蘇教版必修第一冊6.1冪函數(shù)課件

冪函數(shù)第6章

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念.2.掌握y＝xα的圖象與性質(zhì).3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題.導(dǎo)語同學(xué)們，我們說要學(xué)好數(shù)學(xué)，要先了解它的發(fā)展史，比如我們今天要學(xué)習(xí)的冪函數(shù)，“冪”其原意是遮蓋東西用的布，后來引申為面積.《九章算術(shù)》劉徽注：“凡廣縱相乘謂之冪.”后來又推廣引申為多次乘方的結(jié)果.到了清明時(shí)代，既稱面積為冪，也稱平方或立方為冪.清末之后，冪逐漸開始專指乘方概念.課時(shí)對點(diǎn)練一、冪函數(shù)的概念二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)三、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引冪函數(shù)的概念

一問題1

下面幾個(gè)實(shí)例，觀察它們得出的函數(shù)解析式，有什么共同特征？(1)如果張紅以1元/kg的價(jià)格購買了某種蔬菜ωkg，那么她需要支付p＝ω元，這里p是ω的函數(shù)；(2)如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)；(3)如果立方體的棱長為b，那么立方體的體積V＝b3，這里V是b的函數(shù)；(4)如果一個(gè)正方形場地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長c＝,即c＝

，這里c是S的函數(shù)；(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度v＝

km/s，即v＝t－1，這里v是t的函數(shù).提示這些函數(shù)的解析式都具有指數(shù)冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量，冪的指數(shù)都是常數(shù).知識梳理冪函數(shù)的概念一般地，我們把形如

的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是

，α是

.y＝xα自變量常數(shù)(1)自變量前的系數(shù)是1；(2)冪的系數(shù)為1；(3)α是任意常數(shù)；(4)函數(shù)的定義域與α有關(guān).注意點(diǎn)：(1)在函數(shù)y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為A.0

B.1

C.2

例1√∵y＝

＝x－2，∴是冪函數(shù)；y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個(gè)點(diǎn)(0,1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù).(2)已知y＝

＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值.冪函數(shù)的判斷及應(yīng)用(1)判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，需滿足：①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③xα的系數(shù)為1.(2)若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有y＝xα(α為常數(shù))這一形式.反思感悟設(shè)f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.

若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝16，則f(－4)＝_____.跟蹤訓(xùn)練116冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二問題2

根據(jù)之前所學(xué)的函數(shù)概念與性質(zhì)，我們應(yīng)該從哪些方面來研究冪函數(shù)呢？提示根據(jù)函數(shù)解析式先求出函數(shù)的定義域，然后畫出函數(shù)圖象，再利用圖象和解析式研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域、奇偶性、對稱性等問題.問題3

你能在同一坐標(biāo)系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1這五個(gè)函數(shù)的圖象嗎？提示問題4

觀察函數(shù)圖象以及函數(shù)解析式，完成下表.

y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域

值域

奇偶性

單調(diào)性

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x≠0}R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y≠0}奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)

增函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增增函數(shù)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減知識梳理一般冪函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)y＝xα，當(dāng)α>0時(shí)，具有的性質(zhì)：①函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

和

；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而

，函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是

函數(shù).(2)函數(shù)y＝xα，當(dāng)α<0時(shí)，具有的性質(zhì)：①函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而

，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是

函數(shù).下降減上升增(0,0)(1,1)(1,1)

(1)函數(shù)y＝

的圖象是例2∵當(dāng)x>1時(shí)，x>；當(dāng)x＝1時(shí)，x＝

，所以A，C，D均不對，選B.√(2)如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，

四個(gè)值，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的n依次為根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象當(dāng)n>0時(shí)，n越大，y＝xn遞增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝

；當(dāng)n<0時(shí)，|n|越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的n＝－

，曲線C4的n＝－2，故選B.√(1)冪函數(shù)圖象的畫法①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象.②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象.(2)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同.同時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用.反思感悟

如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則A.－1<n<0<m<1B.n<－1,0<m<1C.－1<n<0，m>1D.n<－1，m>1跟蹤訓(xùn)練2√由于y＝xm在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且為上凸函數(shù)，故0<m<1；由于y＝xn在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在直線x＝1的右側(cè)時(shí)，y＝xn的圖象在y＝x－1的圖象的下方，故n<－1.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用

三

比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。豪?∵冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是減函數(shù)，(3)與

.∵函數(shù)y1＝

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又∵函數(shù)y2＝

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且

<1，∴＝1，∴.比較冪值大小的方法(1)若兩個(gè)冪值的指數(shù)相同或可化為兩個(gè)指數(shù)相同的冪值時(shí)，則可構(gòu)造函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”.反思感悟

比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：跟蹤訓(xùn)練3∵y＝x－在(0，＋∞)上是減函數(shù)，(2)－3與－π3.∵y＝x3是R上的增函數(shù)，且3.14<π，∴3<π3，∴－3>－π3.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)冪函數(shù)的定義.(2)幾個(gè)常見冪函數(shù)的圖象.(3)冪函數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：易忽略冪函數(shù)的概念.隨堂演練

1234設(shè)冪函數(shù)為y＝xα，√12342.設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域是R，且為奇函數(shù)的所有α的值是A.1,3 B.－1,1C.－1,3 D.－1,1,3√當(dāng)α＝－1時(shí)，函數(shù)y＝x－1的定義域是{x|x≠0}，且為奇函數(shù)；當(dāng)α＝1時(shí)，函數(shù)y＝x的定義域是R，且為奇函數(shù)；當(dāng)α＝

時(shí)，函數(shù)y＝

的定義域是{x|x≥0}，且為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)α＝3時(shí)，函數(shù)y＝x3的定義域是R，且為奇函數(shù).12343.函數(shù)y＝

的圖象是∵函數(shù)y＝

的定義域?yàn)閇0，＋∞)，∴它是非奇非偶函數(shù)，故排除A，B選項(xiàng).√1234－與－的大小關(guān)系是_________________.因?yàn)楹瘮?shù)y＝x－在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且，所以－－.－－課時(shí)對點(diǎn)練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(16,4)，則該冪函數(shù)的解析式是A.y＝x－1 B.y＝C.y＝x2 D.y＝x3√設(shè)f(x)＝xα，則16α＝4，∴α＝

，∴f(x)＝

.123456789101112131415162.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)的是A.y＝ B.y＝x－1C.y＝x2 D.y＝x√由于y＝x－1和y＝x都是奇函數(shù)，故B，D不滿足題意.y＝

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，但不是偶函數(shù)，故A不滿足題意.y＝x2為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故C滿足題意.123456789101112131415163.已知函數(shù)f(x)＝

，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，√123456789101112131415164.函數(shù)y＝

－1的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象大致是y＝

的圖象位于第一象限，且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y＝

－1的圖象可看作是由y＝

的圖象向下平移一個(gè)單位長度得到的(如選項(xiàng)A中的圖所示)，則y＝

－1的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象即為選項(xiàng)B.√123456789101112131415165.(多選)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

，則冪函數(shù)f(x)具有的性質(zhì)是A.在其定義域上為增函數(shù)

B.在(0，＋∞)上是減函數(shù)C.奇函數(shù)

D.定義域?yàn)镽√設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過點(diǎn),所以f(x)＝

，所以由f(x)的性質(zhì)知，定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，f(x)是奇函數(shù)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均是減函數(shù).√123456789101112131415166.(多選)下列命題不正確的是A.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)B.當(dāng)n＝0時(shí)，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線C.如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同D.如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)√√√12345678910111213141516對于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，當(dāng)y＝xn中n≤0時(shí)，不過點(diǎn)(0,0)，故A不正確；對于B，當(dāng)n＝0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn的圖象是直線y＝1除去點(diǎn)(0,1)，故B不正確；對于C，當(dāng)兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩函數(shù)不一定相同，如y＝x與y＝x3的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，但這兩個(gè)函數(shù)不相同，故C不正確；對于D，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，所以若冪函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，故D正確.123456789101112131415167.已知αα，則α的取值范圍是______.因?yàn)?，而αα，所以y＝xα在(0，＋∞)上是減函數(shù).故α<0.α<0123456789101112131415168.若冪函數(shù)y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是____.因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是冪函數(shù)又是(0，＋∞)上的減函數(shù)，3解得m＝3.123456789101112131415169.已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·，m為何值時(shí)，函數(shù)f(x)是(1)正比例函數(shù)；若函數(shù)f(x)為正比例函數(shù)，(2)反比例函數(shù)；若函數(shù)f(x)為反比例函數(shù)，12345678910111213141516(3)冪函數(shù).若函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，1234567891011121314151610.比較下列各組數(shù)的大?。?1)和

；函數(shù)y＝

在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又，所以12345678910111213141516函數(shù)y＝

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，(2)和

.12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.函數(shù)f(x)＝

＋b－3是冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b)C.f(a)＝f(b) D.以上都不對√12345678910111213141516∵f(x)為冪函數(shù)，∴f(x)＝

，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且a>b>0，∴f(a)>f(b).1234567891011121314151612.已知冪函數(shù)y＝

(m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，則m等于A.1 B.0,2C.－1,1,3 D.0,1,2√12345678910111213141516∵冪函數(shù)y＝

(m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)為偶數(shù)，由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，為偶數(shù)，符合題意；當(dāng)m＝0時(shí)，m2－2m－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝1時(shí)，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，為偶數(shù)，符合題意；當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝3時(shí)，m2－2m－3＝9－6－3＝0，為偶數(shù)，符合題意.綜上所述，m＝－1,1,3.1234567891011121314151613.若

，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.1234567891011121314151614.給出下面四個(gè)條件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n).如果m，n是冪函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)值，那么冪函數(shù)y＝f(x)一定滿足的條件的序號為_____.設(shè)f(x)＝xα，則f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三個(gè)不一定成立.③12345678910