材料力學(xué)03章 扭轉(zhuǎn)

第三章扭轉(zhuǎn)1一、概述傳動軸§3-1、概述2汽車方向盤§3-1、概述3絲錐攻絲§3-1、概述4圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動；桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：Me

Me

實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形。§3-1、概述5直接計(jì)算§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩圖1.外力偶矩二、外力偶矩扭矩和扭矩圖6按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：外力偶每秒作功：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－P

千瓦求：力偶矩Me§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩圖7圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號T表示。扭矩大小可利用截面法來確定。11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11x2.扭矩和扭矩圖8扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)(-)§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩圖9當(dāng)只在軸的兩個(gè)端截面上作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在軸上的外力偶矩；當(dāng)軸的長度方向上有兩個(gè)以上的外力偶矩作用時(shí)，軸各段橫截面上的扭矩是不相等的，這時(shí)需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。扭矩圖：扭矩沿桿軸線方向變化的圖形。10例3-1如圖所示，圓軸受有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動的外加力偶，各力偶的力偶矩大小和方向均示于圖中，單位為N.m，軸的尺寸單位為mm。試畫出圓軸的扭矩圖。3151315211163486A1B2C3D11解：1.確定控制面從圓軸所受的外加力偶分布可用確定出A、B、C、D均為控制面。在AB、BC、CD段內(nèi)任意選取一橫截面，如1-1，2-2，3-3截面。3151315211163486A1B2C3D122.應(yīng)用截面法確定各段圓軸內(nèi)的扭矩用1-1，2-2，3-3截面將圓軸斷開，作出斷開橫截面上的扭矩，假設(shè)扭矩為正方向，分別如圖b、c、d所示。3151A13151315211163486A1B2C3D圖a圖b由平衡方程：∑M=0得：T1+315=0T1=-315N.mT1133151315211163486A1B2C3D圖a圖c31513152A1B2T2由平衡方程：∑M=0得：T2+315+315=0T2=-630N.m由平衡方程：∑M=0得：T3-486=0T3=486N.m34863D圖dT3143.建立T-x坐標(biāo)系，畫出扭矩圖，如圖e。3151315211163486A1B2C3D圖a圖eT1=-315N.mT2=-630N.mT3=486N.m315630480_+T/(N.m)x15解:(1)計(jì)算外力偶矩由公式Pk/n例題3-216(2)計(jì)算扭矩(3)扭矩圖§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩圖17練習(xí)如圖，主動輪A的輸入功率PA=36kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=11kW，PD=14kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min.試畫出傳動軸的扭矩圖。解：1)由扭矩、功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)分別求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即為BC,CA,AD段軸的扭矩（內(nèi)力）如圖a)、b)、c);均有∑Mx=0得：T1+MB=0 T1=-MB=-350N.mMB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 T3=MD=446N.m3)畫出扭矩圖如d)BCAD350700446Mx/(N.m)x_+183.3純剪切一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力——通常指的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布內(nèi)力偶矩——扭矩T薄壁圓筒nnMeMe

dlTMe

nndr019圓周扭轉(zhuǎn)變形后各個(gè)橫截面仍為平面，而且其大小、形狀以及相鄰兩截面之間的距離保持不變，橫截面半徑仍為直線。橫截面上各點(diǎn)無軸向變形，故橫截面上沒有正應(yīng)力。橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對錯(cuò)動，故橫截面上有剪應(yīng)力存在。各橫截面半徑不變，所以剪應(yīng)力方向與截面徑向垂直。推斷結(jié)論：20圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)過的圓心角相對扭轉(zhuǎn)角表面正方格子傾斜的角度—直角的改變量切應(yīng)變即薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：gABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'gjABDCMe

Me

21Me

Me

1、橫截面上無正應(yīng)力；2、只有與圓軸相切的切應(yīng)力，且沿圓筒切向均勻分布；薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：gjABDCgABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'

nnMe

r0xt3、對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。22薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：靜力學(xué)條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等得tdAnnMe

r0xdr023二、剪應(yīng)力互等定理圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上存在剪應(yīng)力，通過軸線的縱截面上也存在剪應(yīng)力。微元上與橫截面對應(yīng)的一對面上存在的剪應(yīng)力τ與其作用面的面積相乘后組成一繞z軸的力偶，其力偶矩為(τdydz)dx。為了保持微元平衡，與縱截面對應(yīng)的一對面上必然存在剪應(yīng)力τ’也組成一個(gè)力偶矩為(τ’dxdz)dy的力偶。這兩個(gè)力偶矩大小相等、方向相反，微元才能平衡。剪應(yīng)力互等定理（成對定理）24三、剪切胡克定律由前述推導(dǎo)可知薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)曲線Me

Me

gjABDC25鋼材的切變模量值約為：這就是剪切胡克定律其中：G——材料的切變模量tp——剪切比例極限對各向同性材料，可以證明：26§3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算應(yīng)用平衡方法可確定橫截面上的扭矩，但不能確定橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的大小。必須知道橫截面上剪應(yīng)力的分布情況。變形應(yīng)變分布應(yīng)力分布應(yīng)力公式平面假定物性關(guān)系靜力方程應(yīng)力分析方法與過程 圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，并且繞圓軸的軸線剛性地轉(zhuǎn)過一角度。271.變形協(xié)調(diào)方程T稱為單位長度相對扭轉(zhuǎn)角28若在彈性范圍內(nèi)加載，即剪應(yīng)力小于某一極限值時(shí)，對于大多數(shù)各向同性材料，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在線性關(guān)系。2.物理關(guān)系29將變形協(xié)調(diào)方程帶入剪切胡克定律得到：對于確定的橫截面是一個(gè)不變的量。上式表明：橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與點(diǎn)到橫截面中心的距離成正比，即剪應(yīng)力沿橫截面的半徑呈線性分布。方向如圖所示。3.靜力學(xué)方程30作用在橫截面上的剪應(yīng)力形成一分布力系，這一力系向截面中心簡化結(jié)果為一力偶，其力偶距即為該截面上的扭矩。于是有：即靜力學(xué)方程。τ(ρ)TTτ(ρ)31將代入積分后得到：GIp稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度。324、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式將代入得到：這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力表達(dá)式。33對于T由平衡條件確定。Ip

由 積分求得。對于直徑為d的實(shí)心截面圓軸：對于內(nèi)、外直徑分別為d和D的空心截面圓軸，極慣性矩為：34最大剪應(yīng)力：發(fā)生在橫截面邊沿上各點(diǎn)，其值為：其中，稱為圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)。對于直徑為d的實(shí)心圓截面，對于內(nèi)外直徑分別為d和D的空心截面圓軸，τ(ρ)Mx35實(shí)心軸與空心軸Ip與Wp對比§3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算36變形協(xié)調(diào)方程物理關(guān)系靜力學(xué)方程推導(dǎo)過程12337TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。應(yīng)力分布情況38討論題兩根長度相等，直徑不等的圓軸受扭后，軸表面上母線轉(zhuǎn)過相同的角度。設(shè)直徑大的軸和直徑小的軸的橫截面上最大切應(yīng)力分別為τ1max和τ2max

，材料的切變模量分別為G1和G2。關(guān)于τ1max和τ2max的大小，請判斷哪一個(gè)是正確的。A

τ1max>τ2max B

τ1max<τ2maxC若G1>G2，則有τ1max>τ2maxD若G1>G2，則有τ1max<τ2max39討論題由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1=2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對滑動。關(guān)于橫截面上的切應(yīng)力分布，有圖中ABCD四種結(jié)論，請判斷哪一個(gè)是正確的。d2dG1G2TOO O O OA B C D40例題3-3實(shí)心圓軸與空心圓軸通過牙嵌式離合器相聯(lián)，并傳遞功率，如圖所示，已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞的功率P=7.5kW。實(shí)心圓軸直徑d1=45mm；空心圓軸內(nèi)、外直徑之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。試確定實(shí)心軸與空心圓軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。解：由題知二傳動軸轉(zhuǎn)速與功率相等，故承受的外加扭轉(zhuǎn)力偶距也相等，橫截面上的扭矩因而也相等。扭矩T=Me=（9549*7.5/100）=716.2N.m41實(shí)心圓軸與空心圓軸通過牙嵌式離合器相聯(lián)，并傳遞功率，如圖所示，已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞的功率P=7.5kW。實(shí)心圓軸直徑d1=45mm；空心圓軸內(nèi)、外直徑之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。試確定實(shí)心軸與空心圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力。實(shí)心圓軸橫截面上最大切應(yīng)力：42實(shí)心圓軸與空心圓軸通過牙嵌式離合器相聯(lián)，并傳遞功率，如圖所示，已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞的功率P=7.5kW。實(shí)心圓軸直徑d1=45mm；空心圓軸內(nèi)、外直徑之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。試確定實(shí)心軸與空心圓軸橫截面上的最大剪應(yīng)力?？招膱A軸橫截面上最大切應(yīng)力：比較發(fā)現(xiàn)：實(shí)心與空心軸最大切應(yīng)力相等，但面積不等，A1：A2=1.28。43例題3-4

在圖示傳動機(jī)構(gòu)中，功率從B輪輸入，再通過錐齒輪將一半傳遞給鉛垂軸C，另一半傳遞給水平軸H。若已知輸入功率P1=14kW，水平軸E和H的轉(zhuǎn)速n1=n2=120r/min，錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為z1=36，z2=12，圖中d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm。求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。分析：此機(jī)構(gòu)是典型的齒輪傳動機(jī)構(gòu)，各傳動軸均為扭轉(zhuǎn)變形。欲求各傳動軸橫截面上的剪應(yīng)力，必須求得各軸所受的扭矩，即各軸所受到的外力偶矩。44解：由題意知，E、H、C軸所傳遞的功率分別為:P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW。E、H軸轉(zhuǎn)速為120r/min,由傳動比可計(jì)算出C軸的轉(zhuǎn)速為：n3=(z1/z3)n1=3n1=360r/min。再通過公式：可求得各軸受到的扭矩：E軸：H軸：C軸：45求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力：E軸：H軸：C軸：46課堂練習(xí)：圖示實(shí)心圓軸承受外加扭轉(zhuǎn)力偶作用，其力偶矩Me=3kN.m。試求： 1.軸橫截面上的最大切應(yīng)力； 2.軸橫截面上半徑r=15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比； 3.去掉r=15mm以內(nèi)部分，橫截面上的最大切應(yīng)力增加的百分比。30mm60mmMel47作業(yè)：P102題3.1（c）P103題3.5485.強(qiáng)度條件等直圓軸材料的許用切應(yīng)力思考：對變截面桿，τmax是否發(fā)生在扭矩Tmax的截面上？49例3-5

圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm

。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN?m，MB=36kN?m，MC=14kN?m。材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa

，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB50BC段AB段2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kN·m）A B C51相對扭轉(zhuǎn)角抗扭剛度四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算§3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、相對扭轉(zhuǎn)角52例3-6圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC532、各段兩端相對扭轉(zhuǎn)角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC543、橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC55二、剛度條件§3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形單位長度扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)剛度條件許用單位扭轉(zhuǎn)角對于精密機(jī)器的軸對于一般的傳動軸56扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件已知T、D和[τ]，校核強(qiáng)度已知T

和[τ]，設(shè)計(jì)截面已知D和[τ]，確定許可載荷已知T、D和[φ’]，校核剛度已知T

和[φ’]，設(shè)計(jì)截面已知D和[φ’]，確定許可載荷§3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形57例題3-758

傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A輸入功率P1=400kW，從動輪C，B分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)試確定