立體幾何五 夾角的計(jì)算

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一：兩直線的夾角：TOC\o"1-5"\h\zL當(dāng)兩條直線/與/共面時(shí)，我們把兩條直線交角中，范圍在「0,兀］內(nèi)的角叫122作兩直線的夾角.當(dāng)直線/與/是異面直線時(shí)，在直線/上任取一點(diǎn)A作M〃/,1212我們把直線/和直線AB的夾角叫作異面直線I與/的夾角.112(一1異面直線的夾角的范圍是.I2」2.直線夾角的向量計(jì)算方法：已知空間兩條直線a,b，且A，C是直線a上不同的兩點(diǎn)，B,D是直線b上不同的兩點(diǎn)，設(shè)直線a，b的夾角9由向量AC,BD確定，滿(mǎn)足COS6=?A。BD?IACI?IBDI要點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎臻g兩直線所成的角可以通過(guò)這兩直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)用作為兩異面―*直線所成的角.>直線所成的角.例1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面三二是矩形，，底面的中點(diǎn)，已知，求異面直線與所成的角的大小.的中點(diǎn)，已知，求異面直線與所成的角的大小.AC=BC，D為BB1【變式2】如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AA=AB=2,的中點(diǎn)，若異面直線ABAC=BC，D為BB1要點(diǎn)二：平面間的夾角TOC\o"1-5"\h\z.平面間的夾角的定義：平面兀與兀相交于直線/，12點(diǎn)R為直線/上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R，在平面兀上作直線/±11/，在平面兀上作直線l，/，則ll=R。我們把直線2212l和l的夾角叫做平面兀與兀的夾角1212.平面間夾角的向量計(jì)算方法:設(shè)平面兀與兀的法向量分別為〃和〃，平面兀與兀的夾角為0，則121212cos0=cosn，n=nJn2,兩平面的夾角范圍是。丁12nnL2.2“平面間的夾角”不同于“二面角”（1）二面角的有關(guān)概念部分可記部分可記都叫半平面.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角.如圖，作二面角a一a書(shū)或a一AB邛.（2）區(qū)別：（2）區(qū)別：構(gòu)成范圍表示法平面間的夾角二面角面-線-面半平面-線-半平面L。，;〕［。，兀］語(yǔ)言敘述語(yǔ)言敘述或符號(hào)表示例2.如圖，在五面體ABCDEF中，E4，平面ABCD，AD〃〃莊，A5，AD,1一—一一一一，，…，，…、一AF=AB=BC=FE=AD,求平面ACD和平面CDE的夾角的余弦值.2變式：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱尸。，底面,OE,PD=DC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF±PB交PB于點(diǎn)F.⑴求證：PB，平面EFD；⑵求平面與平面的夾角的大小.三：直線和平面的夾角.斜線與平面的夾角：平面的一條斜線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角叫作該直線與此平面的夾角.如圖，l是平面a的一條斜線，斜足為O，OA是l在平面a內(nèi)的射影，ZPOA就是直線l與平面a的夾角.（1）直線和平面所成角的范圍是「0—二2（2）最小角定理：斜線和射影所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角；.線面角的向量計(jì)算方法設(shè)直線l的方向向量為。，平面a的法向量為u，直線與平面所成的角為9，a與u的角為①，則有sin9=lcos6=例3.如圖，在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD成的角.變式：四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，NABC=45,AB=2,BC=22，側(cè)面SBC1底面ABCD.SA=SB=3.0(I)證明SA1BC；(II)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值.S變式：如圖，四棱錐P-ABCD中，AB=AP，PA，底面ABCD，四邊形ABCD中，AB±AD，AB+AD=4，CD=2,/CDA=45。.若直線PB與平面PCD所成的角為30。，求線段AB的長(zhǎng).習(xí)題1：如圖，在AABC中，/ABC60,/BAC=90。,是8。上的高，沿AD把ABD折起，使/助。=90。.設(shè)石為6。的中點(diǎn)，求與。6夾角的余弦值.習(xí)題習(xí)題2：如