2017-2018版高中數(shù)學第二章空間向量與立體幾何2空間向量的運算（一）學案2-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2空間向量的運算（一）學習目標1.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.2.了解向量加法的交換律和結(jié)合律.知識點空間向量的加減運算及運算律思考1下面給出了兩個空間向量a、b,作出b＋a,b－a.思考2由上述的運算過程總結(jié)一下，如何求空間兩個向量的和與差？下面兩個圖形中的運算分別運用了什么運算法則？梳理(1)類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運算.eq\o(OB，\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o（AB，\s\up6（→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up6（→）)＝eq\o(OA,\s\up6(→)）－eq\o(OC，\s\up6(→))＝a－b（2)空間向量的加法交換律a＋b＝________，空間向量的加法結(jié)合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.類型一向量式的化簡例1如圖，已知長方體ABCD—A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量.（1)eq\o（AA′，\s\up6（→)）－eq\o（CB,\s\up6（→))；(2）eq\o（AA′，\s\up6（→））＋eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(B′C′，\s\up6（→)）。引申探究利用例1題圖，化簡eq\o(AA′,\s\up6(→））＋eq\o(A′B′，\s\up6(→))＋eq\o（B′C′，\s\up6(→))＋eq\o（C′A,\s\up6(→)).反思與感悟(1）首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即eq\o(A1A2，\s\up6（→))＋eq\o（A2A3，\s\up6（→))＋eq\o（A3A4，\s\up6(→)）＋…＋An－1An＝eq\o（A1An，\s\up6(→））.(2）首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0。如圖，eq\o(OB,\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→)）＋eq\o（DE,\s\up6(→））＋eq\o(EF,\s\up6（→))＋eq\o(FG，\s\up6（→）)＋eq\o（GH,\s\up6（→））＋eq\o（HO,\s\up6（→）)＝0。(3）空間向量的減法運算也可以看成是向量的加法運算，即a－b＝a＋(－b).跟蹤訓練1在如圖所示的平行六面體中，求證：eq\o(AC,\s\up6(→）)＋eq\o（AB′，\s\up6(→））＋eq\o（AD′,\s\up6(→)）＝2eq\o(AC′,\s\up6（→）)。類型二用已知向量表示未知向量例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，已知eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a，eq\o(AD，\s\up6(→）)＝b，eq\o(AA1，\s\up6(→））＝c.用向量a，b,c表示以下向量.(1）eq\o（AC1,\s\up6（→））；(2）eq\o(BD1,\s\up6（→）).反思與感悟?qū)⒁粋€向量表示成n個向量的和或差，關(guān)鍵是根據(jù)向量的加減運算將向量進行拆分，一般可考慮從起點到終點構(gòu)成封閉的回路進行運算.跟蹤訓練2在例2中，若已知A1C1與B1D1的交點為M。請用a,b，c表示eq\o(BM,\s\up6(→))。1.下列命題中，假命題是()A.同平面向量一樣,任意兩個空間向量都不能比較大小B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C。只有零向量的模等于0D.空間中任意兩個單位向量必相等2。在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，與向量eq\o（AD,\s\up6（→)）相等的向量共有(）A。1個B。2個C.3個D.4個3。向量a，b互為相反向量,已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是(）A。a＝b B。a＋b為實數(shù)0C。a與b方向相同 D.｜a｜＝34。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→）））＋eq\o(CC1，\s\up6（→））；②(eq\o(AA1,\s\up6（→））＋eq\o(A1D1,\s\up6（→）)）＋eq\o（D1C1，\s\up6（→））；③(eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o(BB1,\s\up6（→)))＋B1C1；④(eq\o（AA1,\s\up6(→）)＋eq\o（A1B1,\s\up6（→)））＋eq\o（B1C1,\s\up6(→）).其中運算的結(jié)果為eq\o（AC1，\s\up6(→))的有________個。5.化簡：2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→)）＋3eq\o(CD,\s\up6（→))＋3eq\o(DA,\s\up6（→)）＋eq\o(AC,\s\up6(→)）＝________.空間向量加法、減法運算的兩個技巧（1）巧用相反向量:向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵,靈活運用相反向量可使向量首尾相接.(2）巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果.提醒：完成作業(yè)第二章§2（一）

答案精析問題導學知識點思考1如圖，空間中的兩個向量a，b相加時，我們可以先把向量a，b平移到同一個平面α內(nèi)，以任意點O為起點作eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o(OB，\s\up6(→))＝b,則eq\o(OC，\s\up6（→））＝eq\o(OA，\s\up6(→）)＋eq\o(OB，\s\up6(→））＝a＋b，eq\o（AB，\s\up6（→))＝eq\o（OB，\s\up6(→））－eq\o(OA,\s\up6(→）)＝b－a.思考2先將兩個向量平移到同一個平面，然后運用平面向量的運算法則（三角形法則、平行四邊形法則)運算即可；圖1是三角形法則，圖2是平行四邊形法則.梳理（2)b＋a題型探究例1解（1）eq\o(AA′,\s\up6（→）)－eq\o(CB，\s\up6（→）)＝eq\o(AA′，\s\up6（→）)－eq\o（DA，\s\up6（→)）＝eq\o（AA′，\s\up6(→)）＋eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\o（AD′,\s\up6（→)）.（2）eq\o(AA′,\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(B′C′，\s\up6(→））＝（eq\o（AA′,\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6（→）））＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o（AB′,\s\up6（→））＋eq\o（B′C′,\s\up6（→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))。向量eq\o（AD′,\s\up6(→))、eq\o(AC′,\s\up6(→））如圖所示。引申探究解eq\o(AA′,\s\up6（→）)＋eq\o（A′B′，\s\up6(→））＝eq\o（AB′,\s\up6（→）），eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)）＝eq\o（AC′，\s\up6（→）)，eq\o(AC′,\s\up6(→））＋eq\o(C′A，\s\up6（→）)＝0.故eq\o（AA′,\s\up6(→））＋eq\o（A′B′，\s\up6(→)）＋eq\o（B′C′，\s\up6(→）)＋eq\o(C′A，\s\up6(→）)＝0.跟蹤訓練1證明∵平行六面體的六個面均為平行四邊形，∴eq\o（AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→)）,eq\o(AB′，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（AA′,\s\up6（→)），eq\o(AD′,\s\up6(→））＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o（AA′,\s\up6(→))，∴eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\o(AB′，\s\up6(→))＋eq\o（AD′，\s\up6(→))＝（eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o（AD，\s\up6(→）））＋（eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AA′，\s\up6（→)））＋(eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o(AA′，\s\up6(→））)＝2(eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→）)＋eq\o(AA′，\s\up6(→）)）。又∵eq\o（AA′,\s\up6（→））＝eq\o(CC′,\s\up6（→)），eq\o(AD,\s\up6（→）)＝eq\o（BC,\s\up6(→)),∴eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o(AD，\s\up6(→））＋eq\o（AA′,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6（→))＋eq\o(CC′，\s\up6(→））＝eq\o(AC，\s\up6（→)）＋eq\o(CC′，\s\up6（→)）＝eq\o（AC′,\s\up6（→)）.∴eq\o（AC,\s\up6（→))＋eq\o(AB′，\s\up6(→))＋eq\o（AD′，\s\up6（→））＝2eq\o(AC′,\s\up6(→）).例2解(1)eq\o(AC1,\s\up6（→))＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC,\s\up6(→））＋eq\o(CC1，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\o(AA1，\s\up6（→）)＝a＋b＋c.(2）eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o（BA，\s\up6(→))＋eq\o(AD，\s\up6(→)）＋eq\o(DD1，\s\up6（→））＝－eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\o（AA1，\s\up6（→）)＝－a＋b＋c.跟蹤訓練2解∵eq\o（B1D1，\s\up6（→）)＝eq\o(BD,\s\up6（→））＝eq\o(AD,\s\up6（→））－eq\o（AB,\s\up6（→))＝b－a.又∵eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\f（1，2）eq\o(B1D1，\s\up6(→)），∴eq\o(B1M，\s\up6(→))＝eq\f(1，2)eq\o（B1D1，\s\up6（→))＝eq\f(1，