái)解題.例1．已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊上的點(diǎn)，且EA=EC．若AB=6，，則DE的長(zhǎng)是________．策略：勾股定理與方程思想解決計(jì)算問(wèn)題.預(yù)測(cè)：如圖將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處，已知CE=3，AB=8，則BF=．考點(diǎn)2全等三角形(一)對(duì)稱型將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合,這種類型都隱含了一條公共邊或者公共角.例1.如圖，AB=AD，CB=CD．求證：∠B=∠D．(二)旋轉(zhuǎn)型將原圖形繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)一定角度，這種類型都隱含了一個(gè)相等角.例2.(本小題滿分6分)如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2.求證：BC=DE.(三)平移型將原圖形沿著某一方向移動(dòng)一段距離，這種類型都隱含了一段重疊的線段.例3.如圖，點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF，AB=DE,AC=DF.求證：∠ABC=∠DEF.平移旋轉(zhuǎn)型例4.如圖，E、F是線段BD上的兩點(diǎn)，且DF=BE，AE=CF，AE//CF，求證：AD//BC.策略:注意標(biāo)注圖形，背得全等三角形的判定.預(yù)測(cè)1：平移型全等如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，AB=CD，CE與BF交于點(diǎn)O，∠E=∠EOF=∠F，求證：CE=DF.預(yù)測(cè)2：旋轉(zhuǎn)型全等如圖，AE和BD相交于點(diǎn)C，AB//DE，AC=EC.求證：△ABC≌△EDC.例5.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的點(diǎn)，AF=AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點(diǎn)確定的圓的周長(zhǎng)為l．(1)若△ABE的面積為30，直接寫出S的值；(2)求證：AE平分∠DAF；(3)若AE=BE，AB=4，AD=5，求l的值.全等輔助線策略：注意關(guān)鍵信息中點(diǎn)：倍長(zhǎng)中線；A=B+C/A–B=C型條件、結(jié)論：截長(zhǎng)補(bǔ)短預(yù)測(cè)3如圖1，菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接CE、CF．(1)求證：CE=CF；(2)如圖2，若H為AB上一點(diǎn)，連接CH，使∠CHB=2∠ECB，求證：CH=AH+AB．考點(diǎn)3相似三角形相似三角形提分策略：相似在中考解答題中一般不單獨(dú)考查，它作為一個(gè)工具綜合四邊形、函數(shù)、圓，但首先要掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)刷題歸納總結(jié)出相似三角形的模型，提高學(xué)生解答相似三角形相關(guān)知識(shí)的能力，特別在解答壓軸題中隨時(shí)考慮到三把火之一的相似三角形知識(shí).相似模型“A型”“X型”例1．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，若DE//BC，，則=________.例2．如圖，已知AB//CD，若，則=______.相似模型“K型”例3．如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點(diǎn)(DP<CP)，∠APB=90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN//MP交DC于點(diǎn)N．(1)求證：AD2=DP·PC；(2)請(qǐng)判斷四邊形PMBN的形狀，并說(shuō)明理由；(3)如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，求的值．預(yù)測(cè)：已知，如圖1，將△AED繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△BEF，延長(zhǎng)FB到點(diǎn)C，使得BC=FB，連接DC．(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)如圖2，點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G與點(diǎn)B、C不重合)，連接AG交DF于點(diǎn)H，連接HC，過(guò)點(diǎn)A作AK//HC，交DF于點(diǎn)K．①求證：HC=2AK；②當(dāng)點(diǎn)G是BC邊中點(diǎn)時(shí)，恰有HD=n·HK(n為正整數(shù))，求n的值．必備拿分技巧–三角形考點(diǎn)1直角三角形例1．當(dāng)點(diǎn)E在CD上： 當(dāng)點(diǎn)E在AB上 預(yù)測(cè)：6考點(diǎn)2全等三角形(一)對(duì)稱型例1.證明：在△ABC與△ADC中∴△ABC≌△ADC(SSS) …5分∴∠B=∠D …6分(二)旋轉(zhuǎn)型例2.證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴BC=DE.(三)平移型例3.思路：由BE=CF得BC=EF，再結(jié)合已知條件證得△ABC≌△DEF，可得∠ABC=∠DEF.平移旋轉(zhuǎn)型思路：由DF=BE得DE=BF，由AE//CF得∠AEF=∠EFC，再由等角的補(bǔ)角相等得∠AED=∠CFB，結(jié)合已知條件證得△DEA≌△BFC，可得∠D=∠B，從而AD//BC.預(yù)測(cè)1：平移型全等證明：∵∠E=∠EOF=∠F，∴AE//BF，CE//DF，∴∠A=∠FBD，∠ACE=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，∴△ACE≌△BDF(ASA)，∴CE=DF.預(yù)測(cè)2：旋轉(zhuǎn)型全等證明：∵AB//DE，∴∠A=∠E,∠B=∠D

在△BAC與△DEC中∴△BAC≌△DEC(AAS)例5.(1)S=60解：(2)(倍長(zhǎng)中線法)延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=ED，∴△ADE≌△HCE，∴AD=HC，AE=HE，∴AD+FC=HC+FC又∵AF=AD+FC，∴FH=HC+FC=AF，∴∠FAE=∠CHE，又∠DAE=∠CHE，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分∠DAF；(截長(zhǎng)補(bǔ)短法)延長(zhǎng)FC至點(diǎn)H，使得HC=AD，連結(jié)EH∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=ED，∠ADE=∠HCE，AD=HC，∴△ADE≌△HCE，∴∠DAE=∠CHE，∠AED=∠CEH∵AF=AD+FC，F(xiàn)H=HC+FC=AD+FC∴AF=FH∴∠FAE=∠CHE，又∠DAE=∠CHE，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分∠DAF；預(yù)測(cè)3(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，∵點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴，，∴BE=DF，在△BCE和△DCF中，∴△BCD≌△DCF(SAS)，∴CE=CF；(2)證明：延長(zhǎng)BA與CF，交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF//BC，AB//CD，∴∠G=∠FCD，∵點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，且AG//CD，∴AG=CD=AB，由(1)知△BCE≌△DCF，∴∠ECB=∠DCF，∵∠CHB=2∠ECB，∴∠CHB=2∠G，∵∠CHB=∠G+∠HCG，∴∠G=∠HCG，∴GH=CH，∴CH=AH+AG=AH+AB．考點(diǎn)3相似三角形相似模型“A型”“X型”例1．例2．相似模型“K型”例3．(1)證明：在矩形ABCD中，∠D=∠C=90°，AD=BC，∵∠APB=90°，∴∠3+∠1=∠3+∠2，∴∠1=∠2∴△ADP∽△PCB，∴，又∵AD=CB∴AD?CB=AD2=PC?DP(2)四邊形PMBN是菱形，證明：在矩形ABCD中，PN//MB，又∵PM//BN，∴四邊形PMBN是平行四邊形，又由折疊得∠3=∠4，∴∠4+∠6=∠3+∠1=90°，∴∠1=∠6，∵PN//MB∴∠1=∠5，∴∠6=∠5∴MP=MB∴平行四邊形PMBN是菱形.(3)∵，設(shè)DP=a，則AD=2a，∵AD2=DP·PC，∴PC=4a，AB=DC=5a，∵CP//AB，∴△PCF∽△BAF，∴，