2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第一章統(tǒng)計(jì)1．關(guān)于抽樣方法(1)用隨機(jī)數(shù)法抽樣時(shí)，對(duì)個(gè)體所編號(hào)碼位數(shù)要相同，當(dāng)問題所給位數(shù)不同時(shí),以位數(shù)較多的為準(zhǔn)，在位數(shù)較少的數(shù)前面添“0”，湊齊位數(shù)．(2)用系統(tǒng)抽樣法時(shí)，如果總體容量N能被樣本容量n整除,抽樣間隔為k＝eq\f(N,n）；如果總體容量N不能被樣本容量n整除，先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除多余個(gè)體,抽樣間隔為k＝eq\f(K,n）（其中K＝N－多余個(gè)體數(shù))．(3）三種抽樣方法的異同點(diǎn)類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時(shí),采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)之比抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成2.關(guān)于用樣本估計(jì)總體(1)用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布時(shí)，通常要對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理,作頻率分布表與頻率分布直方圖時(shí)要注意其方法步驟．(2）莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有信息都可以從圖中得到;二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄,隨時(shí)添加，便于記錄和表示．（3）平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度．3．變量間的相關(guān)關(guān)系(1）除了函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系外,還大量存在因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系——相關(guān)關(guān)系，對(duì)于一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸方程就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值,獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解，主要是作出散點(diǎn)圖,寫出回歸方程．（2)求回歸方程的步驟：①先把數(shù)據(jù)制成表,從表中計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y),eq\i\su（i＝1,n，x)eq\o\al（2，i)，eq\i\su(i＝1，n,x）iyi；②計(jì)算回歸系數(shù)eq\o（a，\s\up6(^)），eq\o（b,\s\up6(^）)。公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o（b，\s\up6(^）)＝\f(\i\su(i＝1,n,x）iyi－n\x\to(x)\x\to(y)，\i\su(i＝1,n，x）\o\al(2，i)－n\x\to（x)2），，\o（a,\s\up6（^）)＝\x\to（y）－\o(b,\s\up6(^）)\x\to（x）；)）③寫出回歸方程eq\o(y,\s\up6(^）)＝eq\o(b，\s\up6（^）)x＋eq\o(a，\s\up6(^）).題型一抽樣方法的運(yùn)用1．抽樣方法有:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣．2．三種抽樣方法比較例1(1)某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名,高二年級(jí)有40名，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為(）A．6 B．8C．10 D．12（2)問題:①某小區(qū)有800戶家庭，其中高收入家庭200戶，中等收入家庭480戶，低收入家庭120戶，為了了解有關(guān)家用轎車購買力的某個(gè)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本；②從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會(huì)．方法：(1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；（2)系統(tǒng)抽樣；(3)分層抽樣．則問題與方法配對(duì)正確的是()A．①(1)，②（2) B．①(3），②（2)C．①(2），②(3) D．①（3），②(1）答案（1）B（2)D解析(1）分層抽樣的原理是按照各部分所占的比例抽取樣本．設(shè)從高二年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為n,則eq\f(30，40)＝eq\f(6,n)，得n＝8。（2）問題①中的總體是由差異明顯的幾部分組成的,故可采用分層抽樣方法；問題②中總體的個(gè)數(shù)較少，故可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．故匹配正確的是D。跟蹤訓(xùn)練1某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為（)A．11 B．12C．13 D．14答案B解析抽樣間隔為eq\f（840，42)＝20.設(shè)在1,2，…，20中抽取號(hào)碼x0（x0∈[1，20])．在［481，720］之間抽取的號(hào)碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N＋。所以24eq\f(1，20)≤k＋eq\f(x0,20)≤36.因?yàn)閑q\f（x0,20）∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1，20)，1）)，所以k＝24,25，26，…，35,所以k的值共有35－24＋1＝12（個(gè))，即所求人數(shù)為12.題型二用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布此類問題通常要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理．這類問題采取的圖表主要有：條形圖、直方圖、莖葉圖、頻率折線圖、扇形圖等．它們的主要優(yōu)點(diǎn)是直觀，能夠清楚表示總體的分布走勢(shì)．除莖葉圖外，其他幾種圖表法的缺點(diǎn)是原始數(shù)據(jù)信息有丟失．例2如圖所示的是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為10,則抽取的學(xué)生人數(shù)為()A．20 B．30C．40 D．50答案C解析前3組的頻率之和等于1－(0。0125＋0。0375）×5＝0。75，第2小組的頻率是0。75×eq\f(2，1＋2＋3)＝0.25，設(shè)樣本容量為n,則eq\f(10，n）＝0。25，則n＝40。故選C。跟蹤訓(xùn)練2有1個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[12。5,15。5），6；[15。5，18。5)，16;［18.5，21。5）,18；[21。5，24。5），22；[24。5,27.5)，20;［27.5，30.5)，10；［30.5，33.5]，8。（1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率）；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比．解(1)樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率累積頻率［12.5，15。5）60.060.06[15。5,18.5）160。160。22［18.5,21.5）180.180。40[21.5,24。5）220。220。62[24。5，27.5)200。200.82[27.5，30.5)100。100。92［30.5，33。5]80。081.00合計(jì)1001。00(2)頻率分布直方圖如圖．(3）小于30的數(shù)據(jù)約占90％.題型三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對(duì)總體相應(yīng)的數(shù)字特征作出估計(jì)．眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值；中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),處于中間位置的數(shù),如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，中間兩個(gè)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)；平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用eq\x\to(x）表示;標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)離散程度大小的最常用統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式是s＝eq\r(\f（1，n）［x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x）2＋…＋xn－\x\to（x）2])。有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方（s2－方差）來代表標(biāo)準(zhǔn)差．例3（1）若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（單位：分)(）A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92（2)從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表,則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為(）分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010A。3 B。eq\f(2\r（10），5)C．3 D.eq\f（8,5)答案（1）A（2)B解析（1）將這組數(shù)據(jù)從小到大排列,得87，89,90，91，92，93，94,96（單位：分)．故平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1，8)×（87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91。5(分)，中位數(shù)為eq\f(91＋92,2）＝91。5(分)．故選A。(2)∵eq\x\to（x)＝eq\f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，∴s2＝eq\f（1,n）［(x1－eq\x\to(x)）2＋（x2－eq\x\to（x))2＋…＋（xn－eq\x\to(x)）2]＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq\f(160，100）＝eq\f（8,5）?s＝eq\f（2\r(10），5）。跟蹤訓(xùn)練3為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(百分制）作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖．(1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0。05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率（60分及60分以上為及格）；（2）設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為eq\x\to(x)1,eq\x\to（x)2,估計(jì)eq\x\to(x)1－eq\x\to(x)2的值．解(1）設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n。由題意，知eq\f(30,n）＝0。05，解得n＝600.樣本中甲校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的人數(shù)為5，據(jù)此估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率為1－eq\f（5，30）＝eq\f(5,6）.(2）設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x′1），eq\x\to(x′2）.根據(jù)樣本莖葉圖知，30（eq\x\to（x′1）－eq\x\to（x′2））＝30eq\x\to(x′1)－30eq\x\to(x′2）＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\x\to（x′1）－eq\x\to（x′2)＝0。5,所以eq\x\to(x1）－eq\x\to（x2）的估計(jì)值為0。5分．題型四變量間的相關(guān)關(guān)系1．分析兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘法求出回歸方程．把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中作出，構(gòu)成的圖叫做散點(diǎn)圖．從散點(diǎn)圖上,我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．如果這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近,那么就說這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線稱為回歸直線，直線方程稱為回歸方程．2．回歸方程的應(yīng)用利用回歸方程可以對(duì)總體進(jìn)行預(yù)測(cè)，雖然得到的結(jié)果不是準(zhǔn)確值，但我們是根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律得到的，因而所得結(jié)果的正確率是最大的，所以可以大膽地利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)．例4某地連續(xù)十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^)）＝eq\o(b，\s\up6(^))x＋eq\o（a，\s\up6(^））；（2）利用（1）中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2016年的糧食需求量．解(1)由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2010－4－2024需求量－257－21－1101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to（x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o（b,\s\up6（^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29，－42＋－22＋22＋42）＝eq\f（260,40)＝6.5，eq\o(a，\s\up6（^）)＝eq\x\to（y)－eq\o（b，\s\up6（^）)eq\x\to(x)＝3。2.由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6（^))－257＝eq\o(b，\s\up6（^))（x－2010）＋eq\o（a,\s\up6(^））＝6.5(x－2010）＋3。2.即eq\o(y,\s\up6(^)）＝6.5(x－2010)＋260。2。①(2）利用直線方程①，可預(yù)測(cè)2016年的糧食需求量為6．5×（2016－2010）＋260.2＝6。5×6＋260。2＝299。2(萬噸)≈299（萬噸）．跟蹤訓(xùn)練4理論預(yù)測(cè)某城市2020到2024年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示:年份202x（年）01234人口數(shù)y（十萬）5781119(1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2）指出x與y是否線性相關(guān);(3)若x與y線性相關(guān)，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y，\s\up6(^)）＝beq\o(x,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6（^））；（4）據(jù)此估計(jì)2025年該城市人口總數(shù)．（參數(shù)數(shù)據(jù):0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30)解(1）數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖：（2）由散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)基本上分布在一條直線附近，故x與y呈線性相關(guān)．（3）由表知eq\x\to(x)＝eq\f（1，5)×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，eq\x\to(y）＝eq\f(1，5)×(5＋7＋8＋11＋19)＝10?！鄀q\o(b,\s\up6（^））＝eq\f(\i\su(i＝1，5，x）iyi－5\x\to（x）\x\to（y)，\i\su（i＝1，5，x）\o\al(2,i)－5\x\to（x）2)＝3.2，eq\o（a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b，\s\up6（^）)eq\x\to(x）＝3。6，∴回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^））＝3.2x＋3.6。（4）當(dāng)x＝5時(shí)，eq\o（y，\s\up6（^））＝19。6（十萬)＝196萬．故2025年該城市人口總數(shù)約為196萬．題型五數(shù)形結(jié)合思想名稱數(shù)形結(jié)合頻率分布直方圖數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)：[40，50)，2；［50，60)，3；[60,70），10;［70，80)，15；［80，90)，12；［90，100］，8①可求眾數(shù)：最高小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù);②可求中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等；③可求平均數(shù)：每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和;④可求落在各個(gè)區(qū)域內(nèi)的頻率莖葉圖甲的數(shù)據(jù)：95，81，75，89,71，65,76，88,94；乙的數(shù)據(jù)：83，86，93,99,88，103，98,114，98①莖是十位和百位數(shù)字，葉是個(gè)位數(shù)字；②可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布;③可用來求數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征,如中位數(shù)、眾數(shù)等散點(diǎn)圖n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)可以判斷兩個(gè)變量之間有無相關(guān)關(guān)系例5甲、乙兩人在相同的條件下各射靶10次，每次射靶成績(jī)（單位：環(huán))如下圖所示．(1）填寫下表:平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.21乙5。43(2）請(qǐng)從四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度；②從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰的成績(jī)好些；③從平均數(shù)和命中9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看誰的成績(jī)好些；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢(shì)分析誰更有潛力．解(1)乙的射靶環(huán)數(shù)依次為2,4，6，8，7，7，8,9,9，10。所以eq\x\to（x）乙＝eq\f（1，10)(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7;乙的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為2，4，6,7，7,8,8，9，9，10,所以中位數(shù)是eq\f（7＋8，2）＝7.5