《函數(shù)模型及其應(yīng)用》習(xí)題2

《函數(shù)模型及其應(yīng)用》習(xí)題（2）一、選擇題1．某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴(yán)重，最近三年測得沙漠增加值分別為萬公頃、萬公頃和萬公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是（）A．y＝ B．y＝eq\f(1,10)（x2＋2x）C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝＋log16x[答案]C[解析]當(dāng)x＝1時，否定B，當(dāng)x＝2時，否定D，當(dāng)x＝3時，否定A，故選C.2．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種成本不同的產(chǎn)品，原來按成本價出售，由于市場銷售發(fā)生變化，甲產(chǎn)品連續(xù)兩次提價，每次提價都是20%；同時乙產(chǎn)品連續(xù)兩次降價，每次降價都是20%，結(jié)果都以元出售，此時廠家同時出售甲、乙產(chǎn)品各一件，盈虧的情況是（）A．不虧不盈 B．賺元C．賺元 D．虧元[答案]D[解析]設(shè)甲、乙產(chǎn)品原來每件分別為x元、y元，則x（1＋20%）2＝，y（1－20%）2＝，∴x＝64，y＝144,64＋144－×2＝.3．甲、乙兩人沿著同一方向去B地．甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的時間使用速度v1，后一半的時間使用速度v2.關(guān)于甲、乙二人從A地到達B地的路程與時間的函數(shù)圖象及關(guān)系（其中橫軸t表示時間，縱軸s表示路程v1＜v2）可能正確的圖示分析為（）[答案]A[解析]∵v1＜v2，故甲前一半路程使用速度v1，用時間超過一半，乙前一半時間用速度v1，行走路程不到一半，∴選A.4．已知A、B兩地相距150km，某人開汽車以60km/h的速度從A地到達B地，在B地停留一小時后再以50km/h的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x表示為時間t的函數(shù)，表達式是（）A．x＝60tB．x＝60t＋50C．x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t(0≤t≤,150－50t(t>))D．x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150<t≤,150－50(t－<t≤,60t(0≤t≤))[答案]D[解析]從A地到B地的來回時間分別為：eq\f(150,60)＝，eq\f(150,50)＝3，x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t(0≤t≤,150<x≤,150－50(t－<t≤))故選D.5．“依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)”，國家征收個人所得稅是分段計算的，總收入不超過800元，免征個人所得稅，超過800元部分需征稅，設(shè)全月納稅所得額為x，x＝全月總收入－800元，稅率見下表：級數(shù)全月納稅所得額稅率1不超過500元部分5%2超過500元至2000元部分10%3超過2000元至5000元部分15%………9超過10000元部分45%某人一月份應(yīng)繳納此項稅款元，則他當(dāng)月工資總收入介于（）A．800～900元 B．900～1200元C．1200～1500元 D．1500～2600元[答案]C[解析]解法1：（估算法）由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人當(dāng)月工資應(yīng)在1300～1400元之間，故選C.解法2：（逆推驗證法）設(shè)某人當(dāng)月工資為1200元或1500元，則其應(yīng)納稅款分別為400×5%＝20元，500×5%＋200×10%＝45元．可排除A，B，D，故選C.6．某店從水果批發(fā)市場購得椰子兩筐，連同運費總共花了300元，回來后發(fā)現(xiàn)有12個是壞的，不能將它們出售，余下的椰子按高出成本價1元/個售出，售完后共賺78元．則這兩筐椰子原來的總個數(shù)為（）A．180 B．160C．140 D．120[答案]D[解析]設(shè)原來兩筐椰子的總個數(shù)為x，成本價為a元/個，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＝300,(a＋1)(x－12)＝300＋78))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝120,a＝)，故這兩筐椰子原來共有120個．7．在股票買賣過程中，經(jīng)常用兩種曲線來描述價格變化情況，一種是即時價格曲線y＝f（x），另一種是平均價格曲線y＝g（x），如f（2）＝3表示股票開始買賣后2小時的即時價格為3元；g（2）＝3表示2小時內(nèi)的平均價格為3元，下面給出了四個圖象，實線表示y＝f（x），虛線表示y＝g（x），其中正確的是（）[答案]C[解析]即時價格若一直下跌，則平均價格也應(yīng)該一直下跌，故排除A、D；即時價格若一路上升，則平均價格也應(yīng)一直上升，排除B.（也可以由x從0開始增大時，f（x）與g（x）應(yīng)在y軸上有相同起點，排除A、D），故選C.8．農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2007年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元），預(yù)計該地區(qū)自2008年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2012年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（）A．4200元～4400元 B．4400元～4600元C．4600元～4800元 D．4800元～5000元（注：當(dāng)0＜x＜1時，（1＋x）n≈1＋nx，要求精度不高時可用它估值．）[答案]B[解析]根據(jù)題意可得，2012年該地區(qū)農(nóng)民收入為1800（1＋6%）5＋1350＋5×160≈1800×（1＋5×6%）＋2150＝4490.故選B.二、填空題9．長為4、寬為3的矩形，當(dāng)長增加x，且寬減少eq\f(x,2)時面積最大，此時x＝________，最大面積S＝________.[答案]1，eq\f(25,2)[解析]S＝（4＋x）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(x,2)))＝－eq\f(x2,2)＋x＋12＝eq\f(25,2)－eq\f(1,2)（x－1）2，當(dāng)x＝1時，Smax＝eq\f(25,2).10．某養(yǎng)魚場，第一年魚的重量增長率為200%，以后每年魚的重量增長率都是前一年的一半，問經(jīng)過四年魚的重量是原來的________倍．[答案]eq\f(45,4)[解析]設(shè)原來魚重a，四年后魚重為a（1＋200%）（1＋100%）（1＋50%）（1＋25%）＝eq\f(45,4)a，eq\f(\f(45,4)a,a)＝eq\f(45,4).11．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系為y＝（eq\f(1,16)）t－a（a為常數(shù)）其圖象如圖．根據(jù)圖中提供的信息，回答問題：（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的關(guān)系式為________．（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降到毫克以下時，學(xué)生才可進入教室，那么從藥物釋放開始至少經(jīng)過______小時，學(xué)生才能回到教室．[解析]（1）設(shè)0≤t≤eq\f(1,10)時，y＝kt，將（,1）代入得k＝10，又將（,1）代入y＝（eq\f(1,16)）t－a中，得a＝eq\f(1,10)，（2）令（eq\f(1,16)）t－eq\f(1,10)≤得t≥，∴t的最小值為.三、解答題12．某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q（單位：元/102kg）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時間t50110250種植成本Q150108150（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.（2）利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本．[解析]（1）由提供的數(shù)據(jù)知道，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，從而用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一個進行描述時都應(yīng)有a≠0，而此時上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不吻合．所以，選取二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進行描述．以表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入Q＝at2＋bt＋c得到，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150＝2500a＋50b＋c，,108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,200)，,b＝－\f(3,2)，,c＝\f(225,2).))所以，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q＝eq\f(1,200)t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(225,2).（2）當(dāng)t＝－eq\f(－\f(3,2),2×(\f(1,200)))＝150天時，西紅柿種植成本最低為Q＝eq\f(1,200)·1502－eq\f(3,2)·150＋eq\f(225,2)＝100（元/102kg）．13．某房地產(chǎn)公司在如圖所示的五邊形上劃出一塊長方形地面建造一幢公寓，問如何設(shè)計才能使公寓占地面積最大？并求出最大值．[分析]當(dāng)M取在AE，AB，BC上得到的長方形面積算法不同，故要分三種情況討論．[解析]（1）當(dāng)M在BC邊上時，以BC和CD為鄰邊的長方形的面積最大．最大面積S1＝5600（m2）．（2）當(dāng)M在EA邊上時，以AE、ED邊鄰邊的長方形的面積最大，最大面積S2＝6000（m2）．（3）當(dāng)M在AB邊上時，不妨設(shè)圖中MQ＝x，則x∈[0,20]，∴MP＝PQ－MQ＝80－x，又OA＝20，OB＝30.由eq\f(OA,OB)＝eq\f(MQ,QB)?QB＝eq\f(3,2)x.∴MN＝Q