第6章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第六章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念

6.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

6.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

6.4由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

6.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性6.6控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的計算機(jī)輔助分析本章教學(xué)要求：1.掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)定義及充要條件，熟悉用穩(wěn)定性的必要條件判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法2.掌握用routh-hurwitz判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法3.掌握nyquist判據(jù)使用方法4.熟悉nyquist圖與bode圖的相位穿越概念，并掌握用bode判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法5.了解相對穩(wěn)定性的概念，掌握判斷系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的方法6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念acbd穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺控制系統(tǒng)在外部擾動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復(fù)到原來的初始平衡狀態(tài)。(a)外加擾動注意：以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義控制系統(tǒng)注意：穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。(b)穩(wěn)定(c)不穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定:不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。（a）大范圍穩(wěn)定AB（b）小范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定:當(dāng)擾動引起的初始偏差在一定范圍內(nèi)，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)；而擾動引起的初始偏差超出其范圍內(nèi)，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)不能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。abcde（C）不穩(wěn)定AB不穩(wěn)定:只要擾動引起一點(diǎn)初始偏差，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)也不能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。原因：(1)在進(jìn)行系統(tǒng)分析時，所依賴的模型通常是簡化或線性化； (2)實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性； (3)系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕度。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)的穩(wěn)定性

關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性理論，是俄國學(xué)者李亞普諾夫（А.М.Лялунов）于1892年確立的。線性定常系統(tǒng)，在脈沖擾動的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動隨著時間的增長，可以逐漸趨于零，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的（系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定）。否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。定義：若系統(tǒng)在初始偏差作用下，其過渡過程隨時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之為不穩(wěn)定。ttt=0t--傳遞函數(shù)--脈沖函數(shù)作用下N(s)=1。系統(tǒng)脈沖響應(yīng)：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，t

→時，輸出量xo(t)=0。即如果pi和i均為負(fù)值，當(dāng)t→時，xo(t)→0系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，即：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)。S平面穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面注：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)。系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是-----系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)具有相同的符號，且無零系數(shù)（即系統(tǒng)特征方程不存在缺項(xiàng)）。假設(shè)系統(tǒng)特征根為s1、s2、…、sn-1、sn使用待定系數(shù)法分析特征方程根與系數(shù)之間的關(guān)系各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積系統(tǒng)特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部，則特征方程的系數(shù)必然同號（不妨設(shè)為均大于零）。例：試判斷系統(tǒng)：的穩(wěn)定性解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：所有特征根均在左半s平面，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。例：某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。：被控對象水箱的傳遞函數(shù)；：執(zhí)行電動機(jī)的傳遞函數(shù)；K1：進(jìn)水閥門的傳遞系數(shù)Kp：杠桿比H0：希望水位高H

：實(shí)際水位高系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)特征方程為：無論怎樣調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)，如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。為三階系統(tǒng)，但缺少s項(xiàng)，即對應(yīng)的特征多項(xiàng)式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定?！獮橄到y(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)令則特征方程展開寫為Xi(s)Xo(s)系統(tǒng)傳遞框圖例：判斷如圖所示單位負(fù)反饋系統(tǒng)是否穩(wěn)定。其系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為特征方程的根為可見，此系統(tǒng)兩個根均具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性可以通過求解特征方程和特征根來判斷，但是使用這種方法求解三階以上特征方程非常困難，因而提出其它穩(wěn)定性判據(jù)。要使特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部的必要條件：（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號全部相同即：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)全部大于0。6.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程充分條件：“勞斯陣列”第一列所有項(xiàng)全部為正。勞斯陣列是利用勞斯判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要工作，其列寫步驟如下：列寫系統(tǒng)特征方程并使用必要條件判斷穩(wěn)定性由系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)排成勞斯陣列的前兩行其中，第一行為sn、sn-2、sn-4的各項(xiàng)系數(shù)依次排成；第二行為sn-1、sn-3、sn-5的各項(xiàng)系數(shù)依次排成。勞斯陣列計算行列式的其余各行計算勞斯陣列的每一行都要用到該行前面兩行的數(shù)據(jù)一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部>0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面的根數(shù)。勞斯陣列【例】：特征方程為

，試判斷穩(wěn)定性?！窘狻浚簞谒龟嚵袨椋核远A系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：均大于零【例】：特征方程為， 試判斷穩(wěn)定性。【解】：勞斯陣列為：三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：均大于零且【例】已知特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由必要條件判斷系統(tǒng)各項(xiàng)系數(shù)均大于0，作勞斯陣列如下第一列中有負(fù)值出現(xiàn)，不全部大于零，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。例

設(shè)有系統(tǒng)的方框圖如圖所示。已知=0.2,n

=86.6，試確定K的值使系統(tǒng)穩(wěn)定。解：系統(tǒng)的開環(huán)及閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為:開環(huán)閉環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程為:代入已知參數(shù),得:-+XiXoE++1K/s作勞斯陣列:系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為:(1)必要條件:7500K>0即K>0(2)充分條件:即K<34.6所以，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍為:0<K<34.6兩種特殊情況特殊情況一【例】【解】各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件特殊情況：第一列出現(xiàn)0，該行其余項(xiàng)不為零。解決方法：用任意小正數(shù)代之。第一列符號改變2次，有2個正實(shí)根?！窘狻扛黜?xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件【例】第一列符號改變2次，有2個正實(shí)根。第一列全為正，臨界穩(wěn)定，解A(s)可得虛根特殊情況二【例】【解】各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件特殊情況：有一行元素全為0。解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后得到系數(shù)方程?！窘狻扛黜?xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件【例】D(s)=s2(s+2)+(s+2)=(s+2)(s2+1)第一列全為正，無正實(shí)根，有虛根，臨界穩(wěn)定。s1=j,s2=-j,s3=-2A(s)=2s2+2=0②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程勞斯陣列出現(xiàn)零行特征方程為：①有大小相等符號相反的特征根時會出現(xiàn)零行。對其求導(dǎo)得零行系數(shù)方程:繼續(xù)計算勞斯表第一列全大于零，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定由綜合除法可得另兩個根為S3，4=-2，-3解輔助方程得對稱根:S1，2=±j勞斯陣列出現(xiàn)零行，系統(tǒng)一定不穩(wěn)定勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根大小相等符號相反的根共軛虛根對稱于實(shí)軸的兩對共軛復(fù)根【例】設(shè)系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍?！窘狻肯到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：均大于零且系統(tǒng)的特征方程【例】已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時參數(shù)K的取值范圍?！窘狻肯到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程K+1>0

即

K>-1,同時要滿足

K>

0,K<3，所以穩(wěn)定范圍：0<K<3勞斯判據(jù)的不足：定性——較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度必須知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)對含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無效勞斯穩(wěn)定判據(jù)有三個功能：①可進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。②可判斷不穩(wěn)定情況下有幾個正實(shí)部根，即有幾個極點(diǎn)在[S]平面右半部。③可求控制系統(tǒng)的增益，即放大系數(shù)K。

2.赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程為:

不失一般性，設(shè)。因?yàn)楫?dāng)時，只要用-1乘以上式的兩邊，即可滿足假設(shè)條件。構(gòu)造赫爾維茲（Hurwitz）行列式如下:

注意到,n階系統(tǒng)的赫爾維茲行列式的主對角線上的元素依次為，每列元素是以主對角線元素為基準(zhǔn)，往下按注腳遞增的順序排列，往上按注腳遞減的順序排列，凡是注腳大于n或小于零的系數(shù)均為零。而低階赫爾維茲行列式是的各階順序主子式。

赫爾維茲穩(wěn)定判據(jù)：設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是an>0，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的赫爾維茨行列式的主子行列式全部為正。例：使用赫爾維茨判據(jù)判斷穩(wěn)定性，特征方程如下：赫爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：3李納德-戚帕特穩(wěn)定判據(jù)李納德-戚帕特（Lienard-Chipart）證明，在特征多項(xiàng)式系數(shù)為正的條件下，若所有奇數(shù)階赫爾維茲行列式均為正，，則所有偶數(shù)階赫爾維茲行列式也為正，即，，，反之亦然。所以，有下列李納德-戚帕特穩(wěn)定判據(jù)。

李納德-戚帕特穩(wěn)定判據(jù)：設(shè)特征多項(xiàng)式系數(shù)全為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:

（若為奇數(shù))或

（若為偶數(shù))[例]：系統(tǒng)的特征方程為：試用赫爾維茨定理判穩(wěn)。[解]：系統(tǒng)的特征方程為：列赫爾維茨行列式：所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計算 這樣可以減小一半的計算量。

4.勞斯判據(jù)與赫爾維茲判據(jù)的關(guān)系

勞斯判據(jù)與赫爾維茲判據(jù)雖然是獨(dú)立提出的，但本質(zhì)上是一樣的。勞斯陣列的第一列元素Cij和赫爾維茲行列式的關(guān)系是：因此，在an>0的情況下，如果所有的赫爾維茲行列式為正值，那么，勞斯陣列的第一列元素必大于零，反之亦然。6.3奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的特征根全部具有負(fù)的實(shí)部。Routh判據(jù)：利用閉環(huán)特征方程根與系數(shù)之間的關(guān)系來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！且环N代數(shù)判據(jù)Nyquist判據(jù)：利用開環(huán)頻率特性的Nyquist圖，分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！且环N幾何判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有穩(wěn)定性判據(jù)的基礎(chǔ)。Routh穩(wěn)定判據(jù)是時域中的有效判據(jù)。與此類似，Nyquist及Bode穩(wěn)定判據(jù)是常用的頻域穩(wěn)定性判據(jù)。特點(diǎn)：頻域穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。Nyquist判據(jù)能如Routh判據(jù)那樣，指出系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)，即具有正實(shí)部的特征根的個數(shù)。還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備——相對穩(wěn)定性。指出進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途徑。-p1,-p2,,-pn—F(S)的極點(diǎn)，也是開環(huán)特征方程的根。6.3.1幅角原理-z1,-z2,,-zm—F(S)的零點(diǎn)，也是閉環(huán)特征方程的根。令F(s)建立了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式、開環(huán)特征多項(xiàng)式和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)之間的關(guān)系若在S平面上任取一封閉曲線Cs，且令S以順時針方向沿著Cs變化，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)ds，都可以在F(S)平面上找到一個相應(yīng)的點(diǎn)df，求得其在F(S)平面上的映射曲線CF。CFjVu∠F(s)σCsXXXXjωsZiPkZrPrPsPqdsdf假設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)是s的單值解析函數(shù)，那么對于s平面上的任一點(diǎn)，在F(s)平面上必定有一個對應(yīng)的映射點(diǎn)。設(shè)s為一復(fù)數(shù)變量，F(xiàn)(s)是s的有理分式函數(shù)，設(shè)其形式為如果在s平面畫一條封閉曲線，并使其不通過F(s)的任一奇異點(diǎn)（即F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)），則在F(s)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線。[柯西幅角定理]：設(shè)F(s)為s的多項(xiàng)式分式型函數(shù)，除在[s]平面的有限個奇異點(diǎn)外，為單值連續(xù)正則函數(shù)。如果解析點(diǎn)s1在[s]平面上沿封閉曲線Γs(Γs不經(jīng)過F(s)的奇異點(diǎn)）按順時針方向連續(xù)變化一周，那么函數(shù)F(s)在平面上的映射也是一條封閉曲線Γf，并且Γf按順時針方向包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N=Z-PZ是包圍于Γs內(nèi)F(s)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，P是包圍于Γs

內(nèi)F(s)函數(shù)的極點(diǎn)個數(shù)。

N>0，Γf順時針包圍原點(diǎn)

N<0，Γf逆時針包圍原點(diǎn)

N=0，Γf不包圍原點(diǎn)6.3.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1）反饋系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)的特征多項(xiàng)式的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)函數(shù)F(s)的分子、分母分別是系統(tǒng)閉環(huán)與開環(huán)的特征多項(xiàng)式（極點(diǎn)多項(xiàng)式），由于開環(huán)傳遞函數(shù)分母階次大于等于分子階次，故分子分母階次相同，均為n階。閉環(huán)傳遞函數(shù)作輔助方程輔助方程與開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系。所構(gòu)造的輔助方程為F(s)=1+G(s)H(s)，G(s)H(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)。因此，有以下兩點(diǎn)是明顯的：

1)

F(s)=1+G(s)H(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于G(s)H(s)對(-1,j0)點(diǎn)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與G(s)H(s)對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。2)F(s)的極點(diǎn)就是G(s)H(s)的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是G(s)H(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。F(jω)=1+G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)與F(jω)的奈奎斯特關(guān)系ⅠⅡⅢ令ω從-∞增長到0，相應(yīng)得出的奈奎斯特圖是與ω從0增長到+∞得出的奈奎斯特圖以實(shí)軸對稱的，例如圖所示的奈奎斯特圖。ImRe

0

6.3.3

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)表述閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)，當(dāng)ω從-∞變化到+∞時逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N，等于其開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)P。即：Z=P–N，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件Z=0，∴N=P;

N—G(s)H(s)逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù),Z—閉環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù),P—開環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。(或:N=Z-P,Z=N+P)N—G(s)H(s)

順時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)

【例】

反饋系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！窘狻縋=0，圖中ω由-∞→+∞時，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。開環(huán)穩(wěn)定(即P=0)時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)，當(dāng)ω從-∞變化到+∞時逆時針不包圍(-1,j0)點(diǎn)。否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?！纠?/p>

開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。【解】開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P=0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0，故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。T1=2,T2=5,k=2【例】

設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。【解】開環(huán)極點(diǎn)為-1

及（-1±j2)，都在s左半平面即P=0。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞(-1,j0)點(diǎn)2圈，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?！纠?/p>

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)右圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-【解】開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個半徑為k/2，圓心在(-k/2,0)的圓。顯然，k>1時，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時不包圍(-1,j0)點(diǎn)。1）由圖中看出：P=1，當(dāng)

k>1時，奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈N=1，則N=P，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2）當(dāng)k=1時，奈氏曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3）當(dāng)k<1時，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0，P=1，則Z=1，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)有如下說明：①對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)（即P=０，G(s)H(s)在右半s平面無極點(diǎn)），當(dāng)且僅當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)不通過也不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；②對于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)（即P≠0，G(s)H(s)在右半s平面含有P個極點(diǎn)），當(dāng)且僅當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)P圈，即N=P時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；③如果N≠P，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)正實(shí)部特征根的個數(shù)為Z=P–N；

④當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)通過(-1，j0)點(diǎn)時，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為6.3.3開環(huán)傳遞函數(shù)具有原點(diǎn)處極點(diǎn)的處理式中：ν—開環(huán)傳遞函數(shù)中位于原點(diǎn)的極點(diǎn)個數(shù)。考慮s平面上有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的ν個極點(diǎn)，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)為：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有ν個極點(diǎn)位于s平面原點(diǎn)時，將其作為左極點(diǎn)處理，并增補(bǔ)相位，如果增補(bǔ)開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)（ω從-∞→+∞）逆時針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。開環(huán)Nyquist曲線的輔助線（增補(bǔ)線）(v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)相連起始點(diǎn)(0+)

(0+)+v90°線ω=0+ReImω1ω2ω4ω=∞-1

一般習(xí)慣上把系統(tǒng)開環(huán)的零根作為左根對待含有一個積分環(huán)節(jié)的奈奎斯特圖含有兩個積分環(huán)節(jié)的奈奎斯特圖含有三個積分環(huán)節(jié)的奈奎斯特圖

應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時，可能會遇到下列三種情況：

當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的全部極點(diǎn)都位于s平面左半部時(P=0)，如果開環(huán)的奈氏曲線不包圍GH平面的（-1,j0）點(diǎn)（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有P個位于s平面右半部的極點(diǎn)時(非最小相位系統(tǒng))，如果系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的(Z=P-N=0

)，否則不穩(wěn)定;Ⅲ.如果系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線順時針包圍（-1,j0)點(diǎn)N圈（N>0），則無論開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有無右極點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的（Z=P+N>0）。綜上，開環(huán)奈氏曲線是否包圍GH平面的(-1,j0)點(diǎn)是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)（當(dāng)然還須考慮是否存在s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)奈氏曲線包圍（-1,j0）點(diǎn)的方向）。當(dāng)開環(huán)奈氏曲線恰好通過GH平面的（-1,j0）點(diǎn)（注意不是包圍），此時如果系統(tǒng)無位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。頻域穩(wěn)定性分析小結(jié)

1）最小相位系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：奈奎斯特曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)。

2）原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)情況

原點(diǎn)有個開環(huán)極點(diǎn)：0

時，復(fù)變函數(shù)G(j)H(j)在原點(diǎn)處不解析，幅角增量值不定。處理方法如圖。作無窮小半圓饒過原點(diǎn)，即將原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)視為s左半平面的極點(diǎn)(左極點(diǎn))處理，并增補(bǔ)相位，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：奈奎斯特曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)。s+0jwS平面0dRew=0+ImG(jω)H(jω)平面

0

增補(bǔ)角

w?+￥

增補(bǔ)線3）非最小相位系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(S)有P個位于S平面右半部的極點(diǎn)時，如果系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的(Z=P+N=0），否則是不穩(wěn)定的。

6.3.4簡易奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

（1）正、負(fù)穿越的概念

G(jω)H(jω)曲線對稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫ω

=0→∞的部分。 所謂“穿越”是指G(jω)H(jω)開環(huán)頻率特性曲線，從ω

=0→∞時穿過負(fù)實(shí)軸（-1，-∞）段。正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用N+表示。負(fù)穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用N-

表示。負(fù)穿越0(－1，j0)ImRe+-0(－1，j0)ImRe正穿越

N+=2，N-=1若G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)ω由0變化到∞時，G(jω)H(jω)曲線在(-1，j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越之差為P/2。（P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)）N+-N-=P/2{實(shí)際上曲線逆時針繞(-1,j0)點(diǎn)圈數(shù)Z=2(N+-N-)}奈氏判據(jù)判穩(wěn)實(shí)用步驟1、做常規(guī)開環(huán)傳遞函數(shù)極坐標(biāo)圖(0+≤≤+∞)；2、從G(j0+)H(j0+)開始，逆時針補(bǔ)畫一條半徑為∞，圓心角為的圓??；3、計算N(按照正負(fù)穿越情況計算)；4、從G(s)H(s)中找出不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)P；5、按照奈氏判據(jù)N+-N-

=P，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！纠磕诚到y(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！窘狻肯到y(tǒng)有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面(P=2)，G(jω)H(jω)軌跡在點(diǎn)(-1,j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因?yàn)椋?/p>

N+-N-=

2-1=1=P/2，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

【例】系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。【解】a）N+=0，N-=1，N+-N-=-1≠P/2=0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。b）K>1時，N+=1，N-=1，N+-N-=0=P/2，系統(tǒng)穩(wěn)定。

K<1時，N+=0，N-=1，N+-N-=-1≠P/2=0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

K=1時，奈氏曲線穿過(-1,j0)點(diǎn)，由上面可以看出，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。

a）

b）-1【例】如圖所示的奈氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)奈氏圖與單位圓交點(diǎn)頻率即剪切頻率ωc，另設(shè)與實(shí)軸相交點(diǎn)頻率為ωg。當(dāng)幅頻特性A(ω)>1時，就相當(dāng)于開環(huán)伯德圖L(ω)>0dB；A(ω)<1時，就相當(dāng)于開環(huán)伯德圖L(ω)<0dB。這樣，把右圖轉(zhuǎn)換成伯德圖時，其單位圓相當(dāng)于對數(shù)幅頻特性的0dB線，而ωg點(diǎn)處相當(dāng)于對數(shù)相頻特性的-π軸。如果開環(huán)特征多項(xiàng)式?jīng)]有右半平面的根，且在L(ω)≥0的所有角頻率范圍內(nèi)，相角范圍都大于–π

線，那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(圖中曲線1穩(wěn)定，曲線2不穩(wěn)定)

6.4對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系：極坐標(biāo)圖單位圓單位圓以內(nèi)區(qū)域(幅值<1)單位圓以外區(qū)域(幅值>1)負(fù)實(shí)軸伯德圖0db線（對數(shù)幅頻特性圖）0db線以下區(qū)域0db線以上區(qū)域-180°線（相頻特性圖）因此，奈奎斯特曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L(ω)>0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180°線。Nyquist圖：正穿越——在（-1，j0）點(diǎn)左側(cè)逆時針穿過負(fù)實(shí)軸負(fù)穿越——在（-1，j0）點(diǎn)左側(cè)順時針穿過負(fù)實(shí)軸Bode圖：正穿越——幅頻在0dB以上時相頻自下而上穿過-180度線負(fù)穿越——幅頻在0dB以上時相頻自上而下穿過-180度線ReImω

=0+ω1

ω2ωcω4ω=∞-1L(ω)0φ(ω)ω1ω2ωcω4ωω0°-90°-180°0(－1，j0)ImRe+-+-0°-180°Φ(ω)ω由伯德圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定在開環(huán)對數(shù)幅頻的頻段內(nèi)，對應(yīng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對-π

線的正、負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2

。即 N+－N-=P/2

。P為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)位于[S]右半平面的極點(diǎn)數(shù)。伯德穩(wěn)定判據(jù)例系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性如下圖，試判別開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：N+=1，

N-=2，

N+-N-=-1≠P/2=1系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。解：N+=2，

N-=1，

N+-N-=1=P/2系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。6.4.1穩(wěn)定裕度概念(-1,j0)特征方程最接近虛軸的根至虛軸的距離越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。（虛軸是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定邊界）在[GH]平面上，G(j)H(j)軌跡不包圍(-1，j0)點(diǎn)，且離(-1，j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好6.4頻域穩(wěn)定裕度

穩(wěn)定裕度是反映閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）的指標(biāo)?？梢远康厥褂孟到y(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)至虛軸的距離來描述，也可用系統(tǒng)開環(huán)nyquist軌跡與(-1,j0)點(diǎn)的靠近程度來反映，是評價系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標(biāo)，是系統(tǒng)動態(tài)設(shè)計的重要依據(jù)之一。穩(wěn)定裕度常用相位裕度

和幅值裕度Kg來衡量。

1）相位裕度

剪切頻率c：開環(huán)幅相曲線上，幅值為1時的頻率稱為剪切頻率。即=180o+(c)物理意義：若系統(tǒng)剪切頻率c處的相位滯后再增加角，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。相位裕度

-----

在剪切頻率c上系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定邊界所需要的附加相位滯后量

2）幅值裕度Kg

(

或h)

相角交界頻率g：開環(huán)幅相曲線上，相角為-180°點(diǎn)的頻率稱為相角交界頻率。即

幅值裕度Kg：開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)稱為幅值裕度，記為：物理意義：若系統(tǒng)開環(huán)增益增大到原來的Kg倍，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。A(ωg)=1/KgL(ω）0φ(ω）-90°-180°-270°ωωKg(db)>0ωgωcγ>0L(ω）0φ(ω）-90°-180°-270°ωωKg(db)<0ωgωcγ<0正相位裕度負(fù)相位裕度0.11.01010002040-20-40-90°-180°-225°-135°【例】系統(tǒng)如圖所示-如圖所示是不同K值下頻率特性曲線，由于c及g之間的距離不同，則它們的相對穩(wěn)定程度是不同的。對于最小相位系統(tǒng)，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則應(yīng)該滿足：

Kg>1或Kg(dB)>0，

>0。一般，為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，描述系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，需要同時給出幅值裕度和相位裕度兩個量，缺一不可。

工程上，一般取：3）相位裕度和幅值裕度的求解方法通常有三種求解系統(tǒng)相位裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標(biāo)圖法和伯德圖法。

(1)解析法【例】已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度。【解】系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為幅頻特性令解得令解得相頻特性(2)極坐標(biāo)圖法

B(3)Bode圖法穩(wěn)定裕度說明穩(wěn)定裕度定義只適用于最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)，由于情況不唯一，沒有實(shí)用意義。穩(wěn)定裕度可以作為頻域性能指標(biāo)使用?？梢杂糜谙到y(tǒng)分析，也可以用于系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)使用。穩(wěn)定裕度又可稱為相對穩(wěn)定性指標(biāo)。大部分情況下，幅值裕度Kg與相位裕度不能單獨(dú)使用。

部分情況下，由于相位裕度計算簡單方便，因此，經(jīng)常使用相位裕度。在最小相位系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性與開環(huán)相頻特性之間具有一定的對應(yīng)關(guān)系，相位裕度

=30o~60o表明開環(huán)對數(shù)幅頻特性在剪切頻率c上的斜率應(yīng)大于-40dB/dec，為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并具有足夠的相位裕度，開環(huán)對數(shù)幅頻特性最好以-20dB/dec的斜率通過0dB線，下圖所示。如果以-40dB/dec的斜率通過0dB線，則閉環(huán)系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定，相位裕度往往也較小。如果以-60dB/dec或更負(fù)的斜率通過0dB線，則閉環(huán)系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。

L(ω)ωω3ω2ωc-40-20dB/dec-400dB6.6控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的計算機(jī)輔助分析由系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)可知，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性實(shí)際上是判定系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的位置。其前提需要求出特征方程的根。MATLAB提供了與之相關(guān)的函數(shù)：p=eig(G)——求取矩陣特征根。系統(tǒng)的模型G可以是傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程和零極點(diǎn)模型，可以是連續(xù)或離散的P=pole(G)/Z=zero(G)分別用來求系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。G是已經(jīng)定義的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型[p,z]=pzmap(sys)求系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。sys是定義好的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型r=roots(P)求特征方程的根。P是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式降冪排列的系數(shù)向量

例1：已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為用MATLAB判定穩(wěn)定性。>>num=[1021];>>den=[12812201616];>>G=tf(num,den)

%得到系統(tǒng)模型Transferfunction:s^3+2s+1-------------------------------------------------s^6+2s^5+8s^4+12s^3+20s^2+16s+16>>p=eig(G)

%求系統(tǒng)的特征根p=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i>>p1=pole(G)

%求系統(tǒng)的極點(diǎn)p1=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i>>r=roots(den)

%求系統(tǒng)特征方程的根r=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i系統(tǒng)特征根有2個是位于s左半平面的，而4個位于虛軸上。由于有位于虛軸的根，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。在實(shí)際工程應(yīng)用上看，系統(tǒng)可認(rèn)為是不穩(wěn)定的。分析：由不同MATLAB函數(shù)求得的系統(tǒng)特征方程根是一致的。在需要時根據(jù)情況選擇使用。例2：給定系統(tǒng)如下圖，給出MATLAB程序判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，要求程序給出適當(dāng)提示。num0=[13];den0=[245810];