知識(shí)講解-解三角形的應(yīng)用舉例-提高

解角的用例編稿：張林娟

審稿：孫永釗【習(xí)標(biāo)能夠利用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的問題；提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，并初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法；掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決幾何計(jì)算問題的方.【點(diǎn)理要一解角應(yīng)題步解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知實(shí)際應(yīng)用中，首先要弄清題意，畫出直觀示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，再確定是哪解三角形問題，即應(yīng)用哪個(gè)定理來解決其解題的一般步驟是：準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的系；根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；分析與所研究的問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解(4)將角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，做到算法簡(jiǎn)練，算式工整，計(jì)算正.要二解角應(yīng)題基思實(shí)際問

畫圖

數(shù)學(xué)問

解三角形

數(shù)學(xué)問的解

檢驗(yàn)

實(shí)際問的解要三實(shí)問中一名、語仰和角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示：坡和度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常字母i表示.坡比坡角的正切值方角方角方角一指正北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到到目標(biāo)方向線的水平角.方位角的取值范圍為0°～360°.如圖，點(diǎn)B的方位角是135

.方角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方線所成的角(一般指銳角)，通常表達(dá)成南)偏西)多少度如圖為南偏西

方向（指以正南方向?yàn)槭歼?，向正西方向旋轉(zhuǎn)

如圖為北偏東30方（指從正北開始正東方向旋轉(zhuǎn)東方：經(jīng)過目標(biāo)的射線是正東與正南的夾角平分.依此可類西南方向、西北方向等；要四解角應(yīng)中常題用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：測(cè)量距離問題：這類問題的情景一般屬于“測(cè)量有障礙物相隔的兩點(diǎn)間的距離”，在測(cè)量過程，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，測(cè)量工具要有較高的精確.測(cè)量高度問題：這類問題的情景屬于“測(cè)量底（頂）部不能到達(dá)的物體的高度測(cè)過程中，要注意選取適量不同的測(cè)量點(diǎn)，使測(cè)量有較高的精確.測(cè)量角度問題：這類問題的情景屬于“根據(jù)需要，對(duì)某些物體定位”.測(cè)量數(shù)據(jù)越精確，定位精越高.【型題類一距問例1.如圖，、兩都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)者在河岸邊選定兩點(diǎn)、D測(cè)得m，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得

ADB

30

45

求河的對(duì)岸的兩點(diǎn)、sinBCD40sin30sinBCD40sin30間的距離【思路點(diǎn)撥】這是一道關(guān)于研究?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題.題目件告訴了邊的長(zhǎng)以及以、D頂點(diǎn)的四個(gè)角根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理弦定理很容易算出AC、AD、或BD然后選擇恰當(dāng)?shù)娜切?，再利用余弦定理可以?jì)算出AB的離【解析】在ADC中

，60

，ADC45

ACB

30

90

，在Rt中，AD

CD402（m在中，ADB

，BCD

，ADC

，ADB60105，DBC

由正弦定理得：BDsinDBC

202（m）在中由余弦定理得：AD

ADBDcos60

20故A間距離為206【總結(jié)升華】此題雖為解三角形問題的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)過程中應(yīng)注意排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出.舉反：【變式1】如圖，設(shè)兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在的側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，出的離是42m，，ACB75

.求A、B兩的距離【答案】根據(jù)正弦定理，得

ACBABC

，∴AB

ACsin42sin26(m)ABCsin答、B點(diǎn)間的距離為m.【變式】為了開鑿隧道，要測(cè)量隧道上D、間距離，為此在山一側(cè)選取適當(dāng)點(diǎn)，圖，測(cè)得CA，CB，ACB60

，又測(cè)得AB兩點(diǎn)到隧道口的距離AD80m

，BED、E、在條直線上)，計(jì)隧道的.【答案】在△ABC中CB，ACB由余弦定理得AB

AC

BC

∴∴ABAD.答：隧道長(zhǎng)約為409.2m.

2007529.2(m)類二測(cè)高問【清堂解三角形應(yīng)用舉例377493例2例人在塔的正東沿著南偏西6方向前進(jìn)40米后望見塔在東北方向，若沿測(cè)得塔的最大仰角為

塔高.【思路點(diǎn)撥】找出“當(dāng)看到塔的最大仰角時(shí)，某人的位置”是解決本題的關(guān)鍵.先出空間圖形再將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，利用正、余弦定理求..【解析】由右圖所示，過B做BE于E，題意知在E點(diǎn)得塔的最大仰角3

，在在△BCD中，CD40,BCD

,DBC135

.由正弦定理CDDBCBCD∴BD

40sin30

在RtBED中BDE

，∴sin15

20

64

10(3

，在Rt中30

∴ABBEtan30

3)

（米）故所求塔高為

(33)

米【總結(jié)升華】測(cè)高度是在與面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形依條件結(jié)合正弦定理和余弦定理來解，解決測(cè)量高度的問題時(shí)，常出現(xiàn)仰角與俯角的問題，要注意它們的區(qū)別與聯(lián).舉反：BCBCBCBC【變式某處測(cè)得建筑物的端仰角為BE方向前進(jìn)30m點(diǎn)C處得端A仰角為2再繼續(xù)前進(jìn)103m至點(diǎn)，得頂端的角為4求大和建筑物的.【答案】所求角15

，建筑物高度為

.類三方角題例圖一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北

的方向上駛后達(dá)處得此山頂在偏北75

的方向上角15

此山的高度CD【思路點(diǎn)撥】欲求出，只需在BCD中求出BD或BC，在BCD中求BC邊比較適合；或設(shè)

，列方程解.【解析】方一在中，

，

，2，根據(jù)正弦定理：=，C

sinsin30sinsin45

，∴CBtan15

8tan15

3(km).方二設(shè)CD=x，則

CDCD3)tan150

，根據(jù)正弦定理：=，C

sinsin30sinsin45

，∴(23)x，解得x16(km答：此山的高度為8.

，即3(km).【總結(jié)升華】正確地畫出其空間示意圖、將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān).舉反：【變式兩燈塔B與洋觀察站的距都等于塔在察站的偏30在觀察站南西60則A、之的距離為.【答案】2

燈塔B如圖，AC

，ACB18090

，AB2km.【變式2如圖所示知座塔和與洋觀察站C的離都等于燈在察站的北偏東20°燈塔B在察站C的偏東40°，則燈塔A燈塔B的離()A.akmC.2【答案】類四航問

B.akmD.【清堂解三角形的應(yīng)用舉例377493例3】例4.如圖所示在岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°向距為3)kmB處一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距為2km的C處緝私船奉命以103km/h的度追截走私此時(shí)走私船正以10的度從B處北偏東30°方向逃竄,則緝私船沿什方向能最快追上走私?求出所需要的時(shí).【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)審題，畫出示意圖，即可求出CD的位角及由C到D需航行的時(shí).這里必須弄清楚三個(gè)概念：(1)方位角(2)沿什么方向追，按什么方位角航行最快追上，即應(yīng)理解為按直線航行，且船所用時(shí)間相等.【解析】設(shè)緝私船追上走私船需th，3t由余弦定理，得

，BDt

.

AB831)cos(45

)6(km)，由正弦定理，得

ACBC2

，∴ABC45

，CBD

，∴sinBCD

BDtsin1203t

＝＝＝＝∴30

，BDC

.∴BDBC)

，即1t，∴t

(h).答：緝私船向東偏北30方，只需

便能追上走私.【總結(jié)升華】航海問題中關(guān)鍵是方向角的表示，最好要參照方向坐標(biāo)，準(zhǔn)確的畫出圖.舉反：【變式1】如圖A，是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A北偏東45°，B點(diǎn)偏西60°D有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)偏西60°且與B點(diǎn)距203海的的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里小，求該救援船到達(dá)點(diǎn)要多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】由意知AB53045，∴，在△DAB中由正弦定理得

∴DB

AB53sinADBsin105

sin

4560cos45

sin60

＝3又∠DBCDBA＋60，，在△中，由余弦定理得CD

＋

2300×20×

＝900，∴

(海里，需要的時(shí)間

(小).答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)【清堂解三角形應(yīng)用舉例377493變式練】【變式2圖所示中島A的圍海里內(nèi)有暗礁某船正由北向航行處得島在船的南偏東30航30里后，在C處得小島在船的南偏東450，如此船不改變航向，繼續(xù)向航行，有無觸礁危險(xiǎn)？，∴，∴【答案】船繼續(xù)向南航行，有無觸