第三章 平面力系平衡方程的應(yīng)用

第三章平面力系平衡方程的應(yīng)用第一節(jié)物體系統(tǒng)的平衡問題第二節(jié)平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算第三節(jié)摩擦與考慮摩擦?xí)r的平衡問題物體系：由幾個(gè)物體通過一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)。如圖1、圖2所示。第一節(jié)物體系統(tǒng)的平衡問題CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG圖11、內(nèi)力和外力外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。內(nèi)力：在系統(tǒng)內(nèi)部，各個(gè)物體之間，或一個(gè)物體的這一部分與哪一部分之間，相互作用的力。如圖3所示。mqCADBE30。a3aF圖2CB20kNAxy2kN/mEG10kNCE圖3CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2、物體系平衡問題的靜定或超靜定物體系是由幾個(gè)物體組成，可分別分析各個(gè)物體的受力情況，畫出受力圖。根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個(gè)獨(dú)立的平衡方程，如平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程等?？傆?jì)獨(dú)立平衡方程數(shù)，與問題中未知量的總數(shù)相比較。若未知量總數(shù)超過獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問題是超靜定的。若未知量總數(shù)小于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則系統(tǒng)可能不平衡，而若計(jì)算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的。若未知量總數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問題是靜定的。注意：（1）在總計(jì)獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每一個(gè)物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮。因?yàn)橄到y(tǒng)中每一個(gè)物體既已處于平衡，整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個(gè)物體的平衡方程推出，因而是不獨(dú)立的。（2）在求解物體系的平衡問題時(shí)，不僅要研究整體，還要研究局部個(gè)體，才能使問題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)的受力圖開始，逐步求解。一、構(gòu)架構(gòu)架由若干直桿和曲桿組成，通常其一部分是二力構(gòu)件。例3-1圖示結(jié)構(gòu)由AB、CD、DE三個(gè)桿件鉸結(jié)組成。已知

a＝2m，q＝500N/m，F(xiàn)＝2000N。求鉸鏈B的約束反力。CDBEAFa【解】取整體為研究對(duì)象，其受力如圖所示。列平衡方程，有解得CDBEAFq解得CDBEAFq再取AEB為研究對(duì)象，考慮到DE為二力桿，AEB受力如圖所示，列平衡方程，有解得解得BEA例3-2圖示混合結(jié)構(gòu)受荷載P作用，求支座B的反力及桿件1、2所受的力。21DEBACP3m3m3m3m3m21DEBACP【解】先取整體為研究對(duì)象，受力圖如下圖所示。解得對(duì)A點(diǎn)取矩，有取結(jié)構(gòu)右半部分為研究對(duì)象，受力情況如右圖所示。解得ECBP列平衡方程，有D選取節(jié)點(diǎn)D為對(duì)象，其受力圖如圖所示。列平衡方程，有解得D例3-3求圖示多跨靜定梁的支座反力。梁重及摩擦均不計(jì)。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG二、多跨靜定梁

多跨靜定梁是由若干跨梁用鉸聯(lián)接而成的梁系，它的未知力利用平衡方程可全部求得。CB20kNAxy2kN/mEG10kNCECD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG

從各受力圖來看，未知量共9個(gè)，即5個(gè)支座反力和C、E處鉸鏈反力各2個(gè)。而梁共有三個(gè)，則其獨(dú)立的平衡方程有9個(gè)。也即題中所研究的問題為靜定問題?！痉治觥肯茸鞲髁菏芰D如下。CB20kNAxy2kN/mEG10kNCE由對(duì)稱關(guān)系得：（2）研究CE梁。

【解】

（1）研究EG梁。2kN/mEG10kNCE（3）研究AC梁。CB20kNA10kNCE具有兩個(gè)固定鉸支座和一個(gè)中間鉸的拱式結(jié)構(gòu)，稱為三鉸拱。三鉸拱是橋梁和廠房中經(jīng)常采用的一種結(jié)構(gòu)。

三、三鉸拱例3－4圖示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內(nèi)的鉛直荷載，其集度為q(kN/m),

拱重及摩擦均不計(jì)。求鉸鏈A、B處的反力。qAhl/2l/2CB【解】（1）研究整體其受力如圖所示。ACBq（2）研究AC,并畫其受力圖。系統(tǒng)整體是平衡的，其每個(gè)局部也是平衡的。AqCqACB若圖中A、B兩處支座不在同一水平線上，則如何求解支座A、B處的約束反力。討論1、如圖所示，結(jié)構(gòu)由AB、CD、DE三個(gè)桿件組成。桿件AB和CD在中點(diǎn)O用鉸鏈連接。桿DE在D點(diǎn)用鉸鏈與CD桿相接，在B點(diǎn)光滑放置在AB桿上。求鉸O的約束反力?！痉治雠c討論】

DBEACOFbbb2、圖示結(jié)構(gòu)由AB、CD、EF、BF四根桿件組成。試按圖示尺寸和載荷求固定端A的約束反力。已知：BDEFACq3、如圖所示機(jī)構(gòu)，已知：q0，F(xiàn)，尺寸如圖，求A、B、C、

D處反力。ABCDFM2llll4、若將下圖中A處改為活動(dòng)鉸支座，則未知量數(shù)目為8個(gè)，但在圖示荷載下仍能平衡。當(dāng)主動(dòng)力的合力在x軸上的投影不為零時(shí)，系統(tǒng)能否平衡？CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第二節(jié)平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算一、桁架的概念1、什么是桁架？桿系結(jié)構(gòu)端部連接受載后幾何形狀不變工程中，屋架、橋架、電視塔、起重機(jī)、輸電線塔等結(jié)構(gòu)物常用桁架結(jié)構(gòu)。桁架是由一些桿件彼此在兩端用鉸鏈連接幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。2、工程實(shí)例橋梁房屋建筑通訊國(guó)防機(jī)械海洋石油鉆井平臺(tái)桁架梁橋鉆山車網(wǎng)架結(jié)構(gòu)3.節(jié)點(diǎn)工程上把幾根直桿連接的地方稱為節(jié)點(diǎn)。榫(sun)接木桁架節(jié)點(diǎn)鋼桁架節(jié)點(diǎn)鉚接焊接鋼筋混凝土桁架節(jié)點(diǎn)剛接4、桁架分析目的（1）截面形狀和尺寸設(shè)計(jì)（2）材料選?。?）強(qiáng)度校核二、模型的建立屋架結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化圖6-61.桁架簡(jiǎn)化的幾個(gè)假設(shè)（1）桁架中各桿為剛性直桿；（2）各桿在節(jié)點(diǎn)處系用光滑的鉸鏈連接；（3）所有外力作用在節(jié)點(diǎn)上。----理想桁架各桿件軸線都是直線，并通過鉸鏈中心各桿件都用光滑鉸鏈相連接所有外力，包括荷載及支座約束力都作用在節(jié)點(diǎn)上2.平面簡(jiǎn)單桁架的構(gòu)成以基本三角形為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，需要增加不在同一直線兩根桿件，依次類推可得桁架稱為平面簡(jiǎn)單桁架。桁架的計(jì)算就是二力桿內(nèi)力的計(jì)算。如果桁架是平衡的，則假想地截取桁架的一部分為分離體也是平衡的。三、平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算1、節(jié)點(diǎn)法平面簡(jiǎn)單桁架的計(jì)算有兩種方法：節(jié)點(diǎn)法、截面法。假想將某節(jié)點(diǎn)周圍的桿件割斷，取該節(jié)點(diǎn)為考察對(duì)象，建立其平衡方程，以求解桿件內(nèi)力的一種方法。取各節(jié)點(diǎn)為考察對(duì)象【解】節(jié)點(diǎn)法。先取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示。由平衡方程aaaaFCACDBEFFEFAx=－2kNFAy=2kNFB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx如圖平面桁架，求各桿內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例3-5聯(lián)立求解，得取節(jié)點(diǎn)A，受力分析如圖。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAFFFEFFAFFCF解得取節(jié)點(diǎn)F，受力分析如圖。由平衡方程aaaaFCACDBEFFE取節(jié)點(diǎn)C，受力分析如圖。由平衡方程FCFFCAFCCFCDFCEaaaaFCACDBEFFEFDEFDCDFDB解得解得取節(jié)點(diǎn)D，受力分析如圖。由平衡方程FBBFBDFBE解得取節(jié)點(diǎn)B，受力分析如圖。由平衡方程aaaaFCACDBEFFE2、截面法用適當(dāng)?shù)慕孛鎸㈣旒芙亻_，取其中一部分為研究對(duì)象，建立平衡方程，求解被切斷桿件內(nèi)力的一種方法。如圖平面桁架，求FE、CE、CD桿內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例3-7aaaaFCACDBEFFE【解】先取整體為研究對(duì)象,受力如圖所示。由平衡方程聯(lián)立求解得

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx由平衡方程作一截面m-m將三桿截?cái)啵∽蟛糠譃榉蛛x體，受力分析如圖。聯(lián)立求解得FFEFCDaFCACFFAyFAxDEFCEmaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAxm30°30°30°30°aFPFPFPIGDBAHECaaaFIyFA+2.6FP+2.6FP+2.6FP+2.6FP00-FP-FP+FP-3FP-3FP-2FP-2FP3、零桿FNBDBFNBCFNBAFP30°30°30°30°FPFPFPIGDBAHECFP一定荷載作用下，桁架中內(nèi)力為零的桿件零桿30°30°30°30°FPFPFPIGDBAHEC零桿的判斷：xyFN=0FPFN1

=0FN2=0節(jié)點(diǎn)上無外力作用？概括：零力桿件判別方法(a)(b)(c)下列桁架中哪些桿為零桿？FPFPABCDEGHI節(jié)點(diǎn)法(1)研究整體，求支反力(2)逐個(gè)取各節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象;(3)求桿件內(nèi)力;(4)所選節(jié)點(diǎn)的未知力數(shù)目不大于２。4、小結(jié)截面法(1)研究整體，求支反力；(2)根據(jù)待求內(nèi)力桿件，恰當(dāng)選擇截面；(3)分割桁架，取其一進(jìn)行研究，求桿件內(nèi)力；(4)所截桿件的未知力數(shù)目不大于3。1、試判斷下列各桁架中的零桿。ABP(a)DC(b)FQABCE【分析與討論】

BC、AC桿為零桿BF、FC桿、AB為零桿2、試用截面法計(jì)算圖示桁架中指定桿件的內(nèi)力。F1=FF2=-2FF3=2.828FF4=-3FFFF1234aaaaAB3、試計(jì)算圖示桁架1、2桿的內(nèi)力。a

aa12ABEFGHCDF1F2第三節(jié)摩擦與考慮摩擦?xí)r的平衡問題在大學(xué)物理已經(jīng)講到什么是摩擦，這里來作更深入的研究。摩擦通常分為兩類，即：滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩阻?；瑒?dòng)摩擦：相對(duì)運(yùn)動(dòng)為滑動(dòng)或具有滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的摩擦。滾動(dòng)摩阻：相對(duì)運(yùn)動(dòng)為滾動(dòng)或具有滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的摩擦。按接觸物體有無相對(duì)運(yùn)動(dòng)來分，又分為：動(dòng)摩擦和靜摩擦。有害：給機(jī)械帶來多余阻力，使機(jī)械發(fā)熱，引起零件磨損，消耗能量，降低效率和使用壽命。有利：用于傳動(dòng)、制動(dòng)、調(diào)速等，沒有摩擦，人不能走路，車不能行駛。1、靜滑動(dòng)摩擦兩個(gè)相互接觸的物體雖有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，但仍保持相對(duì)靜止時(shí)，接觸面間產(chǎn)生的切向阻力，稱為靜滑動(dòng)摩擦力或簡(jiǎn)稱靜摩擦力。滿足(最大靜摩擦力)當(dāng)時(shí),則物體處于臨界平衡狀態(tài)。一、滑動(dòng)摩擦(庫侖靜摩擦定律)Fmax

=

fsFN

2、摩擦角與自鎖現(xiàn)象FN與Fs的合反力為FR

，F(xiàn)R稱為全反力。即摩擦角正切等于靜摩擦系數(shù)。（極限情況下，全反力作用形成錐）若面法線間的夾角小于等于

f,即主動(dòng)力的合力作用線在摩擦錐內(nèi)，物體處于平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。FsPFNFRF全反力FR與接觸面的法線成一偏角，在臨界狀態(tài)下，有此時(shí)偏角達(dá)到最大值f，f稱為摩擦角

。由圖知摩擦自鎖是依靠摩擦力使物體能卡住，即不能主動(dòng)力多大，只要其作用線滿足一定條件，物體將總是不能相對(duì)滑動(dòng)。與此相類似的有如下圖所示的松散物質(zhì)的靜摩擦角。砂土、糧食能堆起的最大坡度角保證鐵路穩(wěn)定，路堤和路塹的邊坡角兩物體接觸表面有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),沿接觸面產(chǎn)生的切向阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。庫侖動(dòng)摩擦定理f為動(dòng)摩擦系數(shù)，一般比fs

略小，工程中取ffs。4、靜摩擦系數(shù)的測(cè)定方法(傾斜法)3、動(dòng)滑動(dòng)摩擦由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，如果仍用下圖的力學(xué)模型來分析就存在問題。即無論水平力F

多么小，此物體均不能平衡，因?qū)c(diǎn)A的矩的平衡方程不滿足，即出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們?cè)诹Φ淖饔孟露紩?huì)發(fā)生一些變形，有一個(gè)接觸面，如下圖所示。這是與實(shí)際情況不符的，說明此力學(xué)模型有缺陷，需要修正。二、滾動(dòng)摩阻與靜滑動(dòng)摩擦力相似，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf隨主動(dòng)力F的增大而增大；有一個(gè)最大值Mmax,即此力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化或且最大滑動(dòng)摩阻力偶矩上式即是滾動(dòng)摩阻定律，d稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，具有長(zhǎng)度的量綱

，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無關(guān)。一般情況下，相對(duì)滑動(dòng)摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計(jì)。滾阻系數(shù)的物理意義如下由力的平移定理與比較得例5-1物塊重為P，與水平面間靜摩擦系數(shù)為fS，用同樣大小的力F使物塊向右滑動(dòng)，圖a的施力方法與圖b相比較，哪一種更有力?【解】圖a圖b故圖b更省力。圖aFFSPFNFNFS圖bPF