2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程2.3直線與圓的方程的應(yīng)用3作業(yè)含解析新人教版必修2202202261117

PAGEPAGE6圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的方程的應(yīng)用A組基礎(chǔ)鞏固1．兩圓C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切線的條數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：∵圓C1的圓心C1(－2,2)，半徑為r1＝1，圓C2的圓心C2(2,5)，半徑r2＝4，∴C1C2＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5＝r1＋r2.∴兩圓相外切，∴兩圓共有3條公切線．答案：C2．由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2＋y2＝1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB＝60°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝2C．2x＋y－4＝0D．x－y－4＝0解析：數(shù)形結(jié)合，由平面幾何可知△ABP是等邊三角形，∴|OP|＝2，則P的軌跡方程為x2＋y2＝4.答案：A3．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20km的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市B在A地正東40km處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h答案：B4．圓x2＋y2＝50與圓x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦長(zhǎng)為()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)解析：x2＋y2＝50與x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得兩圓公共弦所在的直線方程為2x＋y－15＝0，圓x2＋y2＝50的圓心(0,0)到2x＋y－15＝0的距離d＝3eq\r(5)，因此，公共弦長(zhǎng)為2eq\r(5\r(2)2－3\r(5)2)＝2eq\r(5).答案：C5．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：由題意知，半徑為6的圓與x軸相切，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則b＝6，再由eq\r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圓的方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.答案：D6．若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m＜1B．m＞121C．1≤m≤121D．1＜m＜121解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圓心距為d＝eq\r(0＋32＋0－42)＝5，若兩圓有公共點(diǎn)，則|6－eq\r(m)|≤5≤6＋eq\r(m)，∴1≤m≤121.答案：C7．已知點(diǎn)P在圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是__________．解析：兩圓的圓心和半徑分別為C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝eq\r(4＋22＋2＋12)－3－2＝3eq\r(5)－5.答案：3eq\r(5)－58．與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于點(diǎn)A(4，－1)且半徑為1的圓的方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)所求圓的圓心為P(a，b)，則eq\r(a－42＋b＋12)＝1①由兩圓外切，得eq\r(a－22＋b＋12)＝1＋2＝3②聯(lián)立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－5)2＋(y＋1)2＝19．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝__________.解析：由已知兩個(gè)圓的方程作差可以得到相應(yīng)弦的直線方程為y＝eq\f(1,a)，利用圓心(0,0)到直線的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))),\r(1))＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，解得a＝1.答案：110．求過(guò)兩圓x2＋y2－x－y－2＝0與x2＋y2＋4x－8y－8＝0的交點(diǎn)和點(diǎn)(3,1)的圓的方程．解析：設(shè)所求圓的方程為(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，將(3,1)代入得λ＝－eq\f(2,5)，故所求圓的方程為x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0.B組能力提升11．兩圓x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，則m的取值范圍是()A．(－2,39)B．(0,81)C．(0,79)D．(－1,79)解析：兩圓的方程分別可化為(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.兩圓相交，得|5－eq\r(m＋2)|＜4＜5＋eq\r(m＋2)，解之得－1＜m＜79.答案：D12．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是()A．y＝eq\r(3)xB．y＝－eq\r(3)xC．y＝eq\f(\r(3),3)xD．y＝－eq\f(\r(3),3)x解析：因?yàn)閳A心為(－2,0)，半徑為1，由圖可知直線的斜率為eq\f(r,\r(4－r2))＝eq\f(\r(3),3)，所以直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)x.答案：C13．已知半徑為5的動(dòng)圓C的圓心在直線l：x－y＋10＝0上．(1)若動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)(－5,0)，求圓C的方程；(2)是否存在正實(shí)數(shù)r，使得動(dòng)圓C中滿足與圓O：x2＋y2＝r2相外切的圓有且僅有一個(gè)，若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)依題意，可設(shè)動(dòng)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圓心(a，b)滿足a－b＋10＝0.又∵動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(－5,0)，∴(－5－a)2＋(0－b)2＝25.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋10＝0，,－5－a2＋0－b2＝25，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－10，,b＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝5.))故所求圓C的方程為(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.(2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(|10|,\r(1＋1))＝5eq\r(2).當(dāng)r滿足r＋5＜d時(shí)，動(dòng)圓C中不存在與圓O：x2＋y2＝r2相外切的圓；當(dāng)r滿足r＋5＞d時(shí)，r每取一個(gè)數(shù)值，動(dòng)圓C中存在兩個(gè)圓與圓O：x2＋y2＝r2相外切；當(dāng)r滿足r＋5＝d時(shí)，即r＝5eq\r(2)－5時(shí)，動(dòng)圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x2＋y2＝r2相外切．14．為了適應(yīng)市場(chǎng)需要，某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形生豬儲(chǔ)備基地(如圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲(chǔ)備基地的邊界上的點(diǎn)A，接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)B；從基地中心O向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選一點(diǎn)D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)OB，OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓O的