2023屆河北省張家口市高三年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆河北省張家口市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)補集運算求出，然后求交集即可得到.【詳解】由已知得，且且，所以.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得出復(fù)數(shù).【詳解】由已知可得，因此，.故選：A.3．已知是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位數(shù)，在1，3，3，5，7，8，10，11中隨機取兩個數(shù)，這兩個數(shù)都小于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)百分位數(shù)的計算公式求出，再根據(jù)古典概型的計算方法求解即可.【詳解】上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，因為，所以.8個數(shù)中有6個數(shù)小于9，所以隨機取兩個數(shù)，這兩個數(shù)都小于的概率為.故選:C.4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，定義域為R，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0，得到偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而對不等式變形后得到，解出解集.【詳解】因為當時，，故偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，故變形為：，所以，顯然不滿足不等式，解得：，故.故選：B5．石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】繞碾盤轉(zhuǎn)動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.【詳解】由題意知，；故選：B.6．已知等差數(shù)列的首項，而，則（

）A．0 B．2 C．-1 D．【答案】A【分析】由，代入即可化簡求值.【詳解】等差數(shù)列的首項，，則.故選：A7．過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】由題意可得點在圓上，根據(jù)切線的性質(zhì)求切線斜率，進而求切線方程.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，∵，∴點在圓上，又∵，則切線的斜率，∴切線方程為，即.故選：C.8．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作差后利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性比較大?。驹斀狻?，∴，，，設(shè)，則，時，，即在上遞減，，，，所以，，即，綜上，．故選：D．二、多選題9．以下命題正確的有（

）A．一組數(shù)據(jù)的標準差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越小B．一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定小于中位數(shù)C．樣本相關(guān)系數(shù)的大小能反映成對樣本數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)的程度，而決定系數(shù)的大小可以比較不同模型的擬合效果D．分層隨機抽樣所得各層的樣本量一定與各層的大小成比例【答案】BC【分析】根據(jù)方差,中位數(shù),平均數(shù)，相關(guān)系數(shù)，分層抽樣等知識點分別判斷即可.【詳解】對于:數(shù)據(jù)的標準差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越大,故錯誤;對于:根據(jù)圖可知,中位數(shù)靠右大于平均數(shù),故正確;對于:樣本相關(guān)系數(shù)是指樣本數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度，而決定系數(shù)是比較不同模型的擬合效果,故正確;對于:分層隨機抽樣所得各層的樣本量不一定與各層的大小成比例,等比例分層隨機抽樣所得各層的樣本量一定與各層的大小成比例,故錯誤;故選:10．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點，直線與橢圓交于、兩點，則（

）A．的最大值為B．的內(nèi)切圓半徑C．的最小值為D．若為的中點，則直線的方程為【答案】AC【分析】利用基本不等式可判斷A選項；利用分析可得，求出面積的最大值，可判斷B選項；利用橢圓的定義、數(shù)形結(jié)合可判斷C選項；利用點差法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在橢圓中，，，則，即點、，由橢圓的定義可得，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，A對；對于B選項，，當點為橢圓的短軸的頂點時，取最大值，，B錯；對于C選項，由橢圓的定義可得，所以，，當且僅當點為射線與橢圓的交點時，等號成立，故的最小值為，C對；對于D選項，，則點在橢圓內(nèi)，設(shè)點、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，由題意可得，由已知可得，兩個等式作差可得，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，D錯.故選：AC11．正方體的棱長為2,分別為,,的中點,則（

）A．直線平面B．直線平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】BCD【分析】取中點為,連接,通過求三角形各個邊長,可得不相互垂直,即可證明不垂直,即可判斷選項A的正誤;連接,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明平面平面,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證明選項B的正誤;取中點為,根據(jù)一條線與一個平面平行,則這條線上任一點到該平面距離相等,通過等體積轉(zhuǎn)換即可得即可求出結(jié)果;分別取中點為,將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球,求出半徑及表面積即可.【詳解】解:由題知正方體的棱長為2,關(guān)于選項A:取中點為,連接如圖所示:分別為,,的中點,,且,由于正方體的棱長為2,,不相互垂直,即不相互垂直,若直線平面,則,與上面結(jié)論矛盾,故選項A錯誤;關(guān)于選項B:連接,如圖所示:分別為,,的中點,,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面平面,平面,平面,故選項B正確;關(guān)于選項C:取中點為,連接,如圖所示:分別為,,的中點,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面,,故,故選項C正確;關(guān)于選項D:分別取中點為,連接如圖所示:由圖可知三棱錐的外接球即長方體的外接球,,長方體的外接球半徑為,所以此外接球的表面積為,故選項D正確.故選:BCD12．已知，方程，在區(qū)間的根分別為，以下結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】題意說明分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，利用這三個函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱得，，直接變形判斷AB，利用不等式知識判斷C，由零點存在定理確定，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性判斷D．【詳解】已知兩方程化為，，所以分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，易知和的圖象關(guān)于直線對稱，而函數(shù)的圖象可以看作是由的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的，因此的圖象也關(guān)于直線對稱，所以點與關(guān)于直線對稱，，，，A正確；又，所以，，從而，B正確；，當且僅當即時取等號，由于，而，因此，等號不成立，即，C錯誤，，設(shè)，則，，，所以，所以，時，是減函數(shù)，所以由得，所以，D正確．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，利用這三個函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱得出的關(guān)系．三、填空題13．已知向量，，則實數(shù)______________．【答案】-4【分析】根據(jù)平面向量基本定理計算.【詳解】，解得：；故答案為：-4.14．已知雙曲線的右焦點到的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為___________________．【答案】【分析】根據(jù)條件求出a，b，c即可.【詳解】∵漸近線的方程為，，又，由點到直線的距離公式知：，，∴雙曲線C的方程為：；故答案為：.15．已知直線是函數(shù)與函數(shù)的公切線，若是直線與函數(shù)相切的切點，則____________．【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，，由得切線方程，設(shè)圖象上的切點為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線方程，兩直線重合求得，從而得值．【詳解】，，又，所以切線的方程為，即，設(shè)直線與相切的切點為，，所以切線方程為，即，所以，解得，所以．故答案為：．四、雙空題16．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且，則面積的最大值是________；若分別為的內(nèi)切圓和外接圓半徑，則的范圍為_________________．【答案】

；

.【分析】對于第一空，利用余弦定理表示出，再表示出，再利用可得答案；對于第二空，利用可得答案.【詳解】因在三角形中，則由三角形三邊關(guān)系可得，又利用余弦定理有：，又，則.得，當且僅當，即時取等號.則面積的最大值是；對于第二空，因，則，又，則，因，則.令，其中，因，則在上單調(diào)遞增，故，得.故答案為：；.五、解答題17．因疫情防控需要，某社區(qū)每天都要在上午6點到8點之間對全社區(qū)居民完成核酸采集，該社區(qū)有兩個居民小區(qū)，兩小區(qū)的居住人數(shù)之比為9：11，這兩個小區(qū)各設(shè)有一個核酸采集點，為了解該社區(qū)居民的核酸采集排隊時間，用按比例分配分層隨機抽樣的方法在兩小區(qū)中隨機抽取了100位居民，調(diào)查了他們一次核酸采集排隊時間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖．(1)由直方圖分別估計該社區(qū)居民核酸采集排隊時間的平均時長和在一次核酸采集中排隊時長超過16分鐘的居民比例；(2)另據(jù)調(diào)查，這100人中一次核酸采集排隊時間超過16分鐘的人中有20人來自小區(qū)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，填寫完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為排隊時間是否超過16分鐘與小區(qū)有關(guān)聯(lián)？排隊時間超過16分鐘排隊時間不超過16分鐘合計A小區(qū)B小區(qū)合計附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】(1)；.(2)是【分析】（1）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算代入即可得出答案；頻率分布直方圖中每個矩形的面積表示落在該組內(nèi)的頻率，由此可估計排隊時長超過16分鐘的居民比例（2）利用獨立性檢驗公式計算，對照附表得出結(jié)論.【詳解】（1）由直方圖估計該社區(qū)居民核酸采集排隊時間的平均時長為：（分鐘）直方圖分別該社區(qū)居民在一次核酸采集中排隊時長超過16分鐘的居民比例為：.（2）這100人中小區(qū)的人有（人），100人中B小區(qū)的人有（人），由題意知，排隊時長超過16分鐘的居民有（人），其中20人來自于小區(qū)，10人來自于B小區(qū)，排隊時長不超過16分鐘的居民有（人），其中人來自于小區(qū)，人來自于B小區(qū)，填表如下：排隊時間超過16分鐘排隊時間不超過16分鐘合計A小區(qū)202545B小區(qū)104555合計3070100則由獨立性檢驗，故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，能認為排隊時間是否超過16分鐘與小區(qū)有關(guān)聯(lián).18．已知為數(shù)列的前項和,．(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)先求出,根據(jù),寫出,,兩式相減即可得,要證數(shù)列為等比數(shù)列,只需證明為一個常數(shù),將代入即可;(2)由(1)得出數(shù)列的通項公式,若求前項和,需要進行分組求和,先利用錯位相減求出的前項和,再求等差數(shù)列的前項和,即可得.【詳解】（1）證明:由題知,,解得:故,由,可得,,兩式相減可得:,,所以,,所以,,所以數(shù)列是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列;（2）由(1)得數(shù)列是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,故,則,設(shè),其前n項和為,則①,②,①-②可得:,所以,所以,綜上:.19．在中，內(nèi)角的對邊分別為，．(1)求；(2)如圖，在所在平面上存在點，連接，若，，，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用正弦定理和余弦定理求解；（2）由（1）的結(jié)論，運用正弦定理和條件計算出，再用面積公式計算.【詳解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，，又是三角形內(nèi)角，；（2）令，四邊形內(nèi)角和為，由（1）的結(jié)論知：…①，在中，由正弦定理得：，在中，，又，將①代入得：，，即，

，，；綜上，，.20．如圖，在四棱錐，，為棱的中點，．(1)證明：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）通過證明線面垂直面來證明線線垂直；（2）以PD的中點為原點建立空間直角坐標系，通過坐標運算可得結(jié)果.【詳解】（1）取PD的中點G，連接EG、CG，如圖所示，則，，∵∴四邊形ABCD為菱形，∴∴，∴四邊形BEGC為梯形，∴BE與GC相交，又∵，∴，又∵，∴又∵，，、面，∴∴又∵，BE與GC相交，、面，∴面，∴（2）在中，，∴，由（1）知，，又∵，∴，∴在中，，取BC的中點F，連接GF，則且，∴四邊形BEGF為平行四邊形，∴又∵，∴由（1）知，面，∴以G為原點，分別以GE、GF、GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系G－xyz，如圖所示，則，，，，∴，，，設(shè)面PDC的一個法向量為，則取，則，，∴，設(shè)面PBC的一個法向量為，則取，則，，∴，∴∴平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為.21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：．【答案】(1)見解析；(2)見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，分、與討論求解單調(diào)性即可；（2）可轉(zhuǎn)化為，令，即證明.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可證明.【詳解】（1），①當時，，在上單調(diào)遞減；②當時，令，得，當時，；當時，.③當時，令，得，當時，；當時，.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）,即為，即，令，可得，即證明.設(shè)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，即.所以.【點睛】結(jié)論點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．已知動圓過定點,且在軸上截得的弦