(參考答案)高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（5）：立體幾何

(參考答案)2023高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（5）：立體幾何高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（5）立體幾何★熱身訓(xùn)練1.（廣東省深圳市高級中學(xué)（集團(tuán)）2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）如圖，棱長為4的正方體，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點(diǎn)到平面的距離的最大值是A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，過作，垂足為，則為所求，，由題意，設(shè)，則，，，，令，則，可得，，頂點(diǎn)到平面的距離的最大值是．故選：．2.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）（多選題）如圖，點(diǎn)是正四面體底面的中心，過點(diǎn)且平行于平面的直線分別交，于點(diǎn)，，是棱上的點(diǎn)，平面與棱的延長線相交于點(diǎn)，與棱的延長線相交于點(diǎn)，則（

）A．若平面，則B．存在點(diǎn)與直線，使C．存在點(diǎn)與直線，使平面D．ACD【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可判斷A；由空間向量數(shù)量積可判斷B；當(dāng)直線平行于直線，時，通過線面垂直的判定定理可判斷C，由共面向量定理可判斷D.【解析】對于A，平面，平面與棱的延長線相交于點(diǎn)，與棱的延長線相交于點(diǎn)，平面平面，又平面，平面，，點(diǎn)在面上，過點(diǎn)的直線交，于點(diǎn)，，平面，又平面，平面平面，，，故A正確；對于B，設(shè)正四面體的棱長為，，故B錯誤；對于C，當(dāng)直線平行于直線，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，即，此時平面，以下給出證明：在正四面體中，設(shè)各棱長為，，，，均為正三角形，點(diǎn)為的中心，，由正三角形中的性質(zhì)，易得，在中，，，，由余弦定理得，，，則，同理，，又，平面，平面，平面，存在點(diǎn)S與直線MN，使平面，故C正確；對于D，設(shè)為的中點(diǎn)，則，又∵，，三點(diǎn)共線，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，設(shè)，，，則，∵，，，四點(diǎn)共面，∴，又∵，∴，∴，即，故D正確.故選：ACD.【注意】關(guān)鍵點(diǎn)注意：本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了空間向量數(shù)量積和共面向量定理，解題的關(guān)鍵是熟悉利用空間向量的共面定理，考查了轉(zhuǎn)化能力與探究能力，屬于難題.3.（江蘇省蘇北四市（徐州、淮安、宿遷、連云港）2022-2023學(xué)年度高三年級第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐S－ABCD中，側(cè)面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝eq\f(π,3)，SA＝3．(1)求二面角S－CD－A的大?。?2)點(diǎn)P在線段SD上且滿足eq\o\ac(\S\UP7(→),SP)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),SD)，試確定λ的值，使得直線BP與面PCD所成角最大．4.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，空間幾何體中，四邊形是梯形，，四邊形是矩形，且平面平面，M是線段上的動點(diǎn).（1）試確定點(diǎn)M的位置，使平面，并說明理由；（7分）（2）在（1）的條件下，平面將幾何體分成兩部分，求空間幾何體與空間幾何體的體積的比值.（7分）（1）當(dāng)M是線段的中點(diǎn)時，平面，理由見解析；（2）.【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理確定M是線段的中點(diǎn)，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明．（2）將幾何體補(bǔ)成三棱柱，由三棱柱和三棱錐體積得幾何體的體積，再求得三棱錐的體積后可得所求比值．【解析】（1）當(dāng)M是線段的中點(diǎn)時，平面.證明如下：連接交于點(diǎn)N，連接，如圖，由于M、N分別是的中點(diǎn)，所以，又在平面內(nèi)，且不在平面內(nèi)，所以平面.（2）∵四邊形是矩形，∴.又，且，∴平面.平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，將幾何體補(bǔ)成三棱柱，三棱柱的體積，則幾何體的體積，又三棱錐的體積.∴空間幾何體與空間幾何體的體積的比為.★高考引領(lǐng)本題題源是教材習(xí)題，改編自2016年江蘇高考第17題。教材習(xí)題求函數(shù)的最大值。試題修改對教材習(xí)題進(jìn)行處理，將符號語言轉(zhuǎn)換成圖像語言?？梢杂袃煞N處理方向：處理成側(cè)棱長為1，高線長未知的正四棱錐的體積；處理成母線長為1，高線長未知的圓錐的體積。為使得處理的情況具有一般性，將“側(cè)棱長為1”、“母線長為1”均改為“長為”.（1）按處理方向處理，形成1稿.1稿已知一正四棱錐的高為,側(cè)棱長為，記，求其體積的最大值及此時的長。提示：，2稿現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀為正四棱錐，其側(cè)棱長為，其底面正方形的中心為,下部分形狀為正四棱柱，其底面正方形的中心為,要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍，求倉庫容積最大時的長.2稿分析：記，則；注意到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；，.2016年江蘇高考第17題為2稿的特例（高考題為的情況，,）按處理方向處理，形成問題變式.變式現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是頂點(diǎn)為,底面圓圓心為的圓錐，其母線長為，下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為，要求圓柱的高是圓錐的高的倍，求倉庫容積最大時的長.注：該例為筆者文章“[2]例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考數(shù)學(xué)試題命制為例[J].文理導(dǎo)航(中旬),2017,(02)”節(jié)選。也是《江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（劉蔣巍著）、《中學(xué)學(xué)科學(xué)法指導(dǎo)》（劉蔣巍著）一書內(nèi)容。以此為背景命制的題有很多，譬如：《拓展閱讀1：2019江蘇19題第3問及其新解法》★難點(diǎn)突破：立體幾何（1）1.（湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）圖1是一個不倒翁模型，它是一種古老的中國兒童玩具，最早記載出現(xiàn)于唐代，一經(jīng)觸動就搖擺然后恢復(fù)直立狀態(tài).如圖2，將圖1的模型抽象成一個正圓錐和半球的組合體.已知半球的密度是圓錐的2倍，已知要讓半球質(zhì)量不小于圓錐質(zhì)量，才能使它在一定角度范圍內(nèi)“不倒”，則圓錐的高和底面半徑之比至多為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】D【分析】由圓錐和球的體積公式列不等式求解【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意得，即，則，故選：D2.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為，則其體積為（）A.28 B. C.32 D.24【答案】A【分析】根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)，結(jié)合正四棱臺的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示正四棱臺中，是高，連接，設(shè)，垂足為，顯然所以該正四棱臺的高為，正四棱臺的體積．故選：A3.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在三棱錐A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，則AC與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】取，，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G連接，，，由中位線定理可得AC與BD所成角為，由幾何關(guān)系求出三邊，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】如圖，取，，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G連接，，．∵，，∴（或其補(bǔ)角）即為與所成的角．∵平面，∴，∴，則，∵，，．取的中點(diǎn)，連接，，∴，∴平面，∴，又，∴，∴．∴與所成角的余弦值為．故選：C4.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為eq2\r(,3)的正方形，側(cè)面△PAD為正三角形，則其外接球體積最小值為A．eq\f(28\r(,7),3)πB．eq\f(32,3)πC．eq8\r(,6)πD．4eq\r(,3)π5.（江蘇省泰興中學(xué)、南菁高級中學(xué)、常州市第一中學(xué)三校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題）（多選題）棱長為1的正方體內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸，且圓柱上下底面分別與正方體中以為公共點(diǎn)的3個面都有一個公共點(diǎn)，以下命題正確的是（）A．在正方體內(nèi)作與圓柱底面平行的截面，則截面的最大面積為B．無論點(diǎn)在線段上如何移動，都有C．圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等D．圓柱外接球體積的最小值為【答案】BCD如圖所示：設(shè)分別為對應(yīng)棱的中點(diǎn)，易知共面，截面的面積為，A錯誤；B正確；易知圓柱的母線與平行，由正方體的對稱性可知與其每條側(cè)棱間的夾角都相等，C正確；設(shè)圓柱底面半徑為，則圓柱的底面必與過點(diǎn)的三個面相切，且切點(diǎn)分別在線段上，設(shè)在上的切點(diǎn)為，為圓柱的一條高，根據(jù)對稱性知：，則圓柱的高為，，外接球體積的最小值為，D正確6.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）（多選題）在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，E為A1D的中點(diǎn)，則A．B1E⊥A1CB．BE與B1C所成的角為eq\f(π,3)C．四面體A1EBC1的體積為eq\f(1,6)D．A1C與平面ABC1D1所成的角為eq\f(π,6)7.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）（多選題）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1．G為PC的中點(diǎn)，M為平面PBD上一點(diǎn)下列說法正確的是A．MG的最小值為eq\f(\r(,3),6)B．若MA＋MG＝1，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓C．若MA＝eq\f(\r(,15),6)，則點(diǎn)M的軌跡圍成圖形的面積為eq\f(π,12)D．存在點(diǎn)M，使得直線BM與CD所成角為30°8.（江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(三)數(shù)學(xué)試題）（多選題）在正方體中，，則下列說法正確的是A.若，則B.若，為線段上的動點(diǎn)，則四面體的體積為定值C.若，，為線段的中點(diǎn)，則D.若，則線段AP的長度為定值【答案】ABD【解析】設(shè)正方體的邊長為1，如圖建系.，∴對于A，時，，，，A對.對于B，時，，∴P在上，平面，∴B到平面的距離與Р到平面的距離相等，而的面積為定值，則四面體為定值，B對.對于C，，，BP與AR不平行，C錯.對于D，，，∴，D對，選ABD.9.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在棱長為2的正方體中，為BC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動時，有平面，則線段MN的最小值為______．【答案】【分析】作出正方體，取的中點(diǎn)P，的中點(diǎn)，連接，，，易證平面平面，進(jìn)而判斷，由幾何關(guān)系求得三邊長，易判斷到直線距離為線段MN的最小值，結(jié)合三角函數(shù)得解.【詳解】取的中點(diǎn)P，的中點(diǎn)，連接，，，如圖所示．∵P，N分別為，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，平面，P，Q分別為，的中點(diǎn)，∴．又，四邊形為平行四邊形，，，又平面，平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，又點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，∴點(diǎn)在平面和平面的交線上即．在中，，，．∴，∴，∴點(diǎn)到的最小距離，∴線段的最小值為．故答案為：10.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在軸截面為正方形ABCD的圓柱中，M，N分別為弧AD，弧BC的中點(diǎn)，且在平面ABCD的兩側(cè)．(1)求證：四邊形ANCM是矩形；(2)求二面角B－MN－C的余弦值．11.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝4，將△ABC沿對角線AC翻折，使點(diǎn)B至點(diǎn)P，且使平面PAC⊥平面ACD，如圖2．(1)求證：PA⊥CD；(2)連接PD，當(dāng)四面體PACD體積最大時，求二面角C－PA－D的大?。?2.（湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）證明：平面；（2）若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）6【分析】（1）先做一條輔助線，再通過面面垂直性質(zhì)得到平面，再根據(jù)平面，可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明.（2）過點(diǎn)作交與點(diǎn),連接,通過題目條件和小問1結(jié)論證明四邊形為平行四邊形，然后把多面體分為兩個三棱錐求體積，令，把求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的函數(shù)的最大值.構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得到的最大值，求出此時的值.然后以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量法求與所成角的正切值.【小問1詳解】過點(diǎn)作交與點(diǎn)，平面平面，且兩平面的交線為平面又平面又且平面【小問2詳解】過點(diǎn)作交與點(diǎn),連接平面平面，且兩平面的交線為平面又平面到平面的距離相等且，平面又，令則，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)與所成角為，則，則，即當(dāng)幾何體體積最大時，與所成角的正切值為6.13.(江蘇省常熟市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月份抽測二數(shù)學(xué)試題)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AB＝2AD＝2DC＝4，BD＝2eq\r(,3)，M是線段PC上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)P，C重合)．(1)求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)若點(diǎn)M是線段PC上靠近C的三等分點(diǎn)，求銳二面角M－BD－C的大?。?4.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）如圖，在三棱錐A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)．（1）證明：CD⊥平面AEF．（2）若∠BCD＝60°，點(diǎn)G是線段BD上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)G運(yùn)動到何處時，平面AEG與平面ACD所成銳二面角的余弦值最大．【答案】（1）證明見解析（2）為的中點(diǎn)【分析】（1）要證CD⊥平面AEF，即證，由BD⊥CD可證，由△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，可證，進(jìn)而得證；（2）過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面AEG與平面ACD的法向量，結(jié)合向量夾角的余弦公式和函數(shù)關(guān)系求出，進(jìn)而得出點(diǎn)G位置.【小問1詳解】因?yàn)槭钦切危c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，在平面?nèi)，所以平面；【小問2詳解】在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，則，，．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量為，由，得，令，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，所以，當(dāng)時，，此時最大，故當(dāng)為的中點(diǎn)時，平面與平面所成銳二面角的余弦值最大．★難點(diǎn)突破：立體幾何（2）1.（浙江省寧波市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)正棱臺的性質(zhì)，表示出棱臺的高與邊長之間的關(guān)系，根據(jù)棱臺的體積公式，將體積函數(shù)式子表示出來，利用不等式求解最值，得到棱臺的高.因?yàn)橥饨忧虻那蛐囊欢ㄔ诶馀_上下底面中心的連線及其延長線上，通過作圖，數(shù)形結(jié)合，求出外接球的半徑，得到表面積.