考研數(shù)學(xué)二歷年真題及部分答案

2010年考研數(shù)學(xué)二真題（強(qiáng)烈推薦）一填空題(8×4=32分)2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：1~8小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)。（1）函數(shù)與是等價無窮小，則（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）無窮多個（2）當(dāng)時，與是等價無窮小，則（）（A） （B） （C） （D）（3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（0，0）（）（A）不是的連續(xù)點(diǎn) （B）不是的極值點(diǎn)（C）是的極大值點(diǎn) （D）是的極小值點(diǎn)（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則=（）（A） （B）（C） （D）（5）若不變號，且曲線在點(diǎn)（1，1）的曲率圓為，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)（）（A）有極值點(diǎn)，無零點(diǎn) （B）無極值點(diǎn)，有零點(diǎn) （C）有極值點(diǎn)，有零點(diǎn) （D）無極值點(diǎn)，無零點(diǎn)（6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的圖形為則函數(shù)為（）（7）設(shè)Ａ、B均為2階矩陣，分別為A、B的伴隨矩陣。若|A|=2，|B|=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（）（A） （B） （C） （D）（8）設(shè)A，P均為3階矩陣，為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且AＰ＝，若，則為（）（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上。（9）曲線在（0，0）處的切線方程為____________（10）已知，則k=____________（11）=___________（12）設(shè)是方程確定的隱函數(shù)，則=____________（13）函數(shù)在區(qū)間(0,1]上的最小值為_________（14）設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若相似于，則=___________三、解答題：15-23小題，共94分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分9分）求極限（16）（本題滿分10分）計(jì)算不定積分（17）（本題滿分10分）設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與（18）（本題滿分10分）設(shè)非負(fù)函數(shù)y=y(x)(x0)，滿足微分方程，當(dāng)曲線y=y(x)過原點(diǎn)時，其與直線x=1及y=0圍成平面區(qū)域的面積為2，求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中（20）（本題滿分12分）設(shè)y=y(x)是區(qū)間內(nèi)過點(diǎn)的光滑曲線，當(dāng)時，曲線上任一點(diǎn)處的發(fā)現(xiàn)都過原點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)y(x)滿足。求y(x)的表達(dá)式。（21）（本題滿分11分）（=1\*ROMANI）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，則存在，使得。（=2\*ROMANII）證明：若函數(shù)在x=0處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則存在，且。（22）（本題滿分11分）設(shè)（=1\*ROMANI）求滿足的所有向量；（=2\*ROMANII）對（=1\*ROMANI）中的任一向量，證明：線性無關(guān)。（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型（=1\*ROMANI）求二次型的矩陣的所有特征值；（=2\*ROMANII）若二次型的規(guī)范形為，求a的值。2008考研數(shù)學(xué)二真題一、選擇題：（本題共8小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)）(1)設(shè)，則的零點(diǎn)個數(shù)為()．(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．(2)曲線方程為，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分在幾何上表示()．(A)曲邊梯形的面積．(B)梯形的面積．(C)曲邊三角形面積．(D)三角形面積．(3)在下列微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是()．(A).(B).(C).(D).(4)判定函數(shù)間斷點(diǎn)的情況()．有1可去間斷點(diǎn)，1跳躍間斷點(diǎn)．(B)有1跳躍間斷點(diǎn)，1無窮間斷點(diǎn)．(C)有2個無窮間斷點(diǎn).(D)有2個跳躍間斷點(diǎn).(5)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是()．(A)若收斂，則收斂(B)若單調(diào)，則收斂(C)若收斂，則收斂.(D)若單調(diào)，則收斂.(6)設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則()．(A)(B)(C)(D)(7)設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣．若，則下列結(jié)論正確的是()．(A)不可逆，不可逆.(B)不可逆，可逆.(C)可逆，可逆.(D)可逆，不可逆.(8)設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上，與A合同矩陣為()．(A).(B).(C).(D).二、填空題：（9－14小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上）(9)已知函數(shù)連續(xù)，且，則(10)微分方程的通解是.(11)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(12)曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為.(13)設(shè)，則.(14)設(shè)3階矩陣的特征值為．若行列式，則___________.三、解答題(15－23小題，共94分)．(15)(本題滿分9分)求極限．(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解，求．(17)（本題滿分9分）計(jì)算．(18)(本題滿分11分)計(jì)算，其中．(19)(本題滿分11分)設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且．對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式．(20)(本題滿分11分)證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得；若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，，證明至少存在一點(diǎn)，使得．(21)(本題滿分11分)求函數(shù)在約束條件和下的最大值和最小值．(22)(本題滿分12分)．設(shè)元線性方程組，其中，，．（I）證明行列式；（II）當(dāng)為何值時，該方程組有惟一解，并求．（III）當(dāng)為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解．(23)(本題滿分10分)設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足，(=1\*ROMANI)證明線性無關(guān)；(=2\*ROMANII)令，求．2007年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）當(dāng)時，與等價的無窮小量是（A）（B）（C）（D）[]（2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是（）（A）0（B）1（C）（D）（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是：（A）(B)（C）（D）[]（4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是：（A）若存在，則（B）若存在，則.（B）若存在，則（D）若存在，則.[]（5）曲線的漸近線的條數(shù)為（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是：(A)若，則必收斂.(B)若，則必發(fā)散(C)若，則必收斂.(D)若，則必發(fā)散.[]（7）二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個充要條件是（A）.（B）.（C）.（D）.（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（A）（B）（C）（D）（9）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是線性相關(guān)，則 (A) (B) (C). (D).[]（10）設(shè)矩陣，則與(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（11）__________.（12）曲線上對應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_________.（13）設(shè)函數(shù)，則________.（14）二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為________.（15）設(shè)是二元可微函數(shù)，，則__________.（16）設(shè)矩陣，則的秩為.三、解答題：17～24小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）(本題滿分10分)設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.（18）（本題滿分11分）設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域.（Ⅰ）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（Ⅱ）當(dāng)為何值時，最?。坎⑶蟠俗钚≈?（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解（20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求.（21）(本題滿分11分) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，，證明：存在，使得.（22）(本題滿分11分)設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算二重積分，其中.（23）(本題滿分11分)設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.1….【分析】本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可.【詳解】當(dāng)時，，，，故用排除法可得正確選項(xiàng)為（B）.事實(shí)上，，或.所以應(yīng)選（B）【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計(jì)算.2…【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為初等函數(shù)，則先找出函數(shù)的無定義點(diǎn)，再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型.【詳解】函數(shù)在均無意義，而；；.所以為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選（A）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.對初等函數(shù)來講，無定義點(diǎn)即為間斷點(diǎn)，然后再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型；對分段函數(shù)來講，每一分段支中的無定義點(diǎn)為間斷點(diǎn)，而分段點(diǎn)也可能為間斷點(diǎn)，然后求左右極限進(jìn)行判斷.段函數(shù)的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得，，.所以，故選（C）.【評注】本題屬基本題型.本題利用定積分的幾何意義比較簡便.4……【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系.由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進(jìn)行判斷，然后選擇正確選項(xiàng).【詳解】取，則，但在不可導(dǎo)，故選（D）.事實(shí)上，在(A),(B)兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項(xiàng)正確，故選(D)【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.5……【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】，所以是曲線的水平漸近線；，所以是曲線的垂直漸近線；，，所以是曲線的斜漸近線.故選（D）.【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在.本題要注意當(dāng)時的極限不同.6……【分析】本題依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷數(shù)列.由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果.【詳解】選（D）.取，，，而發(fā)散，則可排除（A）；取，，，而收斂，則可排除（B）；取，，，而發(fā)散，則可排除（C）；故選（D）.事實(shí)上，若，則.對任意，因?yàn)?，所以，對任意?故選（D）.【評注】對于含有抽象函數(shù)的問題，通過舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡化計(jì)算.7…….【分析】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件.利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導(dǎo)的關(guān)系.【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數(shù)在連續(xù)的定義；（B）是函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；（D）說明一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能推導(dǎo)出兩個一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，所以（A）（B）（D）均不能保證在點(diǎn)處可微.故應(yīng)選（C）.事實(shí)上，由可得，即同理有從而=.根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù)在點(diǎn)處可微，故應(yīng)選(C).【評注】二元函數(shù)連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能推出可微，只有當(dāng)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，才可微.8,……【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，，則，故應(yīng)選（B）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.畫圖更易看出.9……..【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性.一般令，若，則線性相關(guān)；若，則線性無關(guān).但考慮到本題備選項(xiàng)的特征，可通過簡單的線性運(yùn)算得到正確選項(xiàng).【詳解】由可知應(yīng)選（A）.或者因?yàn)?，而，所以線性相關(guān)，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項(xiàng).10….【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實(shí)對稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案.【詳解】由可得，所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0.所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通過計(jì)算與的特征值可立即排除（A）（C）.11…【分析】本題為未定式極限的求解，利用洛必達(dá)法則即可.【詳解】.【評注】本題利用了洛必達(dá)法則.本題還可用泰勒級數(shù)展開計(jì)算.因?yàn)?，所?12…..【分析】本題考查參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在對應(yīng)于的點(diǎn)的切線斜率為，故曲線在對應(yīng)于的點(diǎn)的法線斜率為.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.13….【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.14…..【分析】本題求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解，利用二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)求解，即先求出對應(yīng)齊次方程的通解，然后求出非齊次微分方程的一個特解，則其通解為.【詳解】對應(yīng)齊次方程的特征方程為，則對應(yīng)齊次方程的通解為.設(shè)原方程的特解為，代入原方程可得，所以原方程的特解為，故原方程的通解為，其中為任意常數(shù).【評注】本題為基礎(chǔ)題型.15……【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用求導(dǎo)公式可得，，所以.【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時，最好設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的正確性.16……【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題考查矩陣的運(yùn)算和秩，為基礎(chǔ)題型.17……【分析】對含變上限積分的函數(shù)方程，一般先對x求導(dǎo)，再積分即可.【詳解】兩邊對求導(dǎo)得，（）兩邊積分得.（1）將代入題中方程可得.因?yàn)槭菂^(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則的值域?yàn)椋瑔握{(diào)非負(fù)，所以.代入（1）式可得，故.【評注】利用變限積分的可導(dǎo)性是解函數(shù)方程的方法之一.18…..【分析】V(a)的可通過廣義積分進(jìn)行計(jì)算，再按一般方法求V(a)的最值即可【詳解】（Ⅰ）.（Ⅱ）令，得.當(dāng)時，，單調(diào)增加；當(dāng)時，，單調(diào)減少.所以在取得極大值，即為最大值，且最大值為.【評注】本題為定積分幾何應(yīng)用的典型問題，需記憶相關(guān)公式，如平面圖形的面積，繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)體的體積公式等.19…...【分析】本題為不含的可降階方程，令，然后求解方程.【詳解】本題不含，則設(shè)，于是，原方程變?yōu)椋瑒t，解之得，將代入左式得，于是，結(jié)合得，故.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.20……….【分析】本題實(shí)質(zhì)上是二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，注意需用隱函數(shù)求導(dǎo)法確定..【詳解】令，則.兩邊對求導(dǎo)得，又，可得在兩邊對求導(dǎo)得.所以..【評注】也可利用兩邊對求導(dǎo)得可得.21……【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.（1）若在內(nèi)同一點(diǎn)取得最大值，則，于是由羅爾定理可得，存在，使得.再利用羅爾定理，可得存在，使得，即.（2）若在內(nèi)不同點(diǎn)取得最大值，則，于是，于是由零值定理可得，存在，使得于是由羅爾定理可得，存在，使得.再利用羅爾定理，可得，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證；方法二：驗(yàn)證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件.22…..【分析】由于積分區(qū)