數(shù)值計算方法期末考試題

一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.和分別作為的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字.A．4和3B．3和2C．3和4D．4和42.已知求積公式，則＝（）A．B．C．D．3.通過點的拉格朗日插值基函數(shù)滿足（）A．＝0，B．＝0，C．＝1，D．＝1，4.設(shè)求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（）斂速。A．超線性B．平方C．線性D．三次5.用列主元消元法解線性方程組作第一次消元后得到的第3個方程（）.A．B．C．D．單項選擇題答案二、填空題（每小題3分，共15分）1.設(shè),則，.2.一階均差3.已知時，科茨系數(shù)，那么4.因為方程在區(qū)間上滿足，所以在區(qū)間內(nèi)有根。5.取步長，用歐拉法解初值問題的計算公式.填空題答案1.9和2.3.4.5.三、計算題（每題15分，共60分）1.已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計算的近似值.計算題1.答案1.解，，所以分段線性插值函數(shù)為2.已知線性方程組（1）寫出雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式；（2）對于初始值，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式分別計算（保留小數(shù)點后五位數(shù)字）.計算題2.答案1.解原方程組同解變形為雅可比迭代公式為高斯－塞德爾迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德爾迭代公式得3.用牛頓法求方程在之間的近似根（1）請指出為什么初值應(yīng)取2（2）請用牛頓法求出近似根，精確到.計算題3.答案3.解，，，，，故取作初始值迭代公式為，，，，方程的根4.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分.計算題4.答案4解梯形公式應(yīng)用梯形公式得辛卜生公式為應(yīng)用辛卜生公式得四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度證明題答案證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即，將分別代入求積公式，并令其左右相等，得得，。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。又由于故具有三次代數(shù)精確度。一、填空（共20分，每題2分）1.設(shè)，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=.2.設(shè)一階差商，則二階差商3.設(shè),則，。4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5．解初始值問題近似解的梯形公式是6、，則A的譜半徑＝。7、設(shè)，則和。8、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為。10、為了使計算的乘除法運算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達式改寫成。填空題答案1、2、3、6和4、5、6、7、8、收斂9、10、二、計算題（共75分，每題15分）1．設(shè)（1）試求在上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足以升冪形式給出。（2）寫出余項的表達式計算題1.答案1、（1）（2）2．已知的滿足，試問如何利用構(gòu)造一個收斂的簡單迭代函數(shù)，使0，1…收斂計算題2.答案2、由，可得，3．試確定常數(shù)A，B，C和a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少它是否為Gauss型的計算題3.答案3、，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的4．推導(dǎo)常微分方程的初值問題的數(shù)值解公式：（提示：利用Simpson求積公式。）計算題4.答案4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程在區(qū)間上積分，得，記步長為h,對積分用Simpson求積公式得所以得數(shù)值解公式：5．利用矩陣的LU分解法解方程組計算題5.答案5、解：三、證明題（5分）1．設(shè)，證明解的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案1、一、填空題（20分）(1).設(shè)是真值的近似值，則有位有效數(shù)字。(2).對,差商()。(3).設(shè),則。(4).牛頓—柯特斯求積公式的系數(shù)和。填空題答案（1）3（2）1（3）7（4）1二、計算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（，），（，）。計算題1.答案1）2).（15分）用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個根，誤差限。計算題2.答案2)3).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組，取，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計算).。計算題3.答案3）迭代公式4).（15分）求系數(shù)。計算題4.答案4）5).(10分)對方程組試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題5.答案5)解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯—塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：.三、簡答題1)（5分）在你學過的線性方程組的解法中,你最喜歡那一種方法,為什么2)（5分）先敘述Gauss求積公式,再闡述為什么要引入它。簡答題答案1）憑你的理解去敘述。2）參看書本99頁。一、填空題（20分）1.若a=是的近似值，則a有()位有效數(shù)字.2.是以為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則().3.設(shè)f(x)可微，則求方程的牛頓迭代格式是().4.迭代公式收斂的充要條件是。5.解線性方程組Ax=b(其中A非奇異，b不為0)的迭代格式中的B稱為().給定方程組，解此方程組的雅可比迭代格式為()。填空題答案1．32.3.4.5.迭代矩陣，二、判斷題（共10分）1.若，則在內(nèi)一定有根。()2.區(qū)間[a,b]上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超過三次的多項式。()3.若方陣A的譜半徑，則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。()4.若f(x)與g(x)都是n次多項式，且在n+1個互異點上，則。()5.用近似表示產(chǎn)生舍入誤差。()判斷題答案1.×2.×3.×4.√5.×三、計算題（70分）1.（10分）已知f(0)＝1，f(3)＝，f(4)＝，求過這三點的二次插值基函數(shù)l1(x)=()，=(),插值多項式P2(x)=(),用三點式求得().計算題1.答案1．2.（15分）已知一元方程。1）求方程的一個含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計算題2.答案2.（1）（2）（3）3.（15分）確定求積公式的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.計算題3.答案4.（15分）設(shè)初值問題.(1)寫出用Euler方法、步長h=解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2)寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解，保留兩位小數(shù)。計算題4.答案4.5.（15分）取節(jié)點，求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項式，并估計誤差。計算題5.答案5．=1+2(，一、填空題(每題4分，共20分)1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有和。2、設(shè)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則；。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為；插值型求積公式中求積系數(shù)；且。4、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項表達式為。5、則。填空題答案1.相對誤差絕對誤差2.13.至少是nb-a4.35.10二、計算題1、已知函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算的近似值。計算題1.答案解：差商表由牛頓插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，。計算題2.答案解：3、（15分）確定求積公式。中待定參數(shù)的值，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時求積公式的代數(shù)精度。計算題3.答案解：分別將，代入求積公式，可得。令時求積公式成立，而時公式不成立，從而精度為3。4、（15分）已知一組試驗數(shù)據(jù)如下：求它的擬合曲線（直線）。計算題4.答案解：設(shè)則可得于是，即。5、（15分）用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根時，若要求精確到小數(shù)點后二位，(1)需要二分幾次；(2)給出滿足要求的近似根。計算題5.答案解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解線性方程組計算題6.答案解：即一、填空題（25分）1).設(shè)x*=是真值x=的近似值，則x*有位有效數(shù)字。2).，。3).求方程根的牛頓迭代格式是。4).已知,則,。5).方程求根的二分法的局限性是。填空題答案1）4；2）1，0；3）；4）7,6；5）收斂速度慢，不能求偶重根。二、計算題1).（15分）已知(1)用拉格朗日插法求的三次插值多項式；(2)求，使。計算題1.答案解：2).（15分）試求使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度。計算題2.答案解：由等式對精確成立得：,解此方程組得又當時左邊右邊此公式的代數(shù)精度為23).（15分）取步長h=,用梯形法解常微分方程初值問題計算題3.答案3）梯形法為即迭代得4).（15分）用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值.計算題4.答案解：先選列主元，2行與1行交換得消元；3行與2行交換；消元；回代得解；行列式得5).（15分）用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=,計算三次，保留五位小數(shù)。計算題5.答案5).解：是的正根，，牛頓迭代公式為，即取x0=,列表如下：一、填空題(每題4分，共20分)1、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項表達式為。2、則。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為；插值型求積公式中求積系數(shù)；且。4、設(shè)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則；。5、按四舍五入原則數(shù)與具有五位有效數(shù)字的近似值分別為和。填空題答案1、32、3、14、至少是n5、二、計算題1、（10分）已知數(shù)據(jù)如下：求形如擬合函數(shù)。計算題1.答案解：2、（15分）用二次拉格朗日插值多項式計算。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值如下表。計算題2.答案解：過點的二次拉格朗日插值多項式為代值并計算得。3、（15分）利用改進的尤拉方法求解初值問題，其中步長。計算題3.答案解：4、（15分）已知(1)推導(dǎo)以這三點為求積節(jié)點在上的插值型求積公式；(2)指明求積公式所具有的代數(shù)精度；(3)用所求公式計算。計算題4.（1）答案計算題4.（2）&（3）答案（2）所求的求積公式是插值型，故至少具有2次代數(shù)精度，再將代入上述公式，可得故代數(shù)精度是3次。（3）由（2）可得：。(1)所求插值型的求積公式形如：。5、（15分）討論用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程組Ax=b的收斂性，如果收斂，比較哪種方法收斂快。其中.計算題5.答案解：三、簡述題（本題10分）敘述在數(shù)值運算中，誤差分析的方法與原則是什么簡述題答案解：數(shù)值運算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區(qū)間分析法等。誤差分析的原則有：1）要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法；2）要避免兩近數(shù)相減；3）要防止大數(shù)吃掉小數(shù)：4）注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。一、填空（共25分，每題5分）1、，則A的譜半徑＝2、設(shè)則和3、若x=,，則x*的近似數(shù)具有位有效數(shù)字.4、拋物線求積公式為.5、設(shè)可微，求方程根的牛頓迭代公式是。填空題答案1、；2、；3、4；4、；5、.二、計算題1).（15分）設(shè)（1）試求在上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足,以升冪形式給出。（2）寫出余項的表達式計算題1.答案（1）（2）2).（15分）設(shè)有解方程的迭代法:,（1）證明,均有（為方程的根）；（2）取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；（3）此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。計算題2.答案（1）（2）取，則有各次迭代值取，其誤差不超過（3）故此迭代為線性收斂。3).(15分)確定下列求積公式中