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第三章控制系統(tǒng)的時域分析第二章研究了控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考查和研究系統(tǒng)的運動規(guī)律和系統(tǒng)的性能稱為系統(tǒng)分析。進(jìn)而，本章主要是在時域研究系統(tǒng)運動規(guī)律，這通過系統(tǒng)的時域分析，要研究系統(tǒng)運動過程中的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性以及評價它們的依據(jù)。另外，只有穩(wěn)定系統(tǒng)，對于其動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的研究才是有效的。所§3-1通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，得到如圖3-1所示的一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖表示。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)以傳遞函數(shù)G(s來描述，在輸入信號R(s)的作用下，得到系統(tǒng)的輸出C(s)實際系統(tǒng)的輸入信號一般是復(fù)雜的。但是在系統(tǒng)分析時，常采用一些標(biāo)準(zhǔn)信號來考查系統(tǒng)的運動，這并不失一般性，并且在系統(tǒng)分析中作為實驗信號來系統(tǒng)的運動簡單有效。常用的基本實驗信號有如下幾種。

t

(t) t (3- s22s2

(3- (3-2 上述二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中有兩個特征參數(shù)和n 稱為二階系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率，單位為[弧度]/[秒上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比的不同取值，特征根si有不同類型的值，或者說特征根si在s平面上位于不同的位置，共有以下五種情況。01s s s2 0< 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍信號時，便產(chǎn)生系統(tǒng)的時間響應(yīng)c(t)s間響應(yīng)c(t)也就不同。下面分別進(jìn)行討論。過阻尼運

(3-

(3-22 1TTG(s) 1 s22s (s1T)(s1T 1其 T1( 21(( 2

(3-(3-C(s)Gc(s)bs1cs1bs1cs1

(3-

(s1T1)(s1T2)ss c(t)L1[C(s)]

1T2T1T2T1

1T1T2T1T2從上述閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(s)來看，系統(tǒng)為過阻尼時，可以等效為兩個一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，因此系統(tǒng)有兩個一階慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T1與T2。時間響應(yīng)c(t)由三項分量組成，第一項是穩(wěn)態(tài)項，后面兩項指數(shù)項為暫態(tài)項。因為時間常數(shù)T1與T2均大于零，所以隨著時間趨于無窮大時，后面兩項趨于零，時間響應(yīng)c(t趨于希望的穩(wěn)態(tài)值。過阻尼系統(tǒng)的單位階躍響t沒有超調(diào)量。經(jīng)過調(diào)節(jié)時間之后，響應(yīng)曲線c(t)趨于

響應(yīng)曲線的初始斜率為零。時間響應(yīng)c(t)有兩項暫態(tài)

3-19階過阻尼響應(yīng)曲衰減項有兩個時間常數(shù)T1與T2，但是調(diào)節(jié)時間ts不能用兩個時間常數(shù)T1與T2簡單地來注意到在時間響應(yīng)c(t)的表達(dá)式中，當(dāng)21)1c(t)1e (3-ts3Tts

誤差帶寬度為5% (3-誤差帶寬度為2% (3-臨界阻尼運動

(3-

G(s)

s1,2

n2

(3-(3-C

s22s2 (sn

C(s)G(s)R(s) (3-67) (s)2 (s s nc(t)L1[C(s)]1tentnt號的項，后面兩項為暫態(tài)項。，t

(3-的變化率大于冪函數(shù)的變化率，所以當(dāng)時間tc(t)最終趨于穩(wěn)態(tài)值。如圖3-20所示。單調(diào)增的，沒有超調(diào)量。經(jīng)過調(diào)節(jié)時間ts之后，響應(yīng)曲線c(t)

3-20界阻尼響由響應(yīng)表達(dá)式c(t)的95%，可以得到臨界阻尼情況下的調(diào)節(jié)時間ts5t

(3-n00 (3-1 1 特征參數(shù)和n的關(guān)系如圖3-21所示。n無阻尼振蕩1d1

在s平面上的位置(3-

11G(s) s22s

(3-C(s)Gc(s) s22ns2 (3- s

(3- 2

(sn)

(sn)1c(t)L[C(s)]1 n(cosdt sin1d entsin(t (3-d1

1

d

(3-11t趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(t趨于穩(wěn)態(tài)值。無阻尼運動當(dāng)阻尼比0s1,2 (3-

t

3-22阻尼響應(yīng)曲

GC(s)

s22ns

0

s2

(3-C(s) s2n2c(t)1

(3-(3- 振蕩頻率為n。圖3-24所示。從圖中可以看到，

03-23阻尼響應(yīng)曲1時，過阻尼系統(tǒng)的時間響應(yīng)其調(diào)節(jié)時間ts001 圖3- 綜上所述，對于欠阻尼系統(tǒng)，因為系統(tǒng)響應(yīng)的快速性較好，如果選擇合理的值，調(diào)節(jié)時間ts比較短性能指標(biāo)計算 t 二上升時間1c(t)1ent(cosdt sindt)t1entrcost

sint1d11tandt111

dtr )峰值時間t

tr d

(3-d

ttp (3-1d1

entsin(dt

ttp1 entpsin1 dsindtpdtp

dtptpd

(3-因為前面已經(jīng)求出了峰值時間tp，代入時間響應(yīng)表達(dá)式即可求出時間響應(yīng)c(t的cmax(t)c(tp

(3-

)1 entpsin(t

d1d 1d1 sin(111sin()sin

Mp%c(tp)1

(3-Mpc(tp)

1c(tp)111

1.0(3-

3-26調(diào)量與阻尼比關(guān)系曲調(diào)節(jié)時間 t0 t0 線c(t)是衰減振蕩型的，因此只考慮正弦項的峰-峰值時，可以得到響應(yīng)曲線的包絡(luò)線。包絡(luò)線是趨于穩(wěn)態(tài)值的，因此在確定的誤

差帶寬度下，就可以得到調(diào)節(jié)時間ts的值 1c(t)1 entsin(t1d

3-27減振蕩曲線的maxsin(dt) (3- 調(diào)1 3bc(t)1 e1 3b1

tsTT 則 1

(3-

00.30.40.50.60.70.80.9阻尼比1cb(t)1

e (3-

3-28節(jié)時間ts與ts3Tt4T

4

(3- (3- 上述公式可以用于系統(tǒng)初步分析時作性能估算用，實際的ts值需要通過進(jìn)一步的因為影響調(diào)節(jié)時間ts的各個變量、各種因素比較多，實際的ts值的計算要多，僅僅采用包絡(luò)線方法有時會帶來較大的誤差。這可以通過圖3-28來進(jìn)行說明。從圖中可見，兩者之間的關(guān)系明顯地分為兩段。以0.7左右為界，當(dāng)0.68時，關(guān)系曲線是連續(xù)變化的，當(dāng)0.68產(chǎn)生上述問題的原因是由于在0.68的變量段時，微小的的變化，使得響應(yīng)進(jìn)入誤差帶的時間點會發(fā)生跳變而引起的。關(guān)于阻尼比ts跳蕩頻率來定了，n越大，ts跳-3-29微小變化時ts的不連3-2]3-30r(t1(tK200+s(s+s(s5K解K200

3-30置隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Go(s)s(sG(s)Go(s) s(s

c1Goc

1s(s

s234.5s

s2

G(s) s234.5s s22s 2n34.5， 2nn

n11tp

d

Mp

100%0.13100%3ts

ts

討論K1500和K13.5時，對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。當(dāng)K1500時，閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)

特征參 性能指n

tp0.037Mpts0.17由系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率n，可以得到系統(tǒng)的阻尼振蕩頻率 11d 11約振蕩兩個多周期，即上下振蕩4-5次之多，平穩(wěn)性很差。當(dāng)K13.5G(s)

c(t)K=1500 c(t)K=1500n

ts3T11.46

3-31種響應(yīng)曲線的比83-31K200+-+-s(sKMp間tr調(diào)節(jié)時間ts

tp1秒，并計算上升時解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 圖3-32反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)G(s) 1G(s)H(s) s(s K1s(s

(1 s2(1K)s Mp20%,tp1秒，Mp11

11

tpd

1

nK

Gc(s)由

s2(1K)s

ns22nsnnK2nK由(1K)2nMp20%,tp1K 二階系統(tǒng)的其它響應(yīng)二階系統(tǒng)以其它信號作為輸入時，例如單位脈沖信號和單位斜坡信號，產(chǎn)生二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及單位斜坡響應(yīng)?？疾橄到y(tǒng)的脈沖響應(yīng)，可以得到系統(tǒng)的調(diào)節(jié)特性?？疾橄到y(tǒng)的斜坡響應(yīng)，可以獲得系統(tǒng)對于速度號的能力的評價。二階系統(tǒng)的單位脈沖響在理想的單位脈沖函數(shù)作為輸入信號時，二階系統(tǒng)輸出響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng)。二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)oG(s)

s(s2nn2

(3-(3-

s22s r(t)R(s) (t)L1[G(s)]

n

(3- s22nsndcpulse(t)dt[cstep (3-無阻尼時，欠阻尼時，0

cpulse(t)n11

(3-

(t) entsind (3-1d1

(3- 過阻 時， (t) (3-

(t) [e(21)nte(21)nt](3-104)2不同阻尼比的響應(yīng)曲線如圖3-33所示。tr1d1

arccos

t1.10.65 在上述參數(shù)值下，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間tsts

t s

2.48 ttMMpt trtcts0圖3-33二階系統(tǒng)的脈沖響 3-34二階系統(tǒng)的兩種響應(yīng)比在四種響應(yīng)曲線中，無阻尼曲線為等幅振蕩，不能進(jìn)行調(diào)節(jié)作用。過阻尼曲線與臨界阻尼曲線隨著時間的增長衰減到零，且幅值為單一符號的。這種特性在許多工程應(yīng)用中都有實例，即不許改變符號的情況下。但是值衰度較慢。欠阻尼曲線在合理地選擇系統(tǒng)特征參數(shù)情況下，既沒有過大的失調(diào)幅值，又可以位差為90度。將兩條曲線畫在一起，如圖3-34所示。峰值時間tp 失調(diào)峰值Mp p 將單位脈沖響應(yīng)cpulse(t)求極值，可以得到cpulse(t)的峰值時間d將峰值時間tp代入響應(yīng)表達(dá)式cpulse(t)可得失調(diào)峰值Mp

(3-1212d

entsin

t

(3-由于cstep(t)的峰值

tpd所以cpulse(t)的第一次過零tcd3tsts

(3-將 (t)由零到t作積分可得單峰誤差積分 11

2 2 0

nsindtdt1 (3-因為cstep(t)的超調(diào)量

Mp

1

(3-p 單峰誤差積分說明了失調(diào)大小與恢復(fù)能力的綜合評價，上式說明，單峰誤差積分可以由c (t)的超調(diào)量p 二階系統(tǒng)的斜坡響

r(t)t1(tR(s) (s)G(s)

(3-

s22s2 (t)

t

entsin(t2 (3-1d1

ttarccos11

(3-(3-

03-35階系統(tǒng)的斜坡響當(dāng)時間t

n參數(shù)和n。因此，可以通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)來減小第二項的值，而不能通過調(diào)整系統(tǒng)如上所述，典型二階系統(tǒng)可以等速率信號，是能力有限，所實現(xiàn)的跟蹤是有差。這種以有差方式等速率信號的控制系統(tǒng)，由于簡單方便，廣泛地應(yīng)用于工程控制中。二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的改善從前面典型二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性分析可以知道，通過調(diào)整二階系統(tǒng)的兩個特征參數(shù)，阻尼比和無阻尼振蕩頻率n，可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。但是這種方法是有限為了改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，可以采用兩種方法增加回路中的控制裝置。一種方法是向通路中增加控制裝置，另法是在反饋通路中增加控制裝置，結(jié)構(gòu)3-36++

++ 圖3-36系統(tǒng)控制方法根在s平面上的位置，使得系統(tǒng)的動態(tài)性能得到改善。誤差信號的比例微分控制(PD2n2n+

+1+Tds (b)PD控制3-37差信號的比在PD控制的結(jié)構(gòu)圖中，上通路為原誤差信號通路，下通路為誤差的速度分量通路，Td是微分時間常數(shù)。這樣，受控對象的輸入信號成為誤差信號e(t(1T(1T2G(s) (3-

oG

s(s2n2(1TG(s) (3- 1G s2(2T2)so控制作用分析

d Gc(s)的分母多項s2(2T2)s2 (3-原系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率 不變。由

d 2T22式中的d

d d1T (3- 2d1附加項 Tdn使得原阻尼比增加，抑制了振蕩由式(3-116)，Gc(s)的分子多項式構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的零點。1s

(3-2(1T s2(2TC(s)G(s) s2(2T

)s

2 d

2T Ts2(2n2)s2ss2(2nTd2)s2T

d d (3-c(t)c(t)c(t)c(t)T [c (3- d Tdc1Tdc1ttr’03-38PD的加輸出量的速度反饋控制(SF控制)在原典型二階系統(tǒng)的反饋通增加輸出信號的速度分量反饋信號如圖3-39所+++

3-39輸出信號的速度反饋控1

2n nGC(s)

s2

K )s

(3-

s2

K2)s2 (3-原系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率 不變，由

f d2K2 d式中的d+s2+s21d 12

(3-Kfn使得原阻尼比增加，

3-40度反饋系G(s) s2試采用速度反饋方法，使得系統(tǒng)的阻尼比0.5，確定速度反饋系數(shù)的值，解1G(s)Go(s) s2 1G

s2

s2 c(t)L1[ ]s2

0.9s20.9]1.05sin3-40G(s)

s2 1G(s)

s2

(1 阻尼比0.52n2 11

Mp

100%

t

+K3-5]3-4120%1試計算相應(yīng)的前向增益K與速度反饋系數(shù)K+K增大值 圖3-41速度反饋控制系KKKGc(s)

s(sK

s2(1KK)s

1 (1Kf s(sn2n2n1Mp20%，和tp1Mep ptpd

11n

12KnK22KnKf 當(dāng)K12.5Kf0Gc(s)s2s2 2Me §3-4線性常系數(shù)微分方程所描述的系統(tǒng)中，微分方程的階數(shù)高于二階的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。由于系統(tǒng)復(fù)雜性的增加，高階系統(tǒng)準(zhǔn)確的時域分析是比較的。所以在時域分析中，主要的是對高階系統(tǒng)的定性分析，其中包括：(1)高階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的解分量分析；(2)高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點分析。高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)以及性能指標(biāo)的定量計算，高階系統(tǒng)時間響應(yīng)的分量結(jié)構(gòu)G(s) 1G(s) (3-

R ++3-42制系統(tǒng)的G(s) mbmsmbm1G(s) m， sn sn1as 式中分子多項式的最高次數(shù)為m，分母多項式的最高次數(shù)為n，nm。分子多項式的各系數(shù)bm,bm1b1b0，和分母多項式的各系數(shù)an1a1a0都是常系數(shù)。sn sn1asa (3- 由代數(shù)方程根的定理，在上述條件下，n (sp)(s22s2)0，q2r (3-

k

k 為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性(關(guān)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，在下一節(jié)講到)，首先假定，特s平面的左半平面上，特征根在s3-43ss Gc(s)

K(szj(sp)(s22s2

ik

k (3- 3-43征根的位1R(s)s

(3-C(s)Gc(szj (sp)(s22s2

ik

k bks (3- i1s k1s2kksaaL[s]a (3-L1[ ]ae (3-s s22 bks ]ekktsin( 1s22 k c(t)k ka1(t)

aiepit

kekktsin(k12t (3- k在c(t)的各分量中，第一項是穩(wěn)態(tài)項，其特性由輸入信號決定，也就是說，輸入信號為階躍型的，該項也是階躍型的，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)無關(guān)。其余各項特性是由系統(tǒng)的由于特征根或為負(fù)實數(shù)，或為帶復(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)，因此所有的指數(shù)分量都是指數(shù)衰減型的，則有：由時間響應(yīng)的表達(dá)式可以看到，由系統(tǒng)的特征根所確定的各分量中，不管是指數(shù)分量，還是指數(shù)變化的正弦分量，當(dāng)時間t些由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)所確定的各分量稱為暫態(tài)分量。所有各響應(yīng)分量的幅值a，i，k的大小，除了與閉環(huán)極點有關(guān)，而且與系統(tǒng)的閉環(huán)增益K和系統(tǒng)的閉環(huán)零點值有關(guān)，各如上所述，高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)是由一些簡單函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的。除去由輸入信號盡管多個簡單函數(shù)復(fù)合的曲線描述比較麻煩，從中確定系統(tǒng)的動態(tài)性能，如超調(diào)量Mp、響應(yīng)時間ts等定量指標(biāo)也不清晰，上述的定性析了階系統(tǒng)時間響應(yīng)的一般規(guī)律。閉環(huán)主導(dǎo)極點上述高階系統(tǒng)中，對于其時間響應(yīng)起到主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點。相對應(yīng)地，其它的極點稱為普通極點。0 s平000§3-51sn1

(3-1sn1n

11

(3- (3-在高階系統(tǒng)分析中可以看到，時間響應(yīng)的各分量中，除去由輸入信號確定的不變分量之外，其余所有響應(yīng)分量都由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)決定，或者是由系統(tǒng)的閉環(huán)極點決定s分量是指數(shù)衰減型的，在時間趨于無窮大時，所有的暫態(tài)分量衰減到零。但是閉環(huán)極s所以，述系統(tǒng)分析中，就已經(jīng)提出了系統(tǒng)穩(wěn)性問題?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析的基本問題。在本節(jié)中就穩(wěn)定的基本概念、穩(wěn)定性的定義以及系統(tǒng)穩(wěn)定的代數(shù)判據(jù)進(jìn)行討論。系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念于零。例如對于力學(xué)描述的系統(tǒng)來說，由運動方程描述的系統(tǒng)運動在平衡點上的3-45建立中所給出的單擺系統(tǒng)，只進(jìn)行了局部運動描述。即本圖下部所示的運動。單擺的全局運動，為本圖所示。擺球質(zhì)量為m，擺桿長度為L。注意此處擺桿為剛體。這樣擺球位于下方時，擺桿受力為張力。擺球位于上方時，擺桿受力為壓力。D點為中心固定點。描述變量為d2lmldt

mgsinlA ddt0，與dt2 (3-則有mgsin0k，k (3-是周期的，所以k為偶數(shù)時，擺球位于圖中A的位置。k為奇數(shù)時，擺球位于圖中B的位AB述平衡點的條件，位置絕對對稱時，也是可

3-45單擺系統(tǒng)的平衡運動的過渡點。圖中的A1，A2，B1，B2等點都是普通點。平衡點鄰域的運d圖中的橫坐標(biāo)即滿 0的平衡點在圖示實心點鄰域，擺球位置偏

aa0 3-46衡點鄰域的運動示意意角度與角速度是正負(fù)擺動的。在系統(tǒng)的阻尼作用下，當(dāng)時間趨于無窮大時，擺球最終停留在實心點處，這就是單擺的常規(guī)運動。如果系統(tǒng)的阻尼為零，周期擺動的角度圍繞實心平衡點長時間不衰減，就是擺式鐘表的運動原理。所以，如圖中的實心點處的平衡點，即k為偶數(shù)時的平衡點，由于其鄰域的運動是收斂于該點的，稱為穩(wěn)定平衡點。但是在圖示空心點鄰域的擺球位置偏差，如圖中的b1，b2點，位于角度的 弧度兩穩(wěn)定平衡點運動。當(dāng)然兩個角度在空間上是一個點，從空間上看就是從兩個方向上擺球下落，最終停留在該點上。所以，圖中的空心點處的平衡點，即k為奇數(shù)時的平衡 d d dtn[c(t)]an1dtn1[c(t)]a1dt[c(t)]a0c(t) (3-依照平衡點的條件，當(dāng)c(t的各階導(dǎo)數(shù)為零時有a0c(t)0，c(t) (3-系統(tǒng)的穩(wěn)關(guān)于系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性理論，是學(xué)者夫(А.М.Лялунов)數(shù)學(xué)描述上的許多預(yù)備知識，在此不作全面描述，只給出線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性定義的線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性G(s)，n bsmb sm1bsb，n 在單位脈沖擾動的作用下，由于R(s)L[(t1C(s)G(s)R(s)R(s)1bsm sm1bss s

as

(3-假設(shè)系統(tǒng)的n個特征

sipiiji，i1,2,,n (3-B(s)bsm sm1bs (3- C(s)

n

(3-

(spiC(s)

(3-

i1snic(t)ae (3-i

limc(t) (3-tlim

aepit (3-

ti1limaepit0，i1,2,, (3-tpiii0，i1,2,,

(3-(3-系統(tǒng)所有的特征根必須為負(fù)值，或者帶負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)值。也可以說，系統(tǒng)所s3-47所示。 t 1t tt 3-47不同特征根分量的時間響應(yīng)曲系統(tǒng)穩(wěn)定性與輸入信號無關(guān)，是系統(tǒng)在系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件推導(dǎo)中，所用的輸入信號為單位脈沖函數(shù)，這不失一般性。線性定常系統(tǒng)的微分方程的解由兩部分構(gòu)成c(t)cI(t)cS其 cI(t)是由輸入信號的作用產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)分量

(3-所以，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則暫態(tài)分量最終趨于。而穩(wěn)態(tài)分量則依據(jù)所信號的不同階數(shù)實現(xiàn)不同階數(shù)的。所以不管是何種輸入信號，收斂還是發(fā)散(例如斜坡信號是發(fā)散的)，與系統(tǒng)的穩(wěn)定性討論無關(guān)，信號的斂散性與系統(tǒng)的穩(wěn)定性混為一談。 pi為單根，分量式

siaepii

(3-(3-pi為二重根，三重根，……時，分量式i(sp)2， (3-i

p 2atei atei (3- 2 (n1)plim eip0 (3-t(n 共軛復(fù)數(shù)根情(s as j)(s as as((s)23-162) ii 2

eitsin(t limeitsin(t (3-t ii設(shè)系統(tǒng)特征方程的根為si，i1,2,,n，當(dāng)(3-(3-(3-代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)征根的值，這對于高階系統(tǒng)來說是很的。能否不用求解代數(shù)方程的根，根據(jù)某些 D(s)asn sn1as n 111 1

(3- a a

，b2

c1

2，c22

b3 2 2

，1 1…

(3-將計算各項依照上述法則全部計算完畢，填入勞斯表。計算完畢的勞斯表呈上三角形，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：勞斯表中，如果第一列元素全部大于零，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定s42s33s24s51351352415-5 23411，b2501 3-7]s32s2s2 s平j(luò)--(s21)(s2)三個根分別為

j，

2，在s3-48

3-48特征根3-8]s33s2 - 3

s平- 3-49特征根(s1)2(s2)3-9]s52s424s348s225s50解作勞斯表 124- - P(s)2s448s2

- -

dP(s)8s396s

(s1)(s1)(s2)(sj5)(sj5)

s1,2s4,5

s平-

-

3-50根位置示意大小相等方向相反的對根可以利用輔助多項式P(sP(s0來求2.維茨(Hurwitz)判

2s448s2500(s225)(s21)D(s)ansnan1sn1a1sa0220D3…

0

000000000

00000000000000000

(3-Di0，i1,2,,K(sGo(s)s(s1)(2s試用維茨判據(jù)，判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時參數(shù)K的取值范圍

(3-K(s

Gc(s)

2s33s2(K1)sD(s)2s33s2(K1)s2KD13 D2 K1 D3 K 0 所以，由D20，解 K由D30，解 K系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)增益K的取值0Kai0，i1,2,, (3-D奇>0，或D偶 (3-[例3-11]已知單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-51所示，確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時開環(huán)增K0.1，K的取+(s1)(s3-51系統(tǒng)結(jié)構(gòu)由林納得-奇判

s36s25sK要求各項系數(shù)ai0K由偶次階子行列式D20 D2 5K得到系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)增益K的取0Kss則

ss(s0.1)36(s0.1)25(s0.1)sKs35.7s23.83s(K0.441)由林納得-奇判據(jù)ai0，所以有K K由D20， D2

K

0.441K§3-6系統(tǒng)在控制作用下的響應(yīng)偏離希望值的大小是以系統(tǒng)的誤差來衡量的，全面地分析誤差的構(gòu)成以及他們的時間行為，是能否實現(xiàn)所希望的控制要求重要的部分。系統(tǒng)響應(yīng)誤差中的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，又是評價系統(tǒng)對于給定信號的能力的重要的性能指標(biāo)?？刂葡到y(tǒng)的誤差與穩(wěn)態(tài)誤差e(t)r(t)c(t (3-誤差e(t也是時間的函數(shù)。如圖3-52所示，圖中的陰影部分就構(gòu)成了系統(tǒng)的響應(yīng)誤c(t)tt0 tt0

圖3-52系統(tǒng)階躍響應(yīng)與誤差一般認(rèn)為，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts之前的誤差為動態(tài)誤差。但是在控制理論中，通常elim (3- ttts之后的考查系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是根據(jù)系統(tǒng)所要求的信號為參考基準(zhǔn)的。如需的信于準(zhǔn)確的恒值，這些是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)所決定的。如需要的信號為斜坡信號，那么+誤差的數(shù)學(xué)模+結(jié)構(gòu)圖如圖3-53所示。Go(s)

(3-G(s)

3-53控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

Gc(s)1G(s)e(t)r(t)c(tE(s)R(s)R(s)Gc[1GcG(s)E(s)[1G

(3-(3-(3- G(s)1G(s)1

1G(s)H (3-1Go式中，Go(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s)如果以零極點來表示可以寫 kk(ss)(s22llslkG(s)G(s)H(s) (3- (ss (s22s2

j m1(s1)m2(2s22s lG(s) ok l (3- 2(Tis1)(Tjs2jTjs

(

j ls1)(2s22s l nGn(s)k n(Ts1)(T2s22Ts

(3-i

j

jlimG(s)

(3- 這樣，開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s)由三部分組G(s)KoG (3- 式 1前向通道積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，如圖3-54 3-54個積 開環(huán)增益ko可以由下式求得

KlimsG (3- G(s)K0G KoGn(s)sGolimKG(s)limsG o

limG(s)

1

KlimsG 001I型系統(tǒng)。2II可以確定閉環(huán)系統(tǒng)無差的程度，有時也把稱為系統(tǒng)的無差 的基準(zhǔn)信號，如(t)、1(t)、t

2穩(wěn)態(tài)誤差分析E(s) 1Go

(3-esslime(t)limsE (3-t

r(t) (3-1

R(s)s

(3-esslime(t)limsEtlims

11Go

1s

1limG

(3- 將式中的極限式limGo(s)定義為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)KpsKplimGos這樣，穩(wěn)態(tài)誤差可以由靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kpess 1Kp

(3-(3-0I，II查各類不同類型的系統(tǒng)，與其靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp有0前向通路積分環(huán)節(jié)的個數(shù)為零，即0，G(s)KoG KoG (3- 而

KlimG(s)limKoG(s) (3- s0 0KpKo。代入穩(wěn)ess

11K11

1

(3-開環(huán)增益的大小Ko，所以0型系統(tǒng)在階躍信號輸入作用時的穩(wěn)態(tài)誤差也為常數(shù)。I1，即1，G(s)KoG KoG (3- 而

KlimKoG(s) (3- s0 ess

1111

(3-無窮大，所以I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。也可以說，I型系統(tǒng)是一階無差系統(tǒng)。 (3-系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)KpKp (3-

ess (3-

r(t)1R(s)

(3-(3-esslime(t)limsEt lims 1 (3- 1G(s) limsG 將式中的極限式limsGo(s定義為系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)KvKvlimsGos這樣，穩(wěn)態(tài)誤差可以由靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv來表示

(3-ess (3-0前向通路積分環(huán)節(jié)的個數(shù)為零，即0，G(s)KoG KoG (3- 而

KlimsG(s)limsKoG(s) (3- 0Kvess K0 (3-v于無窮大的。也就是說，0型系統(tǒng)不能速率信號。G(s)KoG KoG (3-o靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

KlimsG(s)limsKoG(s) (3-

ess

kv

1K

(3-o上式說明，I型系統(tǒng)施加斜坡信號，當(dāng)時間趨于無窮大時，其穩(wěn)態(tài)誤差趨于常數(shù)值，且大小等于系統(tǒng)的開環(huán)增益Ko的倒數(shù)。也就是說，I型系統(tǒng)有速率信號的是在過程中，只能實現(xiàn)有差?？梢约哟箝_環(huán)增益Ko來減小穩(wěn)態(tài)誤差，可是G(s)KoG KoG (3-

klimsG(s)limsKoG(s) (3- ess k (3-上式說明，如果系統(tǒng)的前向通路中有兩個積分環(huán)節(jié)，則在等速率信號時，由于穩(wěn)態(tài)誤差為零，所以可以實現(xiàn)無差。也就是說，只要系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，那么系統(tǒng)的響應(yīng)在過了暫態(tài)時間之后，就與等速率信號相同了。所以2的系統(tǒng)又稱為二階

r(t)1t (3-2

R(s) esslime(t)limsE

(3-tlims

G(s)limGG(s)limG

(3- 將式中的極限式lims2G(s定義為系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)K

Klims2G

(3-0

ess (3-G(s)KoG KoG (3-o靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

Klims2G(s)lims2KoG(s)

(3-G(s)KoG KoG (3-o靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

Klims2G(s)lims2KoG(s) (3-

ess

1Ka1

(3-G(s)KoG KoG (3- Klims2KoG(s) (3-

ess

1Ka1

(3-o上面的分析說明，當(dāng)輸入信號為加速度信號時，0Ir(r(t)1t2Ka0系KaI型系II系Kaess 1KvKp1essKvKpKv1ess 1kr(t)r(t)對于信號的能力考查中，系統(tǒng)的類型越高，也就是系統(tǒng)的無差度越大，作為比較，在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，結(jié)論與上述兩條正好相反。也就是說，系統(tǒng)的開環(huán)增益ko越大，穩(wěn)定性就越差，前向通路中的積分環(huán)節(jié)個數(shù)越多，穩(wěn)定性就越差。所以，在考慮系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的同時，還要兼顧系統(tǒng)穩(wěn)定性的。既要保證系統(tǒng)是2+s2(Ts解(1

3-55PD系統(tǒng)s2(Ts1)KK(s1) 1Ts3s2KKsKKm

1 1Tm,K1,Km, K1

KKKKT1 1m

K10Km0，及II

G(s)K1Km(s s2(TmskoK1

kp，kv，kakoK1Kmr(t)1(t)t1t22r(t)r1(t)r2(t)r3r1(t) ess1r2(t)t ess2r(t)1t ess3 essess1ess200 1

增大PD控制器的增益K1，可以減小對于加速度信號的誤差控制系統(tǒng)的動態(tài)誤差將誤差傳遞函數(shù)在s0鄰域展開級數(shù)E(s)

1Go

11s

(3-k0動態(tài)位置誤差系數(shù)；k1動態(tài)速度誤差系數(shù)；k2動態(tài)加速度誤差系數(shù)；1E(s) R(s)

sR(s) (3- e(t)L1[E

r(t)

k k (3- 進(jìn)而，當(dāng)輸入信號r(t給定，時間t)e()limsE(s)lims[1R(s)1sR(s)1s2R(s) R(s) 1

1k01

(3-limsElimsEs)lim s)1s2R(s)kR(s)121 k1 (3-2k2態(tài)誤差系數(shù)，并確定靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。KG(s) s(sTm

(3-+s(sTm3-56E s(sT s2T

0

KTms ms2

K01s kk0s2Kk1Km k2KTmKKk 擾動信號誤差分析在任何情況下，控制系統(tǒng)不可避免地受到擾動信號作用，影響所希望的系統(tǒng)性能。因此除了研究系統(tǒng)對于給定信號作用下的誤差之外，還要研究擾動信號對系統(tǒng)性能的影響，或者說，系統(tǒng)對于擾動信號的影響，有沒有克服能力，有何種程度的克服能力。++

3-57擾動信號作用下的系統(tǒng)C(S)CR(S)CN其 CR(s)為輸入信號作用下的系統(tǒng)輸

(3-所以CR(s

GR(s)

CR(3-

CR(S)

(s)R(s) G1(s)G01G1(s)G0

(3-所以CN(s)

G(s)CN(s) N

(3-CN(S)

(S)N(s) G0 N(s)(3-241)1G1(s)G0E(S)ER(S)EN (3-其 ER(s)為輸入信號作用下的誤EN(s)為擾動信號作用下的誤差E(S)R(S)C(SR(s) G1(s)G01G1(s)G0

R(s) G01G1(s)G0

N 1G1(s)G0

R(s) G01G1(s)G0

N (3-

1E(s) 1G1(s)G0

(3-E(s) G0 N (3-N

1G1(s)G0C(S) G0 N(s)N1G1(s)G0EN(s)CN (3-如上式所述，研究擾動信號對系統(tǒng)的影響的目的，就是要設(shè)法克服或者減小擾動3—14]3-57R(s)1sN(s)

s11sR(s)1s

N(+++ 當(dāng)擾動信號單獨作用時N1s1sR(圖2K2C(S)

1N1

K2s

s essNlimsEN(s)lims[CNlims

s0 ] s

K1G1] lims 1]lims 1] sG1 G1(s)

G(s) s2K1K2增加PD控制器后，前置環(huán)節(jié)成為K1(sG1(s)

s2KKsKK1 1 lims

2]lims 2 lims[s

k2

s

ss2kk]0ks1 k1

s s

1 1穩(wěn)態(tài)精度補償前面已經(jīng)討論了當(dāng)擾動信號的類型單一并且已知時，如何減小或者消除擾動信號對系統(tǒng)的影響，另外還可以采用各種穩(wěn)態(tài)精度補償法來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。擾動信號的類型未知時，在適當(dāng)?shù)膱龊蠎?yīng)用穩(wěn)態(tài)精度補償措施，也可以使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度獲得不同程度的改善。下面介紹兩種補償器。路傳遞函數(shù)，Gr(s通路傳遞函數(shù)。在輸入擾動時，如果補償通路的傳遞函數(shù)Gr(s)滿足一

件，可以實現(xiàn)信號的全補輸入補償器的全補償條件

3-58帶有輸入補償裝置的控C(s)C1(s)C2其 C1(s)輸入主通路作用下的輸出

(3-C(s)Go(s) (3-o 1GoC2(s)輸入補償通路作用下的輸出；2C(s)Go(s)Gr(s)21Go

(3-C(s)Go(s)R(s)Go(s)Gr(s)1Go 1GoGo(s)Go(s)Gr(s)R(s)1Go(s)

(3-

E(s)R(s)將系統(tǒng)的輸出C(s)E(s)R(s)Go(s)Go(s)Gr(s)R(s)1Go(s)Gr(s) 1Go

1Go(s)Gr 1Go

(3-(3-++1G(s)

(3-Go Go由上式可知，輸入補償?shù)娜a償條件是輸入補償通路的傳遞函數(shù)Gr(s)必須是原系統(tǒng)前向通路傳遞函數(shù)Go(s的倒數(shù)。

3-59有擾動補償器的數(shù)稱為擾動補償器。帶有擾動補償器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-59所示。擾動補償器的全補償條件EN(s)CN (3-CN(s)CN1(s)CN2CN1s)

(3-

(s) G0 N(s) (3-1G1G(S)GCN2(s)擾動補償通路作用時的系統(tǒng)輸CN

(s)Gn(s)G1(s)G0(s)N1G(S)G

(3- CN(s)

G0G(S)G

N(s)Gn(s)G1(s)G0(s)N(s)1G(S)G(s) G0(s)Gn(s)G1(s)G0(s)N(s)1G1(S)G0(s)EN(s)