蘇教版選擇性必修第二冊(cè)6.3.3空間角的計(jì)算隨堂作業(yè)

【優(yōu)選】6.3.3空間角的計(jì)算-1隨堂練習(xí)一．單項(xiàng)選擇1．如圖,正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角是A．30° B．45° C．60° D．90°2．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為()A． B．C． D．3．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面上的射影分別為，則三棱錐的外接球的表面積為()A． B． C． D．4．在正方體中，若點(diǎn)為正方形的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．5．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角為（）A． B． C．或 D．6．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵中，，，，則與平面所成角的大小為（）A． B． C． D．7．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)且，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則異面直線DE與所成角的大小為（）A． B． C． D．9．在邊長(zhǎng)為的正方體中，異面直線與所成角的大小為()A. B. C. D.10．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，AB=1，PD=2，則異面直線PA與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．如圖，在直三棱柱中，，，已知G與E分別為和的中點(diǎn)，D和F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則線段DF的長(zhǎng)度的平方取值范圍為（）．A． B． C． D．12．已知向量，則下列向量中與成的夾角的是（）A． B． C． D．13．在正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．14．如圖所示，在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值，則此最小值為（）A．2B．C．D．15．在直三棱柱中，若，，則異面直線與所成角為（）A. B. C. D.16．如圖圓錐的高，底面直徑是圓上一點(diǎn)，且，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．17．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則面積的最小值為（）A．8 B．4 C． D．18．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱．的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．

參考答案與試題解析1．【答案】A【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法求解．【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P（0，，），則（2a，0，0），（﹣a，，），（a，a，0），設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，，∴，可?。?，1，1），∴cos，，∴，＞＝60°，∴直線BC與平面PAC的夾角為90°﹣60°＝30°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．2．【答案】C【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，平面外一點(diǎn)到平面的距離可以用平面上任意一點(diǎn)與該點(diǎn)的連線在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由，即可求得平面的法向量，而在上的投影即為點(diǎn)到面的距離，即可求得結(jié)果【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，,，，為的中點(diǎn)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即可得可取點(diǎn)到面的距離為故選【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于點(diǎn)到平面距離的題目，解題的關(guān)鍵是掌握求點(diǎn)到面距離的方法，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合法向量求出結(jié)果，屬于中檔題。3．【答案】C【解析】作出圖形，根據(jù)得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，證明平面，利用勾股定理計(jì)算出的外接圓直徑，再利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，最后利用球體表面積公式可得出答案．【詳解】解：如下圖所示，由題意知，，且兩兩垂直，由于，∴平面，直角的外接圓直徑為，所以，三棱錐的外接球直徑為，因此，三棱錐的外接球的表面積為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了球體表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出合適的模型計(jì)算球體的半徑，考查計(jì)算能力與推理能力．空間思維能力，屬于中等題．4．【答案】C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式，即可求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則向量，則向量與的夾角為,即異面直線與所成角的余弦值為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求解異面直線所成的角，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，合理利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．【答案】C【解析】根據(jù)已知中兩個(gè)平面法向量的夾角，代入向量夾角公式，可以求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而根據(jù)兩平面所成的二面角與相等或互補(bǔ)，得到答案．【詳解】∵兩平面的法向量分別為則兩平面所成的二面角與相等或互補(bǔ)故.故兩平面所成的二面角為45°或135°故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中一定要注意兩平面所成的二面角與相等或互補(bǔ)．屬基礎(chǔ)題.6．【答案】B【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與平面所成角的大?。驹斀狻吭趬q堵中，，，，∴以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面的法向量，設(shè)與平面所成角的大小為，則，∴與平面所成角的大小為45°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求法，考查空間中線線．線面．面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力．運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．?dāng)?shù)形結(jié)合思想，是中檔題．7．【答案】D【解析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則,,異面直線與所成的角為，故選D.8．【答案】B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，先求得向量的夾角的余弦值，即可得到異面直線所成角的余弦值，得到答案.【詳解】分別以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得,所以，所以，所以異面直線和所成的角的余弦值為，所以異面直線和所成的角為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．【答案】D【解析】以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量可求得.【詳解】以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則,,所以,所以,所以,所以,所以異面直線與所成角的大小為90°.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量求異面直線所成角,屬于中檔題.10．【答案】D【解析】先建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求解兩個(gè)向量的夾角的余弦，再轉(zhuǎn)化為異面直線所成角的余弦.【詳解】由題意，建立如圖的空間坐標(biāo)系，∵底面ABCD為正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，∴點(diǎn)A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），則，∴．∴異面直線PA與BD所成角的余弦值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的求法，利用空間向量能簡(jiǎn)化推理過(guò)程.11．【答案】D【解析】根據(jù)直三棱柱中三條棱兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出F．D的坐標(biāo)，求出向量，利用GD⊥EF求得關(guān)系式，寫(xiě)出的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值即可．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F(xiàn)（x，0，0），D（0，y，0）∴∵GD⊥EF，∴x+2y﹣1＝0，∴x＝1﹣2yDF∵0＜y＜1∴當(dāng)y時(shí)，線段DF長(zhǎng)度的最小值是又y＝0時(shí)，線段DF長(zhǎng)度的最大值是1而不包括端點(diǎn)，故y＝1不能取；故線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍是：[，1）．即線段的長(zhǎng)度的平方取值范圍為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是點(diǎn)．線．面間的距離計(jì)算，主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征．空間直角坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【答案】B【解析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可得到答案【詳解】根據(jù)夾角余弦值對(duì)于A若則，而，故不符合條件對(duì)于若則，而，故符合條件對(duì)于若則，故不符合條件對(duì)于若則，故不符合條件故選B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，運(yùn)用公式代入進(jìn)行求解，較為簡(jiǎn)單13．【答案】D【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個(gè)法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求解直線與平面所成的角，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【答案】D【解析】將翻折到與四邊形同一平面內(nèi)，的最小值為，在中，由余弦定理可得考點(diǎn)：1.翻折問(wèn)題；2.空間距離15．【答案】C【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，．．所在直線分別為．．軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算出和所成角的余弦值，可得出異面直線與所成角.【詳解】，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，．．所在直線分別為．．軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則．．．，，，所以，，因此，異面直線與所成角為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16．【答案】A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積即可求得與夾角的余弦值。【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得：，，，設(shè)的夾角為，又則因?yàn)榧碨A與BC所成角的余弦值為故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及利用空間向量求異面直線的夾角，屬中檔題．17．【答案】D【解析】建立坐標(biāo)系，求出M的軌跡，得出M到B的最小距離，得出三角形的最小面積．【詳解】解：以AB，AD，AA1為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：則P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4），設(shè)M（a，0，b），則（a，﹣4，b﹣4），（﹣4，﹣4，2），∵D1M⊥CP，∴4a+16+2b﹣8＝0，即b＝2a﹣4.取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)B1N，則M點(diǎn)軌跡為線段B1N，過(guò)B作BQ⊥B1N，則BQ．又BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BQ，∴S△BCM的最小值為S△QBC．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了空間點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，考查了空間向量的運(yùn)算，考查了空間想象能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.18．【答案】D【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)M到平面D1EF的距離,N到面的距離是M到該面距離的一半．【詳