高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3．4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 學(xué)業(yè)分層測評20

學(xué)業(yè)分層測評(二十)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為s＝eq\f(4,3)t3－2t2，那么速度為24的時(shí)刻是________秒末.【解析】由題意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝24，解得t＝3(t＝－2舍去).【答案】32.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為________萬件.【解析】令y′＝－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).f(x)在區(qū)間(0,9)內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間(9，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(x)在x＝9處取最大值.【答案】93.已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少________米.【解析】設(shè)廣場的長為x米，則寬為eq\f(40000,x)米，于是其周長為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x＞0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，這時(shí)y＝800.當(dāng)0＜x＜200時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞200時(shí)，y′＞0.所以當(dāng)x＝200時(shí)，y取得最小值，故其周長至少為800米.【答案】8004.要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為20cm.要使其體積最大，則高為________.【解析】設(shè)圓錐的高為hcm(0＜h＜20)，則圓錐的底面半徑r＝eq\r(202－h(huán)2)＝eq\r(400－h(huán)2)(cm)，V＝V(h)＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h＝eq\f(1,3)π(400h－h(huán)3)，∴V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)，令V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)＝0，解得h＝eq\f(20\r(3),3).由題意知V一定有最大值，而函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以此極值點(diǎn)就是最大值點(diǎn).【答案】eq\f(20\r(3),3)cm5.要做一個(gè)底面為長方形的帶蓋的盒子，其體積為72cm3，其底面兩鄰邊邊長之比為1∶2，則它的長為________、寬為________、高為________時(shí)，可使表面積最小.【解析】設(shè)底面的長為2xcm，寬為xcm，則高為eq\f(36,x2)cm，表面積S＝2×2x·x＋2×x·eq\f(36,x2)＋2×2x·eq\f(36,x2)＝4x2＋eq\f(216,x)(x＞0)，S′＝8x－eq\f(216,x2)，由S′＝0，得x＝3，x∈(0,3)時(shí)，S′＜0，x∈(3，＋∞)時(shí)，S′＞0，∴x＝3時(shí)，S最小.此時(shí)，長為6cm，寬為3cm，高為4cm.【答案】6cm3cm4cm6.設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx，0<x<1，,lnx，x>1))圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830092】【解析】由圖象易知P1，P2位于f(x)圖象的兩段上，不妨設(shè)P1(x1，－lnx1)(0<x1<1)，P2(x2，lnx2)(x2>1)，則函數(shù)f(x)的圖象在P1處的切線l1的方程為y＋lnx1＝－eq\f(1,x1)(x－x1)，即y＝－eq\f(x,x1)＋1－lnx1.①則函數(shù)f(x)的圖象在P2處的切線l2的方程為y－lnx2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(x,x2)－1＋lnx2.②由l1⊥l2，得－eq\f(1,x1)×eq\f(1,x2)＝－1，∴x1x2＝1.由切線方程可求得A(0,1－lnx1)，B(0，lnx2－1)，由①②知l1與l2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP＝eq\f(2－lnx1－lnx2,\f(1,x1)＋\f(1,x2))＝eq\f(2,x1＋x2).∴S△PAB＝eq\f(1,2)×(1－lnx1－lnx2＋1)×eq\f(2,x1＋x2)＝eq\f(2,x1＋x2)＝eq\f(2,x1＋\f(1,x1)).又∵x1∈(0,1)，∴x1＋eq\f(1,x1)>2，∴0<eq\f(2,x1＋\f(1,x1))<1，即0<S△PAB<1.【答案】(0,1)7.內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓柱體的高為________.【解析】設(shè)圓柱的高為2h，則底面圓的半徑為eq\r(R2－h(huán)2)，則圓柱的體積為V＝π(R2－h(huán)2)·2h＝2πR2h－2πh3，∴V′＝2πR2－6πh2.令V′＝0，解得h＝eq\f(\r(3),3)R.∵h(yuǎn)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)R))時(shí)，V單調(diào)遞增，h∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)R，R))時(shí)，V單調(diào)遞減，故當(dāng)h＝eq\f(\r(3),3)R時(shí)，即2h＝eq\f(2\r(3),3)R時(shí)，圓柱體的體積最大.【答案】eq\f(2\r(3),3)R8.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)為________.【解析】設(shè)毛利潤為L(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).因?yàn)樵趐＝30附近的左側(cè)L′(p)＞0，右側(cè)L′(p)＜0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L(30)是最大值，此時(shí)，L(30)＝23000.即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤為23000元.【答案】23000元二、解答題9.設(shè)有一個(gè)容積V一定的鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的價(jià)格是鐵的3倍，則如何設(shè)計(jì)可使總造價(jià)最少？【解】設(shè)圓柱體的高為h，底面半徑為r，設(shè)單位面積鐵的造價(jià)為m，桶的總造價(jià)為y，則y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh).由V＝πr2h，得h＝eq\f(V,πr2)，∴y＝4mπr2＋eq\f(2mV,r)(r＞0)，∴y′＝8mπr－eq\f(2mV,r2).令y′＝0，得r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))eq\f(1,3).此時(shí)h＝eq\f(V,πr2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))eq\f(1,3).該函數(shù)在(0，＋∞)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，且只有一個(gè)使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，問題中總造價(jià)的最小值顯然存在.∴當(dāng)r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))eq\f(1,3)時(shí)，y有最小值，即h∶r＝4∶1時(shí)，總造價(jià)最少.10.某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件.通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為x(0＜x＜1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是y(元).(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大.【解】(1)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1＋x)，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)[20(1＋x)－15]元，所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1).(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝eq\f(1,2)或x2＝－eq\f(2,3)(舍)，當(dāng)0＜x＜eq\f(1,2)時(shí)，y′＞0；當(dāng)eq\f(1,2)＜x＜1時(shí)，y′＜0，所以函數(shù)y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝eq\f(1,2)處取得最大值.故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30(元)時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大.[能力提升]1.用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長為________.【解析】設(shè)四角截去的正方形邊長為x.∴鐵盒容積V＝4(24－x)2x，所以V′＝4(24－x)2－8(24－x)x＝4(24－x)(24－3x)，令V′＝0，得x＝8，即為極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，所以在四角截去的正方形的邊長為8cm.【答案】8cm2.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k＞0).已知貸款的利率為，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x，x∈(0,，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為________.【解析】依題意，存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是，其中x∈(0，.所以銀行的收益是y＝－kx3(0＜x＜，則y′＝－3kx2.令y′＝0，得x＝或x＝0(舍去).當(dāng)0＜x＜時(shí)，y′＞0；當(dāng)＜x＜時(shí)，y′＜0.所以當(dāng)x＝時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為時(shí)，銀行獲得最大收益.【答案】3.如圖3-4-2，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積最大值是________.圖3-4-2【解析】設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2)).∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x(x∈(0,2)).由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2,\r(3))(舍去)，x2＝eq\f(2,\r(3))，∴當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,\r(3))))時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是遞增的，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))，2))時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是遞減的，∴當(dāng)x＝eq\f(2,\r(3))時(shí)，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).【答案】eq\f(4\r(3),9)4.甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失，并獲得一定凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足的函數(shù)關(guān)系是x＝2000eq\r(t)，乙方每年產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價(jià)格).(1)將乙方的年利潤W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量；(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y＝，在乙方按照獲得最大利潤的年產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？【解】(1)由題意，得W＝2000eq\r(t)－st＝－seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(t)－\f(103,s)))2＋eq\f(106,s)(t＞0)，∴當(dāng)eq\r(t)＝eq\f(103,s)，即t＝eq\f(106,S2)時(shí)，W取得最大值，為eq\f(106,s2)，∴乙方獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量為eq\f(106,s2)噸.(2)設(shè)在乙