中巍2006高教社杯全國(guó)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

2006高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)送交前編號(hào)評(píng)閱編號(hào)（ 評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)B題療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)本文對(duì)B3個(gè)問題進(jìn)行了詳細(xì)的討論。首先，認(rèn)為所給數(shù)據(jù)是所有艾T分布。AIDS病發(fā)病機(jī)理的分析，建立了基于最小二乘法Logistic模型描述出了用藥前段時(shí)間CD4細(xì)胞濃度上升、穩(wěn)定的過程，Lotka-Volerra種群生存競(jìng)爭(zhēng)模型描述出了用藥后段時(shí)間CD4細(xì)胞濃度下降的過程。根據(jù)上述兩個(gè)模型對(duì)附件一中數(shù)據(jù)分析后，得到了兩條交叉的回歸曲線，可以對(duì)療法進(jìn)行預(yù)測(cè)。關(guān)于何時(shí)停藥，AISD病的治療方法分為長(zhǎng)期療法和間隔療法，前者考慮HIV的耐藥性問題而在CD438周左右停藥；后者考慮為增強(qiáng)患者自身對(duì)HIV的免疫能力而在CD4細(xì)胞濃度上升到穩(wěn)定程度時(shí)停止用藥，計(jì)算結(jié)果為20周左右停藥。對(duì)于問題二，建立了t檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀靡员容^各個(gè)療法的優(yōu)劣。將每一種療法看作關(guān)鍵回歸分析logistic模型捕食競(jìng)爭(zhēng)模 最小二乘法t檢

一.問題重是當(dāng)前人類社會(huì)最嚴(yán)重的之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多30001985年6月，中國(guó)首次發(fā)現(xiàn)了（協(xié)和醫(yī)院首先報(bào)告一例人，此人為美籍阿根廷人，發(fā)病5天后。1985年至1988年共發(fā)現(xiàn) 者和總共20余例，此為傳入期；從1989年開始，我國(guó)檢出者例數(shù)明顯上升，1995年及者已達(dá)1567例。據(jù)悉，截至今年9月30日， 的免疫系統(tǒng)，使喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIVAIDS發(fā)作。目前可以分為抗治療和免疫調(diào)節(jié)治療其治療的目的是盡量減少內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高免疫能力。AIDSAIDS療法不僅對(duì)AIDS現(xiàn)在得到了醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。ACTG320（見附件1）是同時(shí)服用zidovudine（齊多夫定，lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量。193A（見附件2）是將1300多名隨機(jī)地分為4組，每組按下述4測(cè)試成本很高。4種療法的日用藥分別為：600mgzidovudine400mg西他濱；600mgzidovudine400mgdidanosine；600mgzidovudine400mgdidanosine400mgnevirapine（奈韋拉平。利用附件1（利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)，并對(duì)較優(yōu)(3)藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國(guó)家提供的藥品價(jià)格如下：600mgzidovudine1.60，400mgdidanosine0.85，2.25mgzalcitabine1.85，400二.模型的條件和假設(shè)在考慮長(zhǎng)期療法時(shí)，各療法對(duì)無副作用假設(shè)CD4的濃度僅受HIV和藥物影響，無其他影響因素假設(shè)HIV因變異對(duì)某種藥物產(chǎn)生抗藥性后該藥物立即對(duì)無藥效而三.變量及 1 ：2H t假設(shè)檢驗(yàn)中的原始假設(shè)12 tH012 12四.RNA的逆轉(zhuǎn)錄，即阻斷雙股DNA的形成，使失去的模p66疏水區(qū)結(jié)合而抑制逆轉(zhuǎn)錄酶。它們高度抑制HIV-1，不抑制其他逆轉(zhuǎn)錄和DNA多聚酶，故細(xì)胞毒性很小，抗選lamivudin（zalcitabin（蛋白酶抑制劑(PI)：PI是基于肽類的化合物，它們或競(jìng)爭(zhēng)性抑制蛋白酶活性，或indinavir（茚地那韋）五 模型的建立與求問題一的模型建立與300多名整體作為研究總體，對(duì)附件1的數(shù)據(jù)進(jìn)行如下處理：將在同一CD4測(cè)試的CD40304人進(jìn)行了CD4濃度的測(cè)試，將所有人的CD4的濃度加和求均值可得其總體平均濃度為444.590copylCD4CD4濃度圖CD4HIV濃度按周走勢(shì)數(shù)據(jù)，如

圖在0～9周內(nèi)CD4細(xì)胞有明顯的上升趨勢(shì)，中間有小幅度波動(dòng)；HIV有明顯的下降趨勢(shì)，中間有小幅度波動(dòng)，并與CD4細(xì)胞的變化趨勢(shì)相對(duì)應(yīng)。在10～37周內(nèi)CD4細(xì)胞保持平穩(wěn)，并略有上升，在22～26周內(nèi)有小幅度的波動(dòng)；在10～37周內(nèi)HIV也相對(duì)保持平穩(wěn)，在10～22周略有上升，22～26周出現(xiàn)小幅度波動(dòng)，26～37周內(nèi)略有下降趨勢(shì)；在38～42周內(nèi)CD4細(xì)胞數(shù)量急劇減少；HIV的數(shù)量有明顯的上升綜上分析可以看出上圖明顯的反映出HIV濃度與CD4細(xì)胞濃度的負(fù)相關(guān)性[1]一般認(rèn)為毒（HIV）機(jī)體后，其疾病進(jìn)展取決于與機(jī)體免疫兩方面因素，一方面在體內(nèi)的水平，另一方面是機(jī)體免疫系統(tǒng)的損壞程度。來反映HIV的變化。另一方面由于CD4細(xì)胞是HIV靶的主要細(xì)胞，隨結(jié)果導(dǎo)致各種機(jī)會(huì)和腫瘤。因此，CD4淋巴細(xì)胞被公認(rèn)為是HIV后評(píng)判其藥物的作用抑制了HIV數(shù)量的增長(zhǎng)，同時(shí)相應(yīng)的促進(jìn)了CD4細(xì)胞數(shù)量一定范圍內(nèi)的增加，使得CD4細(xì)胞數(shù)量的增加在一定范圍內(nèi)符合Logistic模型。應(yīng)用Logistic模型需要滿足的條件：

Nm3tNtNtt的連續(xù)可微4、在t=0Logistic模型的建立 dN(1N m m N(0) 容易解得 N(t)

1(Nm

圖Logistic模型圖形如圖（3）經(jīng)分析38～42周CD4細(xì)胞急劇減少的原因?yàn)椋篐IV產(chǎn)生了抗藥性，由于可以對(duì)CD4細(xì)胞產(chǎn)生嚴(yán)重的破壞，導(dǎo)致CD4細(xì)胞數(shù)量的急劇下降；同時(shí)自身的免疫系統(tǒng)對(duì)HIV的抑制主要靠CD4細(xì)胞發(fā)揮作用?？梢钥醋鰿D4細(xì)胞著HIV病毒之間存在相互“捕食”的關(guān)系，Lotka-Volerra模型中兩種群競(jìng)爭(zhēng)模型來描述兩個(gè)種群分別以N1和N2表示，他們的自然增長(zhǎng)率分別是a1和a2,考慮到生存資源的限制，飽和種群量分別為n1和n2，b1表示單位群體N2按占有生存資源相當(dāng)于種N1b2N1N2b1、b2可以表示為相應(yīng)的捕食率dN1

b1N2

a1N11n

1 bN 2a2N21221

n2圖由上述公式做遞推模擬可以得出如圖（4）但是在用中用最小二乘法實(shí)現(xiàn)此模型回歸時(shí)發(fā)現(xiàn)其目標(biāo)函數(shù)不收斂，yayamLogisticmnn利用最小二乘法min(

X)2N

N0

nn利用最小二乘法min(

X)2a

bc根據(jù)以上系數(shù)繪圖，圖形如圖長(zhǎng)期的用藥雖然可以使?jié)舛冉档偷捷^低水平，但由于機(jī)體接觸抗原刺激不足，自身免疫系統(tǒng)對(duì)的免疫能力隨之下降，停藥后則會(huì)出現(xiàn)反彈。CD4細(xì)胞的3820CD420由于附件1中300多名為隨機(jī)選取可以認(rèn)為其為從總（所有人）t4種療法的優(yōu)劣進(jìn)CH0H012樣本的療法產(chǎn)生的H00；當(dāng)H0時(shí)認(rèn)為作為1樣本的療法產(chǎn)生的效果優(yōu)于作為2樣本的療法產(chǎn)生效果；此時(shí)H0記為模型算法－tt

n1s2

1t ；s 1 1 s sw其中1、2s1、s2n1、n2分別為第1樣本2樣本的均值，標(biāo)準(zhǔn)差，樣本種療法中每個(gè)在治療后CD4的值?？紤]到藥物發(fā)揮作用的時(shí)間因素，不能用某例如：取第2種療法中的某個(gè)的數(shù)據(jù)求其均值。以時(shí)間為橫坐標(biāo)，CD4的數(shù)目（7：求出圖中陰影部分的面積A，則 的CD4均值XA（t為時(shí)間長(zhǎng)度t組運(yùn)用的是相對(duì)療效比較法，以療法的效果（CD4數(shù)目相對(duì)于原來數(shù)據(jù)的變化）X利 中的ttest2函數(shù)求解，在水平10.95下得到以下答案，如表（1）C 1234—110—100—000111—

表格H012樣本的療法產(chǎn)生的H00；當(dāng)H0時(shí)認(rèn)為作為1樣本的療法產(chǎn)生的效果優(yōu)于作為2樣本的療法產(chǎn)生效果；此時(shí)H0記為4療法 療法 療法 療法P的結(jié)果如表格（2） —6.29—4.3810-—9.0910-11—表格P的數(shù)據(jù)可知，在水平10.954種療法的排序是當(dāng)隨機(jī)抽取的樣本足夠大時(shí)（50時(shí)即可，都t分布做假設(shè)檢驗(yàn)，由大數(shù)法則可知：選取哪種做檢驗(yàn)的關(guān)鍵在找到一個(gè)適合的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)。由于總體的無偏估計(jì)量S2是最直接的。所X n1S nn1S ntnS代替，而且所成的統(tǒng)計(jì)量剛好就是自由度為n1t分布。因此所有的討論就變成用t分布來解釋。X

n1S

為卡方分配n1，n1為自由度子的部分是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而分母的部分則是（n1除以本身的自由度）t分布的基本定義。由于此題中選取的樣本可以認(rèn)為足夠大（30050，4種療法效果的標(biāo)準(zhǔn)差未t分布檢驗(yàn)求解2.14422804812164中所建立的預(yù)測(cè)模型，分兩段做回歸得出4濃度走勢(shì)如圖（8：圖15周。2的基礎(chǔ)上，考慮到各種療法的費(fèi)用問題，評(píng)價(jià)的主要方向即變化為對(duì)類似于問題二的療法評(píng)價(jià)過程，對(duì)于問題三，同樣采用tH0：1H1：H0的假設(shè)在10.95水平下對(duì)各個(gè)療法的性價(jià)比做出相互比較，結(jié)果如表格（3： 1234—00011—01—10101—表格由上表可以看出，在價(jià)比時(shí)療法1的效果最好，其次依次是療法3、療42。下表為做相應(yīng)項(xiàng)tP值，可見其差異性顯著如表格（4： —11——12.9110-—表格112中（9：AIDS的14六.模型的分根 的函數(shù)lsqcurvefit的返回值resnorm，利用適合性2測(cè)驗(yàn)，對(duì)建0的logisticresnorm0

0resnorm20表明方程擬合得較好預(yù)測(cè)值與實(shí)際值較吻合可以將方程用于對(duì)未來值的預(yù)測(cè)[8]

n12Logistic與所給的原始數(shù)據(jù)具有較高的擬合度。例如，對(duì)問題立的Logistic模型，

n114

24.996resnorm200Logistic00七.模型的評(píng)價(jià)和推部分顯得突兀而不夠平滑。但在現(xiàn)實(shí)中，盡管自身繁殖速率較大，常以指數(shù)函CD4細(xì)胞濃度為目標(biāo)對(duì)對(duì)服用以抑制病原體為作用機(jī)理的藥物的的病情發(fā)展作出一個(gè)較為準(zhǔn)確的定量八.參考文姚均馮鑫等不同病期HIV-1者的學(xué)和免疫學(xué)研究中國(guó)20062121currentapproachfortreatmentofSTDsinChina,[J].SexTransmDis,2003,30（4）：327-宋兆基徐流美等，6.5在科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用，昌平印刷廠，大學(xué)，2005年1月第1版陳慰峰，醫(yī)學(xué)免疫學(xué)，銘