【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章§2.12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用精品課件 理 北師大

§2.12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

§2.12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考向瞭望?把脈高考考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)單調(diào)性如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)導(dǎo)數(shù)_________則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)___________則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減f′(x)>0f′(x)＜0思考感悟

1．若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0嗎？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充要條件？提示：函數(shù)f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，則f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件．2．函數(shù)的極值(1)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及其附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)<f(x0)，我們說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)_________，記作______________；如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)>f(x0)，就說(shuō)f(x0)是f(x)的一個(gè)_________，記作_________________極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_________極大值y極大值＝f(x0)極小值y極小值＝f(x0)．極值．(2)判別f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)：①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是____________②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是____________極大值．極小值．思考感悟

2．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？提示：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)在某點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件，即y＝f(x)在x0處取得極值必有f′(x0)＝0，但反過(guò)來(lái)不成立．如f(x)＝x3，則f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)，事實(shí)上f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，另一方面對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x)在x0的兩側(cè)異號(hào)，則x＝x0必是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)．3．函數(shù)的最值函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖像是一條___________的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值．連續(xù)不斷思考感悟

3．極值與最值有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部范圍對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)的極值不一定是最值，需對(duì)極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，或者考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．(3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．(4)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)y＝x3在x＝0處導(dǎo)數(shù)為零，但x＝0不是極值點(diǎn)．課前熱身1．(教材材習(xí)習(xí)題題改改編編)函數(shù)數(shù)f(x)＝x3＋ax＋b在區(qū)區(qū)間間(－1,1)上為為減減函函數(shù)數(shù)，，在在(1，＋＋∞)上為為增增函函數(shù)數(shù)，，則則()A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝1，b∈RC．a(chǎn)＝－3，b＝3D．a(chǎn)＝－3，b∈R答案：D2．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖像畫(huà)在同同一個(gè)直角坐坐標(biāo)系中，不不可能正確的的是()答案：D3．若函函數(shù)y＝ex＋mx有極值值，則則實(shí)數(shù)數(shù)m的取值值范圍圍是()A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1解析：：選B.y′＝ex＋m，函數(shù)數(shù)y＝ex＋mx有極值值，則則函數(shù)數(shù)y＝ex＋mx在定義義域內(nèi)內(nèi)不單單調(diào)，，∴m＜0.4．(原創(chuàng)題題)函數(shù)f(x)＝xlnx的單調(diào)調(diào)遞增增區(qū)間間是________．5．(教材習(xí)習(xí)題改改編題題)已知函數(shù)數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大大值與最最小值分分別為M，m，則M－m＝________.答案：32考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性此類(lèi)題主主要考查查求函數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)、單調(diào)調(diào)性的判判定以及及單調(diào)性性的應(yīng)用用，是高高考考查查的重點(diǎn)點(diǎn)，考題題可能以以小題形形式出現(xiàn)現(xiàn)，也可可以以中中檔大題題形式出出現(xiàn)．應(yīng)應(yīng)注意函函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)，，則f′(x)＞0是函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上遞增的的充分條條件，并并非充要要條件．．例1【思路點(diǎn)撥撥】對(duì)(1)，先求導(dǎo)導(dǎo)，再將將導(dǎo)函數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)化為為二次函函數(shù)問(wèn)題題，最后后通過(guò)對(duì)對(duì)二次函函數(shù)的討討論解決決問(wèn)題；；對(duì)(2)，由(1)作為基礎(chǔ)礎(chǔ)，(2)的求解就就變成了了增函數(shù)數(shù)、減函函數(shù)在定定區(qū)間上上的最值值問(wèn)題，，求解即即得．(2)當(dāng)a＝3時(shí)，方程程g(x)＝0有兩個(gè)不不同的實(shí)實(shí)根x1＝1，x2＝2.由(1)知，在[1，e2]內(nèi)，當(dāng)x＝2時(shí)f(x)取得極值值，f(1)＝0，f(2)＝2－3ln2，f(e2)＝e2－2e－2－5.因?yàn)閒(2)<f(1)<f(e2)，所以f(x)在區(qū)間[1，e2]上的值域域?yàn)閇2－3ln2，e2－2e－2－5]．【誤區(qū)警示示】本題對(duì)綜綜合能力力要求較較高，在在考場(chǎng)解解答中容容易出現(xiàn)現(xiàn)以下問(wèn)問(wèn)題：(1)求導(dǎo)失誤誤．不少少考生在在第一步步出現(xiàn)計(jì)計(jì)算上的的錯(cuò)誤，，而導(dǎo)致致失分．．考場(chǎng)上上作答時(shí)時(shí)，即使使到了最最后也要要沉著應(yīng)應(yīng)戰(zhàn)，把把該拿的的分拿到到手．(2)求導(dǎo)后不不能準(zhǔn)確確轉(zhuǎn)化為為二次函函數(shù)去討討論，而而是陷入入分式函函數(shù)的復(fù)復(fù)雜討論論中不能能自拔．．解決這這一點(diǎn)需需要有較較強(qiáng)的觀觀察能力力以及平平時(shí)解決決復(fù)雜問(wèn)問(wèn)題的基基本數(shù)學(xué)學(xué)功底，，這樣才才能保證證在考場(chǎng)場(chǎng)上的發(fā)發(fā)揮．(3)對(duì)第(1)問(wèn)解答，，影響著著第(2)問(wèn)的求解解．錯(cuò)誤誤的發(fā)生生就是因因?yàn)榈?1)問(wèn)解答的的失誤，，導(dǎo)致第第(2)問(wèn)得出錯(cuò)錯(cuò)誤結(jié)果果．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值求可導(dǎo)函函數(shù)f(x)的極值的的步驟：：(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗(yàn)f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左左右的符符號(hào)：如如果在根根的左側(cè)側(cè)附近為為正，右右側(cè)附近近為負(fù)，，那么函函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)根根處取得得極大值值；如果果在根的的左側(cè)附附近為負(fù)負(fù)，右側(cè)側(cè)附近為為正，那那么函數(shù)數(shù)y＝f(x)在這個(gè)根根處取得得極小值值．(2010年高考安安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與與極值．【思路點(diǎn)撥】列表討論【解】由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，例3當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下下表：【名師點(diǎn)評(píng)】可導(dǎo)函數(shù)的極極值點(diǎn)必須是是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為為0的點(diǎn)不一定是是極值點(diǎn)．可可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的的充要條件是是f′(x0)＝0，且在x0的左側(cè)與右側(cè)側(cè)的f′(x)的符號(hào)不同．．不可導(dǎo)的點(diǎn)點(diǎn)也可能是極極值點(diǎn)．①當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)，f′(x)隨x的變化情況如如下表：由此表可知f(x)在點(diǎn)x1，x2處分別取得極極大值和極小小值．②當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)，f′(x)隨x的變化情況如如下表：由此表可知f(x)在點(diǎn)x1，x2處分別取得得極大值和和極小值．．綜上所述，，當(dāng)a，b滿(mǎn)足b2＞a時(shí)，f(x)能取得極值值．考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求f(x)在[a，b]上的最大值值和最小值值的步驟：：(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．．(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與與端點(diǎn)處的的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中中最大的一一個(gè)是最大大值，最小小的一個(gè)是是最小值．．(2010年高考重慶慶卷)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)．．(1)求f(x)的表達(dá)式；；(2)討論g(x)的單調(diào)性，，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值值與最小值值．【思路點(diǎn)撥】(1)由g(x)是奇函數(shù)可可得關(guān)于a，b的方程，進(jìn)進(jìn)而求得a，b的值．(2)利用g′(x)討論g(x)的單調(diào)性，，進(jìn)而可求求得極值，，把g(x)的極值和在在[1,2]上的端點(diǎn)值值比較可求求得最值．．例2【名師點(diǎn)評(píng)】求在閉區(qū)間間[a，b]上連續(xù)，開(kāi)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函函數(shù)的最值值時(shí)，可將將過(guò)程簡(jiǎn)化化，即不用用判斷使f′(x)＝0成立的點(diǎn)是是極大值點(diǎn)點(diǎn)還是極小小值點(diǎn)，直直接將極值值點(diǎn)與端點(diǎn)點(diǎn)處的函數(shù)數(shù)值進(jìn)行比比較，就可可判定最大大(小)值．．考點(diǎn)四生活中的優(yōu)化問(wèn)題在求求實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題中中的的最最大大值值或或最最小小值值時(shí)時(shí)，，一一般般先先設(shè)設(shè)自自變變量量、、因因變變量量，，建建立立函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式，，并并確確定定其其定定義義域域，，利利用用求求函函數(shù)數(shù)最最值值的的方方法法求求解解，，注注意意結(jié)結(jié)果果應(yīng)應(yīng)與與實(shí)實(shí)際際情情況況相相符符合合．．用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求解解實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題中中的的最最大大(小)值時(shí)時(shí)，，如如果果函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)只只有有一一個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn)，，那那么么根根據(jù)據(jù)實(shí)實(shí)際際意意義義該該極極值值點(diǎn)點(diǎn)也也就就是是最最值值點(diǎn)點(diǎn)．．例4(1)試寫(xiě)寫(xiě)出出y關(guān)于于x的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式；；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)時(shí)，，需需新新建建多多少少個(gè)個(gè)橋橋墩墩才才能能使使y最小?。?？【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】對(duì)(1)，先先設(shè)設(shè)輔輔助助未未知知數(shù)數(shù)，，再再確確定定函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系；；對(duì)對(duì)(2)，利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求出出最最優(yōu)優(yōu)解解．．【誤區(qū)區(qū)警警示示】本題題作作為為一一道道中中檔檔題題，，在在求求解解中中容容易易出出現(xiàn)現(xiàn)如如下下問(wèn)問(wèn)題題：：(1)沒(méi)有有理理解解問(wèn)問(wèn)題題中中各各個(gè)個(gè)量量之之間間的的正正確確關(guān)關(guān)系系，，而而導(dǎo)導(dǎo)致致函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式出出錯(cuò)錯(cuò)；；(2)由于于本本題題導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)較較為為復(fù)復(fù)雜雜，，求求解解函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)容容易易出出錯(cuò)錯(cuò)；；(3)求解解應(yīng)應(yīng)用用題題沒(méi)沒(méi)有有總總結(jié)結(jié)．．變式式訓(xùn)訓(xùn)練練2(2010年高高考考湖湖北北卷卷)為了在夏夏季降溫溫和冬季季供暖時(shí)時(shí)減少能能源損耗耗，房屋屋的屋頂頂和外墻墻需要建建造隔熱熱層．某某幢建筑筑物要建建造可使使用20年的隔熱熱層，每每厘米厚厚的隔熱熱層建造造成本為為6萬(wàn)元．該建筑筑物每每年的的能源源消耗耗費(fèi)用用C(單位：：萬(wàn)元元)與隔熱熱層厚厚度x(單位：：cM)滿(mǎn)足關(guān)關(guān)系：：方法感悟方法技技巧1．注意意單調(diào)調(diào)函數(shù)數(shù)的充充要條條件，，尤其其對(duì)于于已知知單調(diào)調(diào)性求求參數(shù)數(shù)值(范圍)時(shí)，隱隱含恒恒成立立思想想．(如例2變式)2．求極極值時(shí)時(shí)，要要步驟驟規(guī)范范．表表格齊齊全，，含參參數(shù)時(shí)時(shí)要討討論參參數(shù)的的大小?。?．極值值是一一個(gè)局局部性性概念念，一一個(gè)函函數(shù)在在其定定義域域內(nèi)可可以有有許多多個(gè)極極大值值和極極小值值，在在某一一點(diǎn)的的極小小值也也可能能大于于另一一點(diǎn)的的極大大值，，也就就是說(shuō)說(shuō)極大大值與與極小小值沒(méi)沒(méi)有必必然的的大小小關(guān)系系．若f(x)在(a，b)內(nèi)有極極值，，那么么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不不是單單調(diào)函函數(shù)，，即在在某區(qū)區(qū)間上上單調(diào)調(diào)遞增增或遞遞減的的函數(shù)數(shù)沒(méi)有有極值值．(如課前前熱身身3)4．在實(shí)實(shí)際問(wèn)問(wèn)題中中，如如果函函數(shù)在在區(qū)間間內(nèi)只只有一一個(gè)極極值點(diǎn)點(diǎn)，那那么只只要根根據(jù)實(shí)實(shí)際意意義判判定最最大值值還是是最小小值即即可，，不必必再與與端點(diǎn)點(diǎn)的函函數(shù)值值比較較．(如例4)失誤防防范1．利用用導(dǎo)數(shù)數(shù)討論論函數(shù)數(shù)的單單調(diào)性性需注注意以以下幾幾個(gè)問(wèn)問(wèn)題(1)確定函函數(shù)的的定義義域，，解決決問(wèn)題題的過(guò)過(guò)程中中，只只能在在函數(shù)數(shù)的定定義域域內(nèi)，，通過(guò)過(guò)討論論導(dǎo)數(shù)數(shù)的符符號(hào)，，來(lái)判判斷函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)區(qū)間間．(2)在對(duì)函函數(shù)劃劃分單單調(diào)區(qū)區(qū)間時(shí)時(shí)，除除了必必須確確定使使導(dǎo)數(shù)數(shù)等于于0的點(diǎn)外外，還還要注注意定定義區(qū)區(qū)間內(nèi)內(nèi)的不不連續(xù)續(xù)點(diǎn)或或不可可導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)．(3)注意在在某一一區(qū)間間內(nèi)f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數(shù)數(shù)f(x)在該區(qū)區(qū)間上上為增增(或減)函數(shù)的的充分分不必必要條條件．．2．研究究函數(shù)數(shù)f(x)的極值值是通通過(guò)檢檢驗(yàn)f′(x)在方程程f′(x)＝0的根的的左、、右函函數(shù)值值的符符號(hào)來(lái)來(lái)判定定的，，因此此難點(diǎn)點(diǎn)是如如何判判定這這個(gè)根根左、、右函函數(shù)f′(x)值的符符號(hào)，，并與與函數(shù)數(shù)f(x)的極大大值、、極小小值對(duì)對(duì)應(yīng)．．化解解的方方法是是列出出x、f′(x)、f(x)變化的的圖表表，得得到f′(x)在每個(gè)個(gè)區(qū)間間上的的符號(hào)號(hào)，即即可得得到函函數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的的極大大值、、極小小值．．函數(shù)極極值的的另一一個(gè)難難以理理解的的問(wèn)題題是極極大值值、極極小值值的大大小關(guān)關(guān)系，，即函函數(shù)的的極大大值不不一定定比極極小值值大，，極小小值也也不一一定比比極大大值小?。煌黄七@這一難難點(diǎn)的的方法法是正正確理理解極極值是是一個(gè)個(gè)局部部的概概念，，可以以通過(guò)過(guò)畫(huà)出出函數(shù)數(shù)在整整個(gè)定定義域域上的的圖像像，對(duì)對(duì)比圖圖像進(jìn)進(jìn)行分分析判判斷．．3．求函數(shù)最最值時(shí)，不不可想當(dāng)然然地認(rèn)為極極值點(diǎn)就是是最值點(diǎn)，，要通過(guò)認(rèn)認(rèn)真比較才才能下結(jié)論論．4．要強(qiáng)化自自己用導(dǎo)數(shù)數(shù)知識(shí)處理理函數(shù)最值值、單調(diào)性性、方程的的根、不等等式的證明明等數(shù)學(xué)問(wèn)問(wèn)題的意識(shí)識(shí)．考情分析考向瞭望?把脈高考從近兩年的的高考試題題來(lái)看，利利用導(dǎo)數(shù)來(lái)來(lái)研究函數(shù)數(shù)的單調(diào)性性、極值、、最值以及及生活中的的優(yōu)化問(wèn)題題已成為炙炙手可熱的的考點(diǎn)，既既有小題，，也有解答答題，小題題主要考查查利用導(dǎo)數(shù)數(shù)研究函數(shù)數(shù)的單調(diào)性性和極值，，解答題主主要考查導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)數(shù)單調(diào)性或或方程、不不等式的綜綜合應(yīng)用．．預(yù)測(cè)2012年高考仍將將以利用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)研究函函數(shù)的單調(diào)調(diào)性、極值值、最值為為主要考向向，同時(shí)