高二級(jí)文化科學(xué)科競(jìng)賽初賽試卷理科

高二級(jí)文化科學(xué)科競(jìng)賽初賽試卷理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共6小題，每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={}，則A∩B等于()A.{0,1,2,3} B.[1,3] C.{1,2,3}D.[0,3]2.已知向量，，則下列向量中與垂直的是（）A．B．C．D．3.已知變量，滿足，則的最大值是().A.4 B.6C.7D.84.如圖，曲線把邊長(zhǎng)為4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．6.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則時(shí)的最大值是（）A.2022B.2022 C.4034D.4035二、填空題：本題共2小題，每小題5分。7.已知復(fù)數(shù)滿足，則．8．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，若三棱錐體積的最大值為2，則球的表面積為__________．三、解答題：本題共3小題，總分60。9.（本小題滿分20分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．（1）求角的大?。唬?）已知，的面積為，求邊．（本小題滿分20分）如圖3，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC和△PAC都是正三角形，，E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，且PD⊥AB于D.（Ⅰ）證明：平面PEF⊥平面PED；（Ⅱ）求二面角的正弦值．11.（本小題滿分20分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓與軸的非負(fù)半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，連接，求的面積的最大值。高二級(jí)文化科學(xué)科競(jìng)賽初賽數(shù)學(xué)答案（理科）一、選擇題：本題共6小題，每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C2.D3.D4.A5.B6.C二、填空題：本題共2小題，每小題5分。7.18.三、解答題：本題共3小題，總分60。9．（本小題滿分20分）（1）解：∴由正弦定理得：---3分-------5分-----7分又........................8分∴--------10分解：，即：--------15分又由余弦定理得：--11分故：-------20分【方法2】，即：..............①--------15分又.............②由①②解得：..................17分由余弦定理得：--18分故：---------20分10．（本小題滿分20分）解：（Ⅰ）∵E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴EF//AB，----------------------------2分在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC，----------------------------------------------------------------------------------------4分∴PE⊥AB，又PD⊥AB，PE∩PD=P，∴AB⊥平面PED，---------------------------------6分又EF//AB，∴EF⊥平面PED，又平面PEF，∴平面PEF⊥平面PED.------------------------------------------------------8分（Ⅱ）解法1：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面PAC，----------------------------------------------------------------------------------------10分以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA所在的直線為x軸，EB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則,,--------14分,,設(shè)為平面PAB的一個(gè)法向量，則由得，令，得，即------------------------------18分設(shè)二面角的大小為，則,，即二面角的正弦值為.---------------------------------------------------------20分【解法2：由（Ⅰ）知EF⊥平面PED，∴EF⊥ED，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED所在的直線為x軸，EF所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD=,,,又,∴,,則,,-------------------------------------10分∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面PAE，故為平面PAE的法向量，----------------------------------14分設(shè)為平面PAD的一個(gè)法向量，則由得，令得，故--------------------------------18分設(shè)二面角的大小為，則,，即二面角的正弦值為.---------------------------------------------------------20分11.（本小題滿分20分）解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為，則，…4分故，