2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握配方法，理解a，b，c（或a，h，k）對二次函數(shù)圖像的作用.2.理解由y＝x2到y(tǒng)＝a（x＋h)2＋k的圖像變換方法.3。能根據(jù)條件靈活選擇二次函數(shù)的三種形式求解析式.4。掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．知識點一二次函數(shù)的配方法思考y＝4x2－4x－1如何配方?你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根嗎?梳理對于一般的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0），可類似地配方為y＝a（x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f（4ac－b2,4a），由此可得二次函數(shù)的值域、頂點等性質(zhì)，y＝x2與y＝ax2＋bx＋c圖像間的關(guān)系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的數(shù)學(xué)方法．知識點二圖像變換思考y＝x2和y＝2（x＋1)2＋3的圖像之間有什么關(guān)系？梳理由y＝x2的圖像各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，左移eq\f(b,2a）個單位，上移eq\f(4ac－b2，4a)個單位，可得y＝a（x＋eq\f(b，2a)）2＋eq\f(4ac－b2,4a）的圖像，即y＝ax2＋bx＋c的圖像．知識點三二次函數(shù)的三種形式思考我們知道y＝x2－2x＝(x－1)2－1＝(x－2)x，那么點（1，－1），數(shù)0,2是y＝x2－2x的什么？梳理（1)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0）．（2)如果已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（－h(huán)，k)，則可將二次函數(shù)設(shè)為y＝a(x＋h)2＋k.（3）如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的兩根x1,x2（即拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)）,可設(shè)為y＝a（x－x1)（x－x2)．知識點四二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）圖像性質(zhì)開口向上向下對稱軸方程x＝－eq\f(b，2a)x＝－eq\f(b，2a）頂點坐標(biāo)(－eq\f(b，2a），eq\f(4ac－b2,4a）)（－eq\f(b，2a)，eq\f（4ac－b2,4a））單調(diào)性在區(qū)間（－∞，－eq\f（b,2a)］上是減函數(shù),在區(qū)間[－eq\f（b,2a）,＋∞)上是增函數(shù)在區(qū)間(－∞，－eq\f（b,2a)]上是增函數(shù)，在區(qū)間[－eq\f(b，2a），＋∞)上是減函數(shù)最值當(dāng)x＝－eq\f(b,2a）時，y有最小值，ymin＝eq\f(4ac－b2，4a）當(dāng)x＝－eq\f(b,2a）時，y有最大值，ymax＝eq\f（4ac－b2，4a)類型一二次函數(shù)解析式的求解例1已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的圖像與x軸相交于點A（－3，0），對稱軸為x＝－1，頂點M到x軸的距離為2,求此函數(shù)的解析式．反思與感悟求二次函數(shù)解析式的步驟跟蹤訓(xùn)練1（1)y＝ax2＋6x－8與直線y＝－3x交于點A(1，m），求a.(2)f（x）＝x2＋bx＋c，若f（－4）＝f（0)，f(－2)＝－2，求f(x）．類型二二次函數(shù)的圖像及變換例2由函數(shù)y＝x2的圖像如何得到f（x)＝－x2＋2x＋3的圖像．引申探究利用f(x）＝－x2＋2x＋3的圖像比較f(－1），f（2）的大小．反思與感悟處理二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的圖像問題,主要是考慮其圖像特征如開口、頂點、與x軸、y軸交點、對稱軸等與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系．在圖像變換中，記住“h正左移，h負(fù)右移，k正上移，k負(fù)下移”．跟蹤訓(xùn)練2二次函數(shù)f(x）＝x2＋bx＋c的圖像向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到二次函數(shù)f（x)＝x2－2x＋1的圖像，則b＝______,c＝______。類型三二次函數(shù)的性質(zhì)例3已知函數(shù)f（x)＝eq\f（1,2)x2－3x－eq\f(3,4）：(1)求函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)、對稱軸方程和最值；(2）若x∈[1,4］，求函數(shù)值域．反思與感悟解析式、圖像、性質(zhì)三者各有特點又聯(lián)系緊密，應(yīng)用時在三者間靈活轉(zhuǎn)化可使問題更易解決．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f（x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間［－1,2］上有最大值4，求實數(shù)a的值．1．二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）與g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的圖像可能是下圖中的（）2．設(shè)二次函數(shù)y＝f（x)滿足f（4＋x）＝f（4－x)，又f（x）在［4，＋∞）上是減函數(shù)，且f（a)≥f(0），則實數(shù)a的取值范圍是（)A．a(chǎn)≥4 B．0≤a≤8C．a(chǎn)〈0 D．a(chǎn)<0或a≥83．已知f（x)＝x2＋bx＋c，且f（－1)＝f(3），則()A．f（1)>c>f(－1) B．f(1)<c〈f（－1）C．c〉f(－1）〉f（1） D．c<f(－1)<f(1）4．已知二次函數(shù)f(x）＝x2－6x＋8，x∈［2，a］且f(x)的最小值為f(a），則a的取值范圍是________．5．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)y＝f(x）的解析式．（1）圖像過點（2,0)，(4,0），（0,3）；（2)圖像頂點為(1，2）并且過點（0，4)；(3)過點（1，1),（0，2），(3,5）．1．配方法是重要的數(shù)學(xué)方法，在處理二次函數(shù)圖像變換，研究二次函數(shù)性質(zhì)時使用頻繁．2．二次函數(shù)圖像變換規(guī)律可以推廣到一般函數(shù)，即:（1）y＝f(x）eq\o（→,\s\up7（左移a個單位)）y＝f(x＋a)；(2）y＝f(x)eq\o(→,\s\up7（上移b個單位)）y＝f(x)＋b;(3）y＝f（x)eq\o(→，\s\up7（縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉韆倍))y＝af（x）(a>0)；(4)y＝f（x)eq\o(→，\s\up7(關(guān)于x軸對稱)）y＝－f（x)；（5）y＝f(x）eq\o（→，\s\up7（關(guān)于y軸對稱)）y＝f（－x)．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考y＝4(x2－x)－1＝4（x2－x＋eq\f（1,4)－eq\f（1，4））－1＝4（x－eq\f(1，2）)2－2.令y＝0，即4x2－4x－1＝0，4(x－eq\f（1，2))2－2＝0,(x－eq\f（1,2））2＝eq\f(1,2）,x＝eq\f（1,2）±eq\f（\r（2)，2）＝eq\f(1±\r（2），2）。知識點二思考y＝x2的圖像各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,可得y＝2x2的圖像；再把y＝2x2的圖像向左平移1個單位，再上移3個單位,得y＝2（x＋1)2＋3的圖像．知識點三思考點（1，－1）是y＝x2－2x的頂點,數(shù)0，2是方程x2－2x＝0的兩根．題型探究例1解方法一代入A(－3，0），有9a－3b＋c＝0，①由對稱軸為x＝－1，得－eq\f（b,2a)＝－1,②頂點M到x軸的距離為|a－b＋c－0｜＝2，③聯(lián)立①②③解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1，2)，，b＝1，，c＝－\f（3，2)））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f（1，2），,b＝－1，，c＝\f(3，2)，)）所以此函數(shù)的解析式為y＝eq\f（1，2)x2＋x－eq\f(3，2）或y＝－eq\f（1，2）x2－x＋eq\f（3,2)。方法二因為二次函數(shù)圖像的對稱軸是x＝－1，又頂點M到x軸的距離為2，所以頂點的坐標(biāo)為（－1，2)或（－1，－2)，故可得二次函數(shù)的解析式為y＝a(x＋1）2＋2或y＝a（x＋1)2－2。因為圖像過點A（－3，0),所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a（－3＋1)2－2，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f（1，2).故所求二次函數(shù)的解析式為y＝－eq\f(1,2）（x＋1）2＋2＝－eq\f(1，2）x2－x＋eq\f（3，2)或y＝eq\f(1,2)（x＋1）2－2＝eq\f（1,2）x2＋x－eq\f(3，2)。方法三因為二次函數(shù)圖像的對稱軸為x＝－1，又圖像過點A(－3，0），所以點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′（1,0）也在圖像上，所以可得二次函數(shù)的解析式為y＝a（x＋3）(x－1）．由題意得頂點坐標(biāo)為(－1，2)或(－1，－2）,分別代入上式,解得a＝－eq\f(1，2)或a＝eq\f（1,2)。故所求二次函數(shù)的解析式為y＝－eq\f（1,2）（x＋3)(x－1）＝－eq\f（1,2）x2－x＋eq\f（3,2）或y＝eq\f（1，2)（x＋3）（x－1）＝eq\f（1，2)x2＋x－eq\f(3，2)。跟蹤訓(xùn)練1解(1）把A（1，m）代入y＝－3x，得m＝－3,把(1，－3）代入y＝ax2＋6x－8,得a＋6－8＝－3，即a＝－1.(2）方法一由f(－4)＝f（0),知f(x)的對稱軸為x＝eq\f(－4＋0，2)＝－2，又f(－2）＝－2，∴頂點坐標(biāo)為(－2，－2），∴f(x）＝(x＋2）2－2＝x2＋4x＋2。方法二由f(－4)＝f（0),可設(shè)f（x）＝x（x＋4)＋c.代入x＝－2，得－2×(－2＋4）＋c＝－2，∴c＝2.∴f(x）＝x2＋4x＋2.例2解f(x）＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－（x－1）2＋4，∴由y＝x2的圖像關(guān)于x軸對稱，可得y＝－x2的圖像．由y＝－x2的圖像向右平移1個單位，向上平移4個單位，可得y＝－(x－1）2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的圖像．引申探究解f(x）圖像如圖．由圖知越接近對稱軸，函數(shù)值越大．由|－1－1｜＝2〉|2－1｜＝1,即f(2）比f(－1）更接近對稱軸，∴f(2）〉f（－1）．跟蹤訓(xùn)練2－66解析f（x）＝x2－2x＋1＝(x－1)2,其圖像頂點為(1，0)．將二次函數(shù)f（x）＝x2－2x＋1的圖像向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后的圖像的頂點為(3，－3），得到的拋物線為y＝(x－3)2－3，即f（x）＝x2＋bx＋c，∴（x－3)2－3＝x2＋bx＋c,即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c,∴b＝－6,c＝6.例3解(1)對函數(shù)右端的表達(dá)式配方，得f(x)＝eq\f(1，2）（x－3)2－eq\f（21，4)，所以函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為(3,－eq\f(21,4))，對稱軸方程為x＝3，最小值為－eq\f(21，4).(2）由于3∈[1，4］，所以函數(shù)在區(qū)間[1,3］上是減函數(shù)，在[3,4]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝3時，ymin＝－eq\f(21，4)，當(dāng)x＝1時，ymax＝eq\f(1，2）×4－eq\f(21，4)＝－eq\f(13，4)，所以函數(shù)的值域為［－eq\f（21，4)，－eq\f(13，4)］．跟蹤訓(xùn)練3解f(x）＝a(x＋1)2＋1－a。當(dāng)a＝0時，函數(shù)f（x)在區(qū)間［－1，2]上的值不變,恒為常數(shù)1，不符合題意，舍去；當(dāng)a〉0時，函數(shù)f(x）在區(qū)間［－1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f（