應(yīng)力狀態(tài)理論

應(yīng)力狀態(tài)理論第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)力的概念是固體力學(xué)的最重要的概念之一,應(yīng)力分量具有張量的性質(zhì)，符合張量的坐標(biāo)變換規(guī)律。考慮單元體的平衡，得到平衡微分方程，在邊界上得到邊界條件，邊界條件在彈性力學(xué)問(wèn)題的求解中占有重要的地位。2023/2/62第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2.1張量的概念2.2應(yīng)力和一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)2.3平衡微分方程2.4邊界條件2.5主應(yīng)力和應(yīng)力張量不變量2.6轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力張量的變換2.7圣維南原理2.8例題2023/2/63第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2.1張量的概念指標(biāo)符號(hào)(1)量與數(shù)：任何一個(gè)量都是客觀對(duì)象的數(shù)學(xué)表征，通常是由若干個(gè)數(shù)字給出的，最簡(jiǎn)單的量稱為標(biāo)量，由一個(gè)數(shù)字確定。矢量有大小、方向，就不能只用一個(gè)數(shù)值表示，由若干分量組成，引入下標(biāo)記號(hào)法。

第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

可以將坐標(biāo)x,y,z

軸，記為x1,x2,x3,通?？珊?jiǎn)記為xi,各軸的基矢記為e1,e2,e3,可簡(jiǎn)記為ei,在此坐標(biāo)系中的矢量v的分量記為v1,v2,v3,可簡(jiǎn)記為vi。矢量的點(diǎn)積:一個(gè)矢量和另一個(gè)矢量的點(diǎn)積可以決定一個(gè)標(biāo)量，用指標(biāo)符號(hào)可記為:2023/2/65第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

求和所得到的結(jié)果，不再含有這一指標(biāo)，這一指標(biāo)換為其它的指標(biāo)也不會(huì)影響其結(jié)果，這一指標(biāo)稱為啞標(biāo)。不求和的指標(biāo)稱為自由指標(biāo)。一項(xiàng)中有其它符號(hào)的指標(biāo)，通常有泛指的意義。(2)Einstein求和約定：最后一個(gè)等式在符號(hào)∑下fisi有兩個(gè)同樣的指標(biāo)i。約定凡在同一項(xiàng)中有一對(duì)相同的指標(biāo)（也就是一個(gè)指標(biāo)出現(xiàn)兩次時(shí)），就認(rèn)為是對(duì)這一指標(biāo)從1到3全程求和，并限定在同一項(xiàng)中不能有同一下標(biāo)出現(xiàn)3次或3次以上，求和符號(hào)略去不寫(xiě)，記為：2023/2/66第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

記基矢的點(diǎn)積

ei·e

j=δij其中稱為克羅內(nèi)克爾代爾塔符號(hào)(Kroneckerdelta)。該定義表明它有對(duì)稱性，與指標(biāo)排列順序無(wú)關(guān)，即：δij＝δji2023/2/67第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日記基矢的混合積

(e

i

×e

j）·e

k

=eijk

其中稱為置換符號(hào)。利用置換符號(hào)，兩個(gè)矢量的矢積可記為

a

i

×b

j=eijk

aibjek當(dāng)i，j，k有兩個(gè)或三個(gè)相同當(dāng)i,j,k為偶置換當(dāng)i,j,k為奇置換2023/2/68第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日將求導(dǎo)符號(hào)簡(jiǎn)記為：梯度可記為：則散度可記為：2023/2/69第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

標(biāo)量與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)，但矢量分量和應(yīng)力分量和坐標(biāo)軸的選取有關(guān)，這種與坐標(biāo)變換有關(guān)，滿足規(guī)定坐標(biāo)變換公式的物理量稱為張量。標(biāo)量稱為零張量，矢量為一階張量，矩陣（方陣）是二階張量。二張量的定義

在力學(xué)中常用的物理量（或幾何量）可分為幾類：標(biāo)量（只有大小沒(méi)有方向）；矢量（既有大小又有方向）；張量（具有多重方向性的更為復(fù)雜的物理量）2023/2/610第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)力張量：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它具有二重方向性，即應(yīng)力分量的值既與截面法線的方向有關(guān)又與應(yīng)力分量本身的方向有關(guān)，是二階張量，可記為。

=2023/2/611第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2.2應(yīng)力和一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

根據(jù)物體連續(xù)性的假設(shè)，可認(rèn)為物體在微小面上的ΔS力是連續(xù)分布的，內(nèi)力ΔF則是這個(gè)分布力的合力，于是分布集度為：即平均力。當(dāng)ΔS很小時(shí)，這個(gè)集度的極限就稱為應(yīng)力，表示為：ΔFΔS2023/2/612第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日在給定的直角坐標(biāo)系下，應(yīng)力可沿3個(gè)坐標(biāo)方向分解，分別表示為：,,。則有：這里的，，分別表示坐標(biāo)單位矢量。應(yīng)力矢量又可分別沿微分面的法向和切向方向分解，分別表示為正應(yīng)力和切應(yīng)力。2023/2/613第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)方位不同的微分面，各微分面上的應(yīng)力一般各不同，我們把物體內(nèi)同一點(diǎn)各微分面上的應(yīng)力情況，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。在笛卡爾坐標(biāo)系下，我們分別沿平行于坐標(biāo)平面的3個(gè)微分面方向進(jìn)行應(yīng)力分解后，可得到9個(gè)應(yīng)力分量，我們將他們整體稱為應(yīng)力張量，其中的每一個(gè)量稱為應(yīng)力分量。應(yīng)力張量表示為：2023/2/614第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日9個(gè)應(yīng)力分量可以完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2023/2/615第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

在外力作用下，物體整體平衡的同時(shí)，任何一部分也將保持平衡。我們從中取出一個(gè)單元體dv=dxdydz加以分析,物體內(nèi)某點(diǎn)的正應(yīng)力為σi。

如果僅考慮單元體的平衡，可以不考慮單元體同一方向上相隔一定距離應(yīng)力的微小變化，前后兩面的應(yīng)力可認(rèn)為是大小相等、方向相反。但是，在分析整體的平衡時(shí)，應(yīng)力的這個(gè)微小變化，各面的應(yīng)力差就是造成物體各處應(yīng)力變化的原因，必須加以考慮。2.3平衡微分方程2023/2/616第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

圖示單元體z軸方向的平衡，在z面的負(fù)面z處，正應(yīng)力記為σz,在x面的負(fù)面處，切應(yīng)力記為τxz；xyzoz正面z+dz處應(yīng)力為x正面x+dx處切應(yīng)力為τxz2023/2/617第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日在y面的負(fù)面y處，切應(yīng)力記為τyz,xyzoy正面y+dy處應(yīng)力為τyz設(shè)Fbz

為物體的Z方向的體力分量?？偤秃笳肀愕玫絲方向的靜力平衡方程∑Z=0:2023/2/618第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日同理得到x、y方向的靜力（或運(yùn)動(dòng)）平衡微分方程:其中Fbx,Fby,Fbz

為物體的體力分量。利用前后、上下、左右面中心線軸的轉(zhuǎn)距為0,可以得到：即為剪應(yīng)力互等定理。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力分量為對(duì)稱張量。從平衡方程中看到只有6個(gè)未知數(shù)σij。2023/2/619第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日平面狀態(tài)的平衡微分方程為：平衡微分方程的張量形式是：2023/2/620第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

平衡微分方程的矩陣形式是：Lσ+F=0其中L是微分算子：2023/2/621第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問(wèn)題可分為位移邊界問(wèn)題、應(yīng)力邊界問(wèn)題和混合邊界問(wèn)題。位移邊界問(wèn)題：物體在全部邊界上的位移分量是已知的。應(yīng)力邊界問(wèn)題：物體在全部邊界上的應(yīng)力分量是已知的?；旌线吔鐥l件：物體一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分邊界具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件。2.4邊界條件2023/2/622第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日在外力作用下，我們從物體從中取出的單元體位于邊界處，則單元體內(nèi)部應(yīng)力形成的內(nèi)力和邊界上的外力平衡。1)如果邊界面正好和坐標(biāo)平面平行，則立即可得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。2)如果邊界面和坐標(biāo)平面斜交，則應(yīng)根據(jù)形成的四面體的平衡條件得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。2023/2/623第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)邊界上一點(diǎn)處A的外力沿軸向的分量為px,py

（沿正向?yàn)檎?/p>

在邊界A這部分可視外力分量為應(yīng)力分量，直接得到應(yīng)力邊界條件：σx=pxτyx=py2023/2/624第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)斜面ACD為邊界面，其外法線n的方向?yàn)?l1,l2,l3)，面積為ΔS，邊界外力p分量為(px，py，,pz)，則三角形ABC、ABD

、BCD的面積分別為ΔS在各相應(yīng)方向上的投影為l1ΔS,l2ΔS,l3ΔS。四面體的體積為dv。nxyzo2023/2/625第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日注意，這里邊界上的外力是坐標(biāo)軸方向上的分量。由x方向的平衡得到：pxΔS=l1ΔSσx+l2ΔSτyx+l3ΔSτzx即

px=l1σx+l2τyx

+l3τzxxyz02023/2/626第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日由y、z方向的平衡得到:py=l1τxy+l2σy+l3τzy

pz=l1τxz+l2τyz+l3σz其張量形式為Pi

=σijlj2023/2/627第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

如果四面體取自物體內(nèi)部，則(px，py，,pz)是斜面上的應(yīng)力σv（P）沿原坐標(biāo)軸方向上的分量，將其與斜面的方向矢量點(diǎn)積，則得到該面上的法向應(yīng)力（正應(yīng)力）2023/2/628第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日切應(yīng)力可按矢量方法求得：n2023/2/629第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，受力物體內(nèi)任一確定點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力量將隨著改變。在坐標(biāo)系不斷轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，必然能找到一個(gè)坐標(biāo)系，使得該點(diǎn)在該坐標(biāo)系中只有正應(yīng)力分量，而剪應(yīng)力分量為零。把這樣的微分面稱為主微分面，簡(jiǎn)稱主平面，其法向方向稱為應(yīng)力主方向，而其上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主應(yīng)力和應(yīng)力不變量2.5主應(yīng)力和應(yīng)力不變量2023/2/630第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日前面得到的就是斜面應(yīng)力公式，它給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量與通過(guò)同一點(diǎn)的各微分面上應(yīng)力之間的關(guān)系。這樣要了解各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題，化為求出各點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力量的問(wèn)題。由前面的斜面應(yīng)力公式可知，過(guò)任意一點(diǎn)的法向矢量為n的微分斜面上，其斜面應(yīng)力為：如果法向矢量n為應(yīng)力主方向，則斜面應(yīng)力fn應(yīng)與斜面法向矢量n同向，此時(shí)，斜面上只有正應(yīng)力而無(wú)剪應(yīng)力，于是：可得到主平面上的法向矢量n應(yīng)滿足的關(guān)系式：引入δij進(jìn)行換標(biāo)，上式改寫(xiě)為：2023/2/631第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日上式是ni的線性代數(shù)方程組。其非零解存在條件：方程（*）稱為應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，它的三個(gè)特征根即為主應(yīng)力。I1、I2、I3分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。2023/2/632第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日由于方程（*）的根不變，故方程總的系數(shù)一定為不變量。如果坐標(biāo)軸恰好與三個(gè)主方向重合，則應(yīng)力張量簡(jiǎn)化為？主坐標(biāo)系，主向空間？主應(yīng)力的幾個(gè)重要性質(zhì)：（1)不變性：從物理意義上講，主應(yīng)力是物體內(nèi)部受外部確定因素作用時(shí)客觀存在的量。（2）實(shí)數(shù)性（3）正交性（4）極值性：通過(guò)一點(diǎn)的所有微分面上的全應(yīng)力中，最大和最小的全應(yīng)力分別是絕對(duì)值最大和最小的主應(yīng)力。2023/2/633第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日彈性理論的適用范圍是由材料的屈服條件來(lái)確定的。大量實(shí)驗(yàn)證明，剪應(yīng)力對(duì)材料進(jìn)入塑性屈服階段起決定性作用，例如第三強(qiáng)度理論，又稱特雷斯加（TrescaH)屈服條件，是以最大剪應(yīng)力為材料是否進(jìn)入塑性屈服階段的判據(jù)；第四強(qiáng)度理論，又稱米澤斯（VonMisesR)屈服條件，則與八面體剪應(yīng)力有關(guān)。思考題：在點(diǎn)M應(yīng)力σi已知的主坐標(biāo)空間中求最大剪應(yīng)力計(jì)算式？2023/2/634第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

2.6轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量的變換

當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)，通過(guò)一點(diǎn)的各應(yīng)力分量應(yīng)如何改變?？梢宰C明，當(dāng)坐標(biāo)平移式，應(yīng)力張量中的各應(yīng)力分量不會(huì)改變，我們只研究當(dāng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，應(yīng)力張量的變換。設(shè)在笛卡爾坐標(biāo)系oxyz下，某點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量為：

2023/2/635第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

現(xiàn)在讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過(guò)某一角度，得到新的坐標(biāo)系設(shè)它與老坐標(biāo)之間的關(guān)系為：其中表示3個(gè)新坐標(biāo)軸對(duì)于老坐標(biāo)軸的方向余弦，如果：xyz2023/2/636第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日其中新坐標(biāo)系下的應(yīng)力可表示為：2023/2/637第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

其中，過(guò)M點(diǎn)并與軸垂直的微分面對(duì)老坐標(biāo)軸是傾斜微分面，它的法線方向即為軸方向，其方向余弦為，固有斜面上的應(yīng)力可表示為：將此式代入上頁(yè)公式整理可得:2023/2/638第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/639第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

應(yīng)力分量為二階張量，應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換公式為用指標(biāo)符號(hào)記為2023/2/640第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

以平面應(yīng)力狀態(tài)為例，設(shè)新坐標(biāo)系由原坐標(biāo)系逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ而成，新坐標(biāo)軸的基矢e1'

、e2'

對(duì)原基矢e1

、e2

的過(guò)渡矩陣為式