廣東省廣州市鐘落潭中學2021年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

廣東省廣州市鐘落潭中學2021年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓C：（），直線：，則“”是“C上恰有不同的兩點到l的距離為”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】根據(jù)圓心到直線距離d，比較d與r的關系即可判斷。【詳解】圓：（）圓心坐標為則圓心到直線距離為所以當時恰有兩個不同的點到的距離為當上恰有不同的兩點到的距離為時，滿足所以“”是“上恰有不同的兩點到的距離為”的充分不必要條件所以選A【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，充分必要條件的簡單應用，屬于中檔題。2.當時，不等式

恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略3.設等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且a1=10，a2=9，那么下列不等式中成立的是（）A．a10﹣a11＜0 B．a20﹣a22＜0 C．S20﹣S21＜0 D．S40+a41＜0參考答案：D【考點】等差數(shù)列的性質；等差數(shù)列的前n項和．【分析】設出等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)a1=10和a2=9求出a1和d，得到數(shù)列為遞減數(shù)列，排除A、B、C，由前n項和公式得到當n＞21時，sn＜0，所以D正確．【解答】解：設等差數(shù)列的公差為d，由a1=10，a2=a1+d=10+d=9，得到d=﹣1，所以an=11﹣n；sn=﹣n（n﹣21）；得到此數(shù)列為減數(shù)列，所以答案A、B、C錯，由sn=﹣n（n﹣21）知當n＞21時，sn＜0，所以D正確；故選D【點評】考查學生會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運用等差數(shù)列前n項和公式解決數(shù)學問題的能力．4.已知、為雙曲線：的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點，直線與圓相切，且，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．2參考答案：C5.在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：A試題分析：在等差數(shù)列中，，所以，所以.考點：等差數(shù)列的性質6.《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6個單位,遞減的比例為40%,今共有糧石,按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和為164石,則“衰分比”與m的值分別為（

）A.20%369 B.80%369C.40%360 D.60%365參考答案：A【分析】設“衰分比”為,甲衰分得石,由題意列出方程組,由此能求出結果．【詳解】解：設“衰分比”為,甲衰分得石,由題意得,解得,,．故選：A．

7.a，b是正實數(shù),且a+b=4，則有A.

B.C.

D.

參考答案：B略8.下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關于直線x=1對稱的是A．y=ln(1－x) B．y=ln(2－x) C．y=ln(1+x) D．y=ln(2+x) 參考答案：B解答：關于對稱，則.故選B.

9.已知角的終邊過點，且，則的值為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知區(qū)域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直線x=﹣，x=，曲線y=cosx與x軸圍成的封閉圖象所表示的區(qū)域記為A，若在區(qū)域Ω內隨機取一點P，則點P在區(qū)域A的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【分析】首先明確幾何概型測度為區(qū)域面積，利用定積分求出A的面積，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件對應區(qū)域面積為=4，由直線x=﹣，x=，曲線y=cosx與x軸圍成的封閉圖象所表示的區(qū)域記為A，面積為2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率為：；故選C【點評】本題考查了幾何概型的概率求法；明確幾何測度是關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f（x）=sin2x+的最大值是．參考答案：考點： 三角函數(shù)的最值；兩角和與差的正弦函數(shù)．

專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用兩角和的余弦展開，令t=cosx﹣sinx換元，轉化為二次函數(shù)求最值解答．解答： 解：f（x）=sin2x+=sin2x+=sin2x+=2sinxcosx+cosx﹣sinx．令t=cosx﹣sinx，則t∈[]，∴t2=1﹣2sinxcosx，2sinxcosx=1﹣t2．原函數(shù)化為y=﹣t2+t+1，t∈[]，對稱軸方程為t=，∴當t=時函數(shù)有最大值為．故答案為：．點評： 本題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)，考查了利用換元法求三角函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．12.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________．參考答案：13.（5分）已知向量和，，其中，且，則向量和的夾角是．參考答案：【考點】：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．計算題；平面向量及應用．【分析】：利用向量垂直的條件，結合向量數(shù)量積公式，即可求向量和的夾角解：設向量和的夾角是α，則∵，且，∴=2﹣=2﹣2cosα∴cosα=∵α∈[0，π]∴α=故答案為：【點評】：本題考查向量的夾角的計算，考查向量數(shù)量積公式的運用，屬于基礎題．14.橢圓（）的離心率，右焦點，方程的兩個根分別為，，則點與圓的位置關系是

參考答案：點在圓內15.若a>0,b>0,且函數(shù)在x=1處有極值，則ab的最大值

.參考答案：18略16.若雙曲線E的標準方程是，則雙曲線E的漸進線的方程是

．參考答案：y=x考點：雙曲線的簡單性質．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：求出雙曲線的a，b，再由漸近線方程y=x，即可得到所求方程．解答： 解：雙曲線E的標準方程是，則a=2，b=1，即有漸近線方程為y=x，即為y=x．故答案為：y=x．點評：本題考查雙曲線的方程和性質：漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．17.橢圓x2+4y2=1的離心率為

．參考答案：考點：橢圓的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由橢圓x2+4y2=1化為標準方程得，可得a2，b2．再利用即可得出．解答： 解：橢圓x2+4y2=1化為標準方程得，∴a2=1，，∴=．故答案為：．點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若k＜0，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性；（Ⅱ）若k=2，當x∈（0，+∞）時，試比較f（x）與2的大?。唬á螅┤艉瘮?shù)f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），求k的取值范圍，并證明0＜f（x1）＜1．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6C：函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】（Ⅰ）求導數(shù)f′（x），由于f′（x）＜0，即得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減；（Ⅱ）根據(jù)導函數(shù)即可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，由單調性即可比較f（x）與2的大?。唬á螅┫惹髮?shù)f′（x），由題意知x1、x2是方程f′（x）=0的兩個根，令，利用導數(shù)得到函數(shù)φ（x）的單調區(qū)間，繼而得到k的取值范圍，由f′（x1）=0，則得，又由f（x1）=﹣（x1﹣1）2+1，x1∈（0，1），即可得到0＜f（x1）＜1．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=kex﹣2x可知，當k＜0時，由于x∈（0，+∞），f′（x）=kex﹣2x＜0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調遞減函數(shù)．（Ⅱ）當k=2時，f（x）=2ex﹣x2，則f′（x）=2ex﹣2x，令h（x）=2ex﹣2x，h′（x）=2ex﹣2，由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex﹣2＞0，于是h（x）=2ex﹣2x在（0，+∞）為增函數(shù)，所以h（x）=2ex﹣2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2ex﹣2x＞0在（0，+∞）恒成立，從而f（x）=2ex﹣x2在（0，+∞）為增函數(shù)，故f（x）=2ex﹣x2＞f（0）=2．（Ⅲ）函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，則x1，x2是f′（x）=kex﹣2x=0的兩個根，即方程有兩個根，設，則，當x＜0時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調遞增且φ（x）＜0；當0＜x＜1時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調遞增且φ（x）＞0；當x＞1時，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調遞減且φ（x）＞0．要使有兩個根，只需．故實數(shù)k的取值范圍是．又由上可知函數(shù)f（x）的兩個極值點x1，x2滿足0＜x1＜1＜x2，由，得，∴，由于x1∈（0，1），故，所以0＜f（x1）＜1．19.已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．（1）在下列條件中選擇一個________使數(shù)列{an}是等比數(shù)列，說明理由；①數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項和構成的數(shù)列．（2）在（1）的條件下，當時，設，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.參考答案：（1）②，理由見解析；（2）【分析】（1）選②，由和對數(shù)的運算性質，以及等比數(shù)列的定義，即可得到結論；（2）運用等比數(shù)列的通項公式可得，進而得到，由數(shù)列的裂項相消求和可得所求和.【詳解】（1）①③不能使成等比數(shù)列.②可以：由題意，即，得，且，.常數(shù)且，為非零常數(shù)，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以當時，.因為，所以，所以，.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式，數(shù)列的裂項相消求和，考查化簡運算能力，屬于中檔題.20.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程，并說明其表示什么軌跡；（2）若直線的極坐標方程為，求直線被曲線截得的弦長.參考答案：(1)的極坐標方程為,表示圓；(2).試題分析：(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再利用直角坐標與極坐標的互化公式進行轉換即可;(2)將轉換為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求弦長即可.

（2）∵直線的直角坐標方程為∴圓心到直線的距離為，∴弦長為.考點：1.參數(shù)方程與普通方程的互化；2.直線坐標與極坐標的互化；3.直線與圓的位置關系.21.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．直線l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圓C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．當圓心C到直線l的距離為時，求m的值．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】根據(jù)極坐標方程，參數(shù)方程與普通方程的關系求出曲線的普通方程，利用點到hi直線的距離公式進行求解即可．【解答】解：由ρsin（θ﹣）=m得ρsinθcos﹣ρcosθsin=m，即x﹣y+m=0，即直線l的直角坐標方程為x﹣y+